平稳随机过程和各态历经过程ppt课件

当两个随机过程 X (t)和Y (t)分别是广义 平稳过程时 , 若它们的互相关函数满 足 :
RXY (t1, t1 ) E[ X (t1)Y (t1 )] RXY ( )
则称X (t)和Y (t)是联合广义平稳过程 , 或 称为联合宽平稳过程 .
各态历经性
• 平稳随机过程在满足一定条件下有一个 有趣而又非常有用的特性， 称为“各态 历经性”。
X (t)Y (t ) lim 1 T 2T
T
T X (t)Y (t )dt RXY ( )
则称它们是联合各态历经过程.
• 平稳随机过程的定义说明：当取样点在时 间轴上作任意平移时，随机过程的所有有 限维分布函数是不变的。
• 推论：一维分布与时间t无关， 二维分布 只与时间间隔τ有关。从而有
E[ (t)] x1 f1( x1, )dx1 a
• R(t1, t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］
=R(t1, t1+τ)=R(τ)
随机过程的各个样 本函数都同样地经 历了随机过程的各 种可能状态，因此 从随机过程的任何 一个样本函数就能
得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函 数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。
1. 对于二阶平稳过程X (t), 若X (t) E[ X (t)] mX以概 率1成立,则称随机过程X (t)的均值具有各态历经性.
X (t) X (t ) lim 1
T
X (t) X (t )dt
T 2T T
3、 若X (t)的均值和自相关函数都具有各态历经性,
且X (t)是广义平稳过程,则称X (t)是广义各态历经 过程, 简称为各态历经过程.
4、 如果两个随机过程X (t)和Y (t)都是各态历经过程,
且它们的时间互相关函数等于统计互相关函数,即 :
随机过程的时间均值定义为: X (t) lim 1
T
X (t)dt
T 2T T
2. 对于二阶平稳过程X (t), 若
X (t) X (t ) E[ X (t) X (t )] RX ( )
以概率1成立,则称随机过程X (t)的自相关函数具有各 态历经性.
随机过程 X (t)的时间自相关函数定义 为 :
证明：
fX (x1, x2;t1,t2 ) fX (x1, x2;t1 ,t2 ), 令 t1 f X (x1, x2;t1,t2 ) f X (x1, x2;0,t2 t1), 令 t2 t1
f X (x1, x2;t1,t2 ) f X (x1, x2; )
RX (t1,t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
若随机过程X (t)满足 : E[ X (t)] mX (t) mX ,
RX (t1, t2 ) RX ( ),且E[ X 2 (t)] ,则称X (t) 为广义平稳随机过程, 式中 t2 t1.
一个严平稳过程只要它 的均方值有限，则它必 定是广义平稳的。但是， 反之则不一定成立。
广义平稳的高 斯过程必定也 是严平稳的， 即对于高斯过 程来说，严平 稳与宽平稳是 等价的。
则有: f X (x,t) f X (x,0) f X (x)
E[ X (t)] xf X (x,t)dx xf X (x)dx mX
D[X (t)]
(x
m)2
f
X
( x, t )dx
(x
m)2
fX
(x)dx
2 X
证明：
严平稳过程的数学期望和方差与时 间无关
f X (x, t) f X (x, t ) 令 t,
t1 , t2 ,, tn , t1' , t2' ,, tm' )
则称随机过程X (t)和Y (t)是联合严平稳过程.
•严平稳过程的性质
性质一：严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间 无关
严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关
f X (x,t) f X (x,t ) 令 t,
f X (x1, x2;t1,t2 ) f X (x1, x2; )
2.2.2 宽平稳过程
• 平稳随机过程的定义对于一切n都需成立， 这在实际应用上很复杂。由平稳随机过 程的均值是常数， 自相关函数是τ的函数 还可以引入另一种平稳随机过程的定义： 若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函 数仅是τ的函数， 则称它为宽平稳随机过 程或广义平稳随机过程。
则有 : f X (x, t) f X (x,0) f X (x)
E[ X (t)] xf X (x,t)dx xf X (x)dx mX
D[X (t)]
(x
m)2
fX
( x, t )dx
(x
m)2
fX
(x)dx
2 X
性质二：严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个 时刻t1和t2的间隔有关，与时间起点无关。
• 若平稳随机过程的数字特征（均为统计 平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代， 则称平稳随机过程具有“各态历经性”。
• “各态历经”的含义：随机过程中的任一 实现都经历了随机过程的所有可能状态。 因此， 我们无需获得大量用来计算统计平 均的样本函数，而只需从任意一个随机过 程的样本函数中就可获得它的所有的数字 特征，从而使“统计平均”化为“时间平 均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
x1x2 f X (x1, x2; )dx1dx2 RX ( )
严平稳过程X(t)的自相关函数和协பைடு நூலகம்差
函数都只是时间间隔 t2 t1的函数。
CX ( ) RX ( ) mX2
当
0时,CX (0)
RX
(0) m2X
2 X
一阶平稳过程的概率密度满足f X (x,t) f X (x) 二阶平稳过程的概率密度同时满足上式和下式
2.2.1 严平稳过程
严格的说：
如果对于任意的 ,随机过程X (t)的任意n维概率密度满足 f X (x1, x2 ,, xn;t1, t2 ,,tn ) f X (x1, x2 ,, xn;t1 , t2 ,,tn )
则称X (t)为严平稳过程. 换句话说：
严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化， 或者说与时间起点无关。
在任何时刻计算严平 稳过程的统计结果都
是相同的 如果上式不是对任意的n都成立,而是仅 在n N时成立,则称X (t)是N阶平稳的.
如果两个随机过程X (t)和Y (t)的任意n m维联合 概率密度满足: f XY (x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, ym ;t1, t2 ,, tn , t1' , t2' ,, tm' ) f XY (x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, ym ;