北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
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第一章直角三角形的邊角關係
第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)
直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中,人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題,一般來說,這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.
本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下,正切是生活當中用的最多的三角函數概念,如刻畫物體的傾斜程度,山的坡度等都往往用正切,而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發,讓學生在經歷探索直角:三角形邊角關係的過程中,理解銳角三角函數的意義,並能夠舉例說明;能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比,並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.
本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算,難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境,引出銳角三角函數的概念,使學生感受到數學與現實世界的聯繫,鼓勵他們有條理地進行表達和思考,
特別關注他們對概念的理解.
教學目標
知識與能力目標
1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.
2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比,表示生活中物體的傾斜程度、坡度等,外能夠用正切進行簡單的計算.
過程與方法目標
經歷觀察、猜想等數學活動過程,體驗數形之間的聯繫,逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.
情感與價值觀目標
積極參與數學活動,對數學產生好奇心和求知
欲,形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.
教學重點
1.探索直角三角形的邊角關係.
2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義,
密切數學與生活的聯繫.
教學難點
理解正切的意義,並用它來表示兩邊的比.
教學過程
創設情境,引發探究
[問題1]在直角三角形中,知道一邊和一個銳角,你能求出其他的邊和角嗎?
[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?
這節課,我們就先從梯子的傾斜程度談起.
師生互動,探索新知
小明的問題
在圖中,梯子AB和EF哪個更陡?
你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?
提示:1、從圖中很容易發現∠ABC>
∠EFD,所以梯子AB比梯子EF陡.2、
因為AC=ED,所以只要比較BC、FD
的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ,所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題
在下圖中,梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?
提示:第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的,而水準寬度BC 和FD 不一樣長,由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大,梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 13
3538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
想一想
如圖,小明想通過測量B 1C 1:及AC 1,算出它們的比,來說明梯子的傾斜程度;而小亮則認為,通過測量B 2C 2及AC 2,算出它們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 下面請同學
們思考上面的三個問題,再來討論小明和小亮的做法.
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什麼關係? (2)和111AC C B 222AC C B 和有什麼關係? (3)如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得出什麼結論?
[生1]在上圖中,我們可以知道Rt △AB 1C 1,和Rt △AB 2C 2是相似的.因為∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,根據相似的條件,得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2.
[生2]由圖還可知:B 2C 2⊥AC 2,B 1C 1⊥AC 1,得 B 2C 2//B 1C 1,Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2. 2
221111212211,AC C B C A C B C A AC C B C B ==即. [生3]如果改變B 2在梯子上的位置,總可以得到Rt △B 2C 2A ∽Rt △Rt △B 1C 1A ,仍能得到
222111AC C B AC C B =因此,無論B 2在梯子的什麼位置(除A 外), 2
22111AC C B AC C B =總成立. 老師的問題:
現在如果改變∠A 的大小,∠A 的對邊與
鄰邊的比值會改變嗎? 你又能得出什麼結論
呢?
[生]∠A 的對邊與鄰邊的比只與∠A 的大小有關係,而與它所在直角三角形的大小無關.也就是說,當直角三角形中的一個銳角確定
以後,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定. [生]小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度,因為圖中直角三角形中的銳角A 是確定的,因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的,與B 1、B 2在梯子上的位置無關,即與直角三角形的大小無關.
正切的定義: 如圖,在Rt △ABC 中,如果銳角A 確定,那麼∠A 的對邊與鄰邊之比便隨之確定,
這個比叫做∠A 的正切(tangent),記作tanA ,即 tanA=
的邻边
的对边A A ∠∠ . 注意:
1.tanA 是一個完整的符號,它表示∠A 的正切,記號裡習慣省去角的符號“∠”.
2.tanA 沒有單位,它表示一個比值,即直角三角形中∠A 的對邊與鄰邊的比.
3.tanA 不表示“tan ”乘以“A ”.
4.初中階段,我們只學習直角三角形中,∠A 是銳角的正切. 思考:1.∠B 的正切如何表示?它的數學意義是什麼?
2.前面我們討論了梯子的傾斜程度,課本圖1—3,梯子的傾斜程度與tanA 有關係嗎?
[生]1.∠B 的正切記作tanB ,表示∠B 的對邊與鄰邊的比值,即 tanB=的邻边的对边B B ∠∠.
2.我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度,因此,在圖1—3中,梯子越陡,tanA 的值越大;反過來,tanA 的值越大,梯子越陡.
[師]正切在日常生活中的應用很廣泛,例如建築,工程技術等.正切經常用來描述山
坡的坡度、堤壩的坡度.
