22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

例 已知点 (2,2), (5, −2) ，点 在 轴上，分别求满足下列条件的点
的坐标.
[解析] 思路分析 （1）根据两角相等，判断 与 的关系，然后
转化为斜率的关系求解. （2）根据 ∠ 是直角，得出 ⊥ ，然后
转化为斜率之积为-1求解.
（1） ∠ = ∠ （ 是坐标原点）；
3.能利用两条直线平行或垂直
的几何意义.
的条件解决问题.
1.两条直线平行：
1 = 2
对于斜率分别为 1 , 2 的两条直线 1 , 2 ，有 1 ∥ 2 ⇔ ①____________.
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直. 即 1 ⊥
先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求
参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要
考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
已知 (1, −1), (2,2), (3,0) 三点，若 ⊥ ，且 ∥ ，求点 的坐标.
么 1 与 2 (
A
)
A. 垂直
B. 平行
C. 重合
D. 相交但不垂直
[解析] ∵ 直线 1 经过 (−3,4) ， (−8, −1) 两点，
∴ 直线 1 的斜率 1 =
4+1
−3+8
= 1.
∵ 直线 2 的倾斜角为 135∘ ，
∴ 直线 2 的斜率 2 = tan 135∘ = −1 ，
+2
9
= −1 ，
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状
1. 已知 (−4,3), (2,5), (6,3), (−3,0) 四点，若顺次连接 ， ， ，
四点，试判断图形 的形状.
[答案] ， ， ， 四点在平面直角坐标系中的位置如图：
由斜率公式可得 =
−
3
)
A
B.
2
2,1) ，且与斜率为 − 的直线垂直，
3
3
−
2
C.
2
3
D.
3
2
3. [2021浙江宁波慈溪高二期末] 已知两条不重合的直线 1 , 2 ，则“ 1 ∥ 2 ”
是“ 1 , 2 的斜率相等”的(
B
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
+1
.
−1
1. 若直线 1 的倾斜角为 135∘ ，直线 2 经过点 (−2, −1), (3, −6) ，则直线
1 与 2 的位置关系是(
A. 垂直
D
B. 平行
)
C. 重合
D. 平行或重合
2. 若直线 经过点 ( − 2, −1) 和 (− −
则实数 的值为(
A.
2
4. 已知点 (−3, −2), (6,1) ，点 在 轴上，且 ∠ = 90∘ ，求点 的坐
标.
[答案] 设 (0, ) ，由 ∠ = 90∘ 知，
⋅ =
1−(−2)
6−(−3)
×
−(−2)
0−(−3)
=
解得 = −11 ，
所以点 的坐标是(0,-11).
5) ，且 1 ∥ 2 ，求 的值.
[答案] 由已知得 1 = 0, 2 =
0 ，解得 =
3
.
2
2−5+2
，因为 1
5−1
∥ 2 ，所以 2 =
2−5+2
5−1
=
解题感悟
1 = 2 ⇔ 1 //2 是针对斜率都存在且不生命的两直线而言的，对于斜
率不存在或可能不存在的直线，要注意利用数形结合求解.
[答案] 因为直线 2 经过点 (2,3), (1, − 2) ，所以 2 的斜率存在，设
为 2 .当 2 = 0 时，则 − 2 = 3 ，即 = 5 ，则 (3,5), (3,3) ，显然直线
1 的斜率不存在，满足 1 ⊥ 2 ；
当 2 ≠ 0 时， − 2 ≠ 3 ，即 ≠ 5 ，显然 1 的斜率存在，设为 1 .
2−2
，且直线 与直线 平行，
3−
探究点二 两条直线垂直的判定
类型1 两条直线垂直的判定
例1 根据下列给定的条件，分别判断直线 1 与 2 是否垂直.
[解析] 思路分析 根据已知条件求出两条直线的斜率，然后根据垂直关
系判断.
（1） 1 经过点 (1,3), (−1, −1) ， 2 经过点 (2,1), (4,0) ；
[答案] 因为 ∠ = ∠ ，所以 ∥ ，所以 = .设 (, 0) ，
又 =
2−0
2−0
所以 1 =
2
，所以
−5
= 1, =
0−(−2)
−5
=
2
，
−5
= 7 ，即点 的坐标为(7,0).
（2） ∠ 是直角.
[答案] 因为 ∠ 为直角，所以 ⊥ ，
C. 重合
D. 无法确定
2. 已知过点 (3,2 m) 和点 (, 2) 的直线与过点 (2, −1) 和点 (−3,4) 的
直线平行，则 的值是_______.
-1
[解析] 因为 =
2−2
所以
3−
4−(−1)
−3−2
= −1, =
= −1 ，解得 = −1 .
1.当两条直线的斜率都不存在时， 1 与 2 的倾斜角都是 90∘ ， 1 ∥ 2 .
2.若没有指明 1 , 2 不重合，则 1 = 2 ⇔ 1 ∥ 2 或 1 与 2 重合，用斜率证
明三点共线时，常用到这一结论.
3.在利用以上结论判定两条直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即
.
故四边形ABCD为直角梯形.
素养探究：根据点画出图形，渗透了直观想象的素养；根据斜率判断图
形的形状，渗透了逻辑推理的素养.
已知 (0,1), (1,0), (3,2), (2,3) 四点，试判断由此四点构成的图形
的形状.
[答案] 由题意得 =
3−1
2−0
0−1
1−0
1
5
1. 经过两点 (3,1), (−2,0) 的直线 1 ，与经过点 (1, −4) 且斜率为 的直
线 2 的位置关系为(
A. 平行
)
A
B. 垂直
[解析] ∵ 1 =
0−1
−2−3
=
1
，
5
4
3
1
5
∴ 1 = 2 ，
又 ∵ =
0+4
−2−1
=− ≠ ，
∴ 1 与 2 不重合， ∴ 1 与 2 平行.
若要满足题意，则 1 2 =
综上可知， 的值为5或2.
3−
−2−3
−1 ，所以
⋅
−2−3
1−2
= −1 ，解得 = 2 .
解题感悟
若已知点的坐标中含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要
注意讨论斜率不存在的情况.
1. 已知直线 1 经过 (−3,4), (−8, −1) 两点，直线 2 的倾斜角为 135∘ ，那
1 2 = −1
2 ⇔ ②_________________.
1.两条直线平行，斜率一定相等吗？
提示 不一定，也可能两条直线的斜率都不存在.
2.若两条直线垂直，则它们的斜率之积一定等于-1吗？
提示 不一定，若两条直线的斜率都存在，则它们垂直时斜率之积是-1；当
两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在.
[答案] 由题意知 1 =
1 ⊥ 2 .
−1−3
−1−1
= 2, 2 =
0−1
4−2
1
2
= − ，因为 1 2 = −1 ，所以
（2） 1 经过点 (−1,3), (−1, −5) ， 2 经过点 (2,4), (−1,4) ；
[答案] 由题意知 1 的斜率不存在， 2 的斜率为0，所以 1 ⊥ 2 .
∴ 1 ⋅ 2 = −1 ，
∴ 1 ⊥ 2 .
2. [2021四川宜宾叙州二中高二开学考] 在平面直角坐标系内有两个点
(4,2) ， (1 ，-2)，若在 轴上存在点 ，使 ∠ =
(
D
)
A. (3,0)
B. (0,0)
C. (5,0)
D. (0,0)或(5,0)
π
，则点 的坐标是
一条直线与 轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
类型2 根据两条直线垂直求参数
例2 已知直线 1 经过点 (3, ), ( − 2,3) ，直线 2 经过点
(2,3), (1, − 2) ，如果 1 ⊥ 2 ，求 的值.
[解析] 思路分析 根据两条直线垂直，列方程求解.
= −1, =
3−2
2−3
= −1, =
2−0
3−1
= 1, =
= 1，
根据题意知 , 的斜率均存在，
所以 ⋅ = −1 .
设 (0 , 0) ，则 =
2
所以
2−0
×
2
0 −5
2
,
2−0
=
2
，
0 −5
= −1 ，
解得 0 = 1 或 0 = 6 ，即点 的坐标为(1,0)或(6,0).
解题感悟
（1）利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，
斜率存在，因此在讨论问题的过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论.
探究点一 两条直线平行的判定
例 根据下列给定的条件，判断直线 1 与直线 2 是否平行.
[解析] 思路分析 根据所给的条件求出两直线的斜率，根据斜率是否
相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合的情况.
（1） 1 经过点 (−1, −2), (2,1) ， 2 经过点 (3,4), (−1, −1) ；
[答案] 设 (, ) ，则 =

