广西省河池市2020年高二第二学期数学期末考试试题含解析

广西省河池市2020年高二第二学期数学期末考试试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足44S =， 612S =，则2S =（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．3
【答案】B 【解析】
根据等差数列的性质624,,246S S S 仍成等差数列，则6422426S S S
⨯=+，则6423
S S S =+ ，62412
444033S S S =-=-
=-=，选B. 2．复数21i
i
-的虚部为（ ）
A ．i
B ．i -
C ．1
D ．-1
【答案】C 【解析】 【分析】
先化简复数，即得复数的虚部. 【详解】
由题得
21i i -2(1)22=1(1)(1)
2i i i i i i +-+==-+-+. 所以复数的虚部为1. 故选C 【点睛】
本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．
的值为( )
A ．2
B ．0
C ．-2
D ．1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据的定积分的计算法则计算即可． 【详解】
＝（cosx ）
故选：A ．
【点睛】
本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题． 4．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是1
63
y x =-
+，则()()55f f +'=（）
A ．4
B ．3
C ．
153
D ．
163
【答案】A 【解析】 【分析】
由条件可得()3513f =，()13
5f '=- 【详解】
因为函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是1
63
y x =-+ 所以()3513f =
，()13
5f '=- 所以()()55f f +'=4 故选：A 【点睛】
本题考查的是导数的几何意义，较简单.
5．2018年某地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.48 B ．0.6
C ．0.75
D ．0.8
【答案】C 【解析】 【分析】
设随后一天的空气质量为优良的概率是p ，利用条件概率公式能求出结果． 【详解】
一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p ，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8=0.6p ，
0.63
=
==0.750.84
p ∴，故选C ． 【点睛】
本题考查条件概率，属于基础题．
6．对于函数()f x 和()g x ，设(){|0}x f x α∈=，(){|0}x g x β∈=，若存在α，β，使得1αβ-，
则称()f x 与()g x 互为“零点相邻函数”．若函数()1
2x f x e x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零
点相邻函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]
2,4 B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]2,3
【答案】D 【解析】 【分析】
先得出函数f （x ）＝e x ﹣
1+x ﹣2的零点为x ＝1．再设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3的零点为β，根据函数f （x ）＝
e x ﹣1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3互为“零点关联函数”，利用新定义的零点关联函数，有|1﹣β|≤1，从而得出g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3的零点所在的范围，最后利用数形结合法求解即可． 【详解】
函数f （x ）＝e x ﹣1+x ﹣2的零点为x ＝1． 设g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3的零点为β，
若函数f （x ）＝e x ﹣
1+x ﹣2与g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3互为“零点关联函数”，
根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1， ∴0≤β≤2，如图
由于g （x ）＝x 2﹣ax ﹣a+3必过点A （﹣1，4），
故要使其零点在区间[0，2]上，则()()00200022g g a ⎧>⎪
>⎪⎪
⎨∆≥⎪
⎪≤≤⎪⎩
或()()020g g ⋅≤，
解得2≤a ≤3， 故选D 【点睛】
本题主要考查了函数的零点，考查了新定义，主要采用了转化为判断函数的图象的零点的取值范围问题，解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用 7．直线340x y ++=的斜率为（ ） A ．1
3
- B ．
13
C ．3-
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率． 【详解】
将直线方程化为斜截式可得1433y x =--，因此，该直线的斜率为1
3
-，故选A ． 【点睛】
本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：
（1）若直线的倾斜角为α且α不是直角，则直线的斜率tan k α=； （2）已知直线上两点()11,A x y 、()()2212,B x y x x ≠，则该直线的斜率为12
12
y y k x x -=-；
（3）直线y kx b =+的斜率为k ；
（4）直线()00Ax By C B ++=≠的斜率为A k B
=-
. 8．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，CA ⊥平面PAB
，PA PB AB ===4AC =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．24π B ．32π
C ．48π
D ．64π
【答案】B 【解析】 【分析】 如图，
由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 内的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，则有()2
2743h h +=+-，可得球的半径，即可求出三棱锥
P ABC -的外接球的表面积.
【详解】
由题意知，AC AB ⊥，BC 的中点E 是球心O 在平面ABC 中的射影，设点O E ，间距离为h ，球心O 在平面PAB 中的射影F 在线段AB 的高上，
23AB =，4AC =，23PA PB AB ===
又平面PAB ⊥平面ABC ，PF AB ⊥，则PF ⊥平面ABC ，
BC 27∴=P 到平面ABC 的距离为3，
∴()2
2743h h +=+-，解得：1h =，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径1722R =+=，故可
得外接球的表面积为2432R ππ=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了棱锥的外接球的表面积的求解，考查了学生直观想象和运算求解能力，确定三棱锥
P ABC -的外接球的半径是关键.