如圖,有一山坡在
水準方向上每前進100
m ,就升高60 m ,那麼山
坡的坡度(即坡角α的正
切——tan α就是
tan α=5310060 . 這裡要注意區分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水準寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大,坡面就越陡.
[例1]如圖是甲,乙兩個自動扶梯,哪一個自動扶梯比較陡?
分析:比較甲、乙兩個自動電梯哪一個陡,只需分別求出tan α、tan β的值,比較大小,越大,扶梯就越陡.
解:甲梯中, tan α= 125513522=-=∠∠的邻边的对边αα. 乙梯中, tan β=4
386==∠∠的邻边的对边ββ. 因為tan β>tan α,所以乙梯更陡.
[例2]在△ABC 中,∠C=90°,BC=12cm ,AB=20cm ,求tanA 和tanB 的值.
分析:要求tanA ,tanB 的值,根據畢氏定理先求出直角邊AC 的長度.
解:在△ABC 中,∠C =90°,所以AC=22221220-=-BC AB =16(cm),
tanA=
,431612===∠∠AC BC A A 的邻边的对边tanB=.341216===∠∠BC AC B B 的邻边的对边所以tanA=43
,tanB=3
4.
1.如圖,△ABC
是等腰直角三角形,
你能根據圖中所給資料求出tanC 嗎?
解:∵△ABC 是等腰直角三角形,BD ⊥AC ,
∴CD =21AC =21×3=1.5.
在Rt △BDC 中,tanC =
DC BD =5.15.1=1. 2.如圖,某人從山
腳下的點A 走了200m 後
到達山頂的點B ,已知點
B 到山腳的垂直距離為55
m ,求山的坡度.(結果精確到0.001)
分析:由圖可知,∠A 是坡角,∠A 的正切即tanA 為山的坡度. 解:根據題意:
在Rt △ABC 中,AB=200 m ,BC =55 m , AC=46.385147955520022⨯≈=-=192.30(m). TanA=.286.030
.19255≈=AC BC 所以山的坡度為0.286.
歸納提煉
本節課從梯子的傾斜程度談起,經歷了探索直角三角形中的邊角關係,得出了在直角三角形中的銳角確定之後,它的對邊與鄰邊之比也隨之確定,並以此為基礎,在“Rt △”中定義了tanA =的邻边
的对边A A ∠∠.接著,我們研究了梯子的傾斜程度,工程中的問題坡度與正切的關係,瞭解了正切在現實生活中是一個具有實際意義的一個很重要的概念.
課後作業
1.習題1.1第1、2題.
2.觀察學校及附近商場的樓梯,哪個更陡.
Ⅶ.活動與探究
(2003年江蘇鹽城)
如圖,Rt △ABC 是一防
洪堤背水坡的橫截面
圖,斜坡AB 的長為
12 m ,它的坡角為45°,為了提高該堤的防洪能力,現將背水坡改造成坡比為1:1.5的斜坡AD ,求DB 的長.(結果保留根號)
[過程]要求DB 的長,需分別在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根據題意,在Rt △ABC 中,∠ABC=45°,AB =12 m ,則可根據畢氏定理求出BC ;在Rt △ADC 中,坡比為1:1.5,即tanD=1:1.5,由BC =AC ,可求出CD.
[結果]根據題意,在Rt △ABC 中,∠ABC=45°,所以△ABC 為等腰直角三角形.設BC=AC =xm ,則
x 2+x 2=122,
x=62, 所以BC =AC=62.
在Rt △ADC 中,tanD=
5.11=CD AC , 即5.1126=CD CD=92.
所以DB=CD-BC=92-62=32(m).
備課資料
[例1](2003年浙江沼興)若某人沿
坡度i=3:4的斜坡前進10米,則他
所在的位置比原來的位置升高_
米.
分析:根據題意
(如圖):在Rt△ABC
中
AC:BC=3:4,
AB=10米.
設AC=3x,BC=4x,根據畢氏定理,得(3x)2+(4x)2=10,∴x=2.
∴AC=3x=6(米).
因此某人沿斜坡前進10米後,所在位置比原來的位置升高6米.
解:應填“6 m”.
[例2](2003年內
蒙古赤峰)菱形的兩條
對角線分別是16和12.
較長的一條對角線與菱
形的一邊的夾角為θ,
則tan θ=______.
分析:如圖,菱形ABCD ,BD =16,AC =12,∠ABO =θ, 在Rt △AOB 中,AO=21AC=6,
BO=21BD=8.
tan θ=
4
386==OB OA . 解:應填“43”.。