,
−3
因为 ⊥ , ∥ ，
所以 ⋅ = −1, = ，

−3
所以 ቐ+1
−1
× 3 = −1,
= −2,
= 0,
解得 ቊ
= 1,
所以点 的坐标为(0,1).
= 3, = −2, =
22人教版高中数学新教材选择性必修第一册
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
课标要求
素养要求
1.理解两条直线平行与垂直的
课标
解读
条件.
1.逻辑推理——能根据斜率推导两
2.能根据斜率判定两条直线平
条直线平行或垂直.
行或垂直.
2.直观想象——能够掌握直线斜率
（3） 1 经过点 (2, −1), (3,4) ， 2 的方向向量为(5,1).
[答案] 由题意知 1 =
2 不垂直.
4−(−1)
3−2
1
5
= 5, 2 = ，因为 1 2 ≠ −1 ，所以 1 与
解题感悟
判断两条直线是否垂直的依据是在这两条直线都有斜率的前提下，只需
要看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与 轴垂直，另
[答案] 1 =
1−(−2)
2−(−1)
= 1, 2 =
−1−4
−1−3
=
5
,∵
4
1 ≠ 2 ， ∴ 1 与 2 不平行.
（2） 1 经过点 (−3,2), (−3,10) ， 2 经过点 (5, −2), (5,5) ；
[答案] ∵ 1 与 2 都与 轴垂直，且 1 与 2 不重合， ∴ 1 ∥ 2
2
[解析] 设 (0 , 0) ，则 =
∵ ∠ =
2
,
4−0
π
，
2
∴ ⊥ ，
∴ ⋅ = −1 ，
2
则4−0⋅20 −1= −1 ，
解得 0 = 0 或 0 = 5 ，
∴ 点 的坐标为(0,0)或(5,0).
=
2
.
0 −1
探究点三 两条直线平行与垂直的综合应用
（3） 1 平行于 轴， 2 经过点 (0, −2), (0,5) .
[答案] 由题意知 1 的斜率不存在，且不是 轴， 2 的斜率也不存在，恰好
是 轴， ∴ 1 ∥ 2
变式 若将本例（3）改为 1 平行于 轴， 2 经过点 (1, −2), (5,2 −
5−3
2−(−4)
=
1
,
3
=
0−3
−3−6
=
1
,
3
=
0−3
−3−(−4)
=
−3, =
3−5
6−2
1
2
=− ，
∴ = ，由图可知 与 不重合，
∴ ∥ .
1
3
∵ ≠ ， ∴ 与 不平行. 又 ⋅ = × (−3) = −1, ∴ ⊥