9．函数1
3tan 2
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ）
A ．
4
π
B ．
2
π C ．π
D ．2π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据正切型函数的周期公式可求出函数1
3tan 2
4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期.
【详解】
由题意可知，函数1
3tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
的最小正周期212
T π
π==，故选D.
【点睛】
本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于利用周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 10．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A ．23
B ．
35 C ．25
D ．15
【答案】B 【解析】 【分析】
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】
设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有
{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其
中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63
105
=，选B ． 【点睛】
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错． 11．用数学归纳法证明不等式：111
112
31
n n n +++
>+++，则从n k =到 1n k =+时，左边应添加的项为（ ）
A ．1
32k + B ．
1
34k + C ．11
341
k k -++
D ．1111
3233341
k k k k ++-++++
【答案】D 【解析】 【分析】
将n k =和1n k =+式子表示出来，相减得到答案. 【详解】
n k =时：
11111231
k k k +++>+++ 1n k =+时：
11111112331323334
k k k k k k ++++++>++++++ 观察知：
应添加的项为1111
3233341
k k k k ++-++++
答案选D 【点睛】
本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.
12．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两
点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为
A ．22
139
x y -=
B ．22193
x y -=
C ．221412
x y -=
D ．22
1124
x y -=
【答案】A 【解析】 【详解】
分析：由题意首先求得A,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后利用离心率求解a 的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c>0），则A B x x c ==，
由22221c y a b
-=可得：2b y a =±，
不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，
据此可得：21bc b d c -==
，2
2bc b d c +==
， 则12226bc
d d b c
+=
==，则23,9b b ==，
双曲线的离心率：2c e a ====， 据此可得：2
3a =，则双曲线的方程为22
139
x y -=.
本题选择A 选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22
220x y a b
λλ-=≠，再由条件求出λ
的值即可.
二、填空题：本题共4小题
13．设函数224
()e x f x x
+=，2()x x g x e -=，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不等式()()
12(1)kf x k g x ≥+恒成立，则正实数k 的取值范围________ 【答案】1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】 【分析】
先分析()()f x g x 、的单调性，然后判断k 的正负，再利用恒成立的条件确定k 的范围. 【详解】
222
4()(0)
e x
f x x x -'=>，令()0f x '=，则2x e =，所以()f x 在2(0,)e 单调递减，在2(,)e +∞单调递增，则min 2
()()4f x f e e ==；2
1()x x
g x e
--'=
，令()0g x '=，则1x =，所以()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，则max ()(1)==g x g e ；
当()()0x f x g x →+∞→+∞→，，，所以0k ≤不成立，故0k >； 因为()()12(1)kf x k g x ≥+恒成立，所以121()()k f x g x k +≥
恒成立，所以min max 1
()()k f x g x k
+≥，即14k k +≥
，解得13
k ≥，即1
[,)3k ∈+∞. 【点睛】
恒成立问题解题思路：当12()()f x g x ≥恒成立时，则min max ()()f x g x ≥； 存在性问题解题思路：当存在x 满足12()()f x g x ≥时，则有max min ()()f x g x ≥. 14．将极坐标方程2cos 4sin ρθθ=-化为直角坐标方程得________． 【答案】2
2
240x y x y +-+= 【解析】 【分析】
在曲线极坐标方程两边同时乘以ρ，由222
cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
可将曲线的极坐标方程化为普通方程.
【详解】
在曲线极坐标方程两边同时乘以ρ，得22cos 4sin ρρθρθ=-，
化为普通方程得2224x y x y +=-，即22
240x y x y +-+=，
故答案为：22
240x y x y +-+=. 【点睛】
本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.
15．将参数方程1212a x t t b y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩
（t 为参数），转化成普通方程为_______．
【答案】22
221x y a b
-=
【解析】 【分析】
将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫
⎪=- ⎪⎪⎝⎭
⎩，两式平方再相减可得出曲线的普通方程.
【详解】
将参数方程变形为112112x t a t y t b t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫
⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，两等式平方得222
2222211241124x t a t y t b
t ⎧⎛⎫
=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，
上述两个等式相减得22221x y a b -=，因此，所求普通方程为22
221x y a b -=，
故答案为：22
221x y a b
-=.
【点睛】
本题考查参数方程化为普通方程，在消参中，常用平方消元法与加减消元法，考查计算能力，属于中等题. 16．在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点，则
AB ="______________________."
【答案】
【解析】 【分析】 【详解】
解：过点（3， 0）且与极轴垂直的直线方程为 x=3，曲线ρ=1cosθ 即 ρ2=1ρcosθ， 即 x 2+y 2=1x ，（x-2）2+y 2=1． 把 x=3 代入 （x-2）2+y 2=1 可得
，故
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知非零向量a b ，，且a b ⊥，求证：2a b a b
+≤+．
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】
a b ⊥⇔0a b ⋅=．同时注意，22
||a a =，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．
【详解】
解：∵a b ⊥∴0a b ⋅=，
要证
2a b
a b
+≤+，
只需证2a b a b +≤
+，
只需证(
)2
2
22
|2|22a a b b a a b b ++≤+⋅+，
只需证2
2
2
2
|2|22a a b b a b ++≤+，
只需证22||2a b a b +-≥0，即2
()0a b -≥， 上式显然成立， 故原不等式得证． 【点睛】
用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件a b ⊥⇔0a b ⋅= 和2
2
||a a =．
18．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的车需满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元：派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得的最大利润多少？ 【答案】安排7辆甲型车，5辆乙型车利润最大，最大利润4900元. 【解析】 【分析】
设甲型车x 辆，乙型车y 辆，根据题意列不等式组,画可行域,将目标函数化为斜截式,比较斜率,找到最优解,
解方程组得最优解的坐标,代入目标函数即可得到. 【详解】
解：设甲型车x 辆，乙型车y 辆，
则10672122190807x y x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩，即5336122190807
x y x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎪
+≤⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩ 设利润为z ，则450350z x y =+,化成斜截式可得97350
z
y x =-
+,
因为9
217
-<-
<-, 由图可知，在A 点处取得最大值，联立12
219x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得7x =，5y =,
所以z 的最大值为450735054900⨯+⨯=,
所以，安排7辆甲型车，5辆乙型车利润最大，最大利润4900元. 【点睛】
本题考查了线性规划求最大值,属于中档题. 19．已知复数1()2i
a
z a =
+∈+R . （I ）若z ∈R ，求复数z ；
（II ）若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，求a 的取值范围.
【答案】（1）2z =；（2）()0,5. 【解析】 试题分析：
(1)由题意计算可得2555
a a
z i -=
+,若z R ∈，则5a =，2z =. (2)结合(1)的计算结果得到关于实数a 的不等式，求解不等式可得a 的取值范围为()0,5. 试题解析： （1）()2255
55
a i a a
z i i --=
+=
+,若z R ∈，则505a -=，∴5a =，∴2z =. （2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则205a >且505
a ->， 解得05a <<，即a 的取值范围为()0,5.
20．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；
（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率；
②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，并说明理由． 【答案】（1）0.024a =，0.026b =，甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率分别是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙. 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图中左右两边矩形面积均为0.5计算出中位数，可得出a 、b 的值，再分别计算甲、
乙在1分钟内解开密码锁的频率值；
（2）①利用独立事件概率的乘法公式可计算出所求事件的概率；
②分别求出先派甲和先派乙时随机变量X 的数学期望，比较它们的大小，即可得出结论． 【详解】
（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，
()0.0150.014550.03450.0447450.5b ∴⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得0.026b =；
0.0430.032550.010100.5a ∴⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =；
∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲； 乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙； （2）由（1）知，甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9，乙是0.7，丙是0.5， 且各人是否解开密码锁相互独立；
①令“团队能进入下一关”的事件为A ，“不能进入下一关”的事件为A ，
()()()()10.910.710.50.015P A =---=，
∴该团队能进入下一关的概率为()()
110.0150.985P A P A =-=-=； ②设按先后顺序自能完成任务的概率分别p 1，p 2，p 3，且p 1，p 2，p 3互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；
则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()
()12311P X p p ==-- ，
()()()()1121212122131132E X p p p p p p p p p =+-+--=--+， ()()121213E X p p p p p ∴=-++-，
若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-， 由此可见，当12p p >时，
交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
()()()12121112X 3321E p p p p p p p p =-++-=---，
∴交换后的派出顺序则变为()113321p p p ---， 当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值； 所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小． 【点睛】
本题考查频率分布直方图中位数的计算、离散型随机变量分布列与数学期望，在作决策时，可以依据数学期望和方差的大小关系来作出决策，考查分析问题的能力，属于难题．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点P 的起点为坐标原点O ,每秒沿格线向右或向上随机移动一个单位长.
（1）求经过3秒后，质点P 恰在点（1,2）处的概率； （2）定义：点（x ,y ）的“平方距离”为2
2x y +.求经过5秒后，质点P 的“平方距离”ξ的概率分布和
数学期望()E ξ. 【答案】 (1) 3
8
;(2) ()15E ξ=. 【解析】 【分析】
（1）通过分析到达点（1,2）处的可能，通过独立重复性试验概率公式可得答案； （2）ξ的可能取值为13,17,25，分别计算概率，于是可得分布列和数学期望. 【详解】
（1）经过3秒后，质点P 恰在点（1,2）处可由三种情况得到：()()()1,01,11,2→→，
()()()0,11,11,2→→，()()()0,10,21,2→→，每一种情况的概率为：1111222
8
⨯⨯=，故质点P 恰在
点（1,2）处的概率为3
8
；
（2）由题意ξ的可能取值为13,17,25；
而5
25
15(13)228
P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 5
1515(17)2216
P C ξ⎛⎫=== ⎪
⎝⎭， 5
05
11(25)2216
P C ξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，故ξ的概率分布列为：
ξ
13 17 25
P 5 8
5
16
1
16
所以数学期望()13172515
81616
Eξ=⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查独立性重复性试验的概率计算，分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力和逻辑推理能力.
22．如图，在直三棱柱111
ABC A B C
-中，
1
2,
AA AB AC
===,
AB AC
⊥,
M N分别是棱
1
,
CC BC的中
点，点P在线段1A B上（包括两个端点
．．．．．．）运动．
（1）当P为线段1A B的中点时，
①求证：1
PN AC
⊥；②求平面PMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线PN与平面AMN所成的角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）①见解析；②
6
6
；（2）
37
[
33
.
【解析】
【分析】
（1）以{}1
,,
AB AC AA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-，
由向量法证明线线垂直和计算二面角．（2）设
11
A P A B
λ
=（01
λ
≤≤），设直线PN与平面AMN所成
的角为,α由向量坐标法求得
2
42
sin cos,
68126
s PN
s PN
s PN
λ
α
λλ
⋅-
===
⋅⋅-+
[]
0,1,
λ∈设[]
42,2,4,
t t
λ
=-∈设()[]
2
2,4,
621014
t
f t t
t t
=∈
⋅-+
由导数法求得范围．
【详解】
以{}1
,,
AB AC AA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-，
则()
0,0,0,
A()
1
0,0,2,
A()
2,0,0
B，()()
1
0,2,0,0,2,2
C C.
因为,M N 分别是棱1,CC BC 的中点，所以()()0,2,1,1,1,0.M N
（1）当P 为线段1A B 的中点时，则()1,0,1.P
①因为()0,1,1,PN =- ()10,2,2,AC =所以10,PN AC ⋅=即1.PN AC ⊥
②因为()()0,1,1,1,1,1,PN MN =-=--设平面PMN 的一个法向量为(),,,n x y z = 由,n PN ⊥ n MN ⊥可得0
y z x y z -=⎧⎨
--=⎩，取1y =，则2,1,x z ==所以()2,1,1.n =
又因为()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量， 设平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角为θ， 则cos cos 6m n m n m n
θ⋅=⋅=
=
⋅ 66=.因为θ为锐角，所以6cos ,6
θ= 所以平面PMN 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为
6
6
（2）因为P 在线段1A B 上，所以设11A P A B λ=（01λ≤≤），解得()2,0,22P λλ-， 所以()12,1,22PN λλ=--.
因为()()0,2,1,1,1,0,AM AN ==设平面AMN 的一个法向量为(),,,s x y z =
由,s AM s AN ⊥⊥可得200
y z x y +=⎧⎨+=⎩，取1,y =则1,2,x z =-=-所以()1,1,2.s =--
设直线PN 与平面AMN 所成的角为,α 则2
42sin cos ,68126
s PN s PN s PN
λαλλ⋅-==
=
⋅⋅-+
因为[]0,1,λ∈所以2
42sin 68126
αλλ-=
⋅-+设42,t λ=-则[]2,4,t ∈
所以sin α=
，设(
)[]2,4,f t t =
∈
则
(
)f t =
，设111,,42u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦可求得214102u u -+的取值范围为31,142⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 进一步可求得()f t
的取值范围为,33⎣⎦
所以直线PN 与平面PMN
所成的角的正弦值的取值范围为⎣⎦
. 【点睛】
本题全面考查利用空间向量坐标法证明线线垂直，求二面角，构造函数关系，并利用导数求范围，运算难度较大．。