高中数学课件-2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》
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2
一组数据：3,2,5,7,5,4,3,5的众数是________．
[答案] 5
[解析] 在该组数据中，3出现两次，2,4,7分别出现一 次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数．
3
2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间 位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数 据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等． [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某 些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点．
甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳 定性，从中选出一位参加数学竞赛．
32
[解析] 设甲乙两人的平均数分别为 x 甲， x 乙， 则 x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133， s2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝437， s2乙＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝338. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以 乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
－11)2＋(8－11)2]＝16×(1＋0＋1＋0＋9＋9)＝130.
18
方法2：由于该组数据都集中在11附近，故每一个数据 都减去11得到一组新数据：－1,0,1,0,3，－3，该组数据的方 差与原数据组方差相等．x1－＝0，
∴s2＝16[(－1)2＋02＋12＋02＋32＋(－3)2]＝130.
6
3．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据
Hale Waihona Puke x1＋x2＋…＋xnx1，x2，…，xn的平均数为 x n＝
n
.
7
(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数 据的 平均水平． 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位 数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的 信息，但平均数受数据中 极端值 的影响较大，使平均数在估 计总体时可靠性降低．
[答案] 2.2 0.96
[解析]
总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是
44 20
＝
2.2，方差s2＝210[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]＝0.96.
27
6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x， y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝
100，那么这个数组的标准差是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] A
[解析] 由s2＝1n(x12＋x22＋…＋x2n)－ x 2，得s2＝110×100－ 32＝1.
15
[知识拓展] 数据组x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差 为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a， b为常数)的平均数为a x ＋b，方差为a2s2，标准差为as.
像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数．
11
4．方差
(1)定义： 1n[(x1－－ x)2＋(x2－－ x)2＋…＋(xn－－ x)]
即 s2＝
．
(2)特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围： [0，＋∞)．
12
4．标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 一般用s表示，通常用以下公式来计算
20
[归纳总结] 用样本的数字特征估计总体的数字特征分 两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总 体标准差，样本容量越大，估计就越精确．
21
(1)下列判断正确的是( ) A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
1
自主预习 阅读教材P71－78，回答下列问题 1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数 最多 的数称为这组数据的 众数． (2)特征：一组数据中的众数可能 不止一 个，也可能没 有，反映了该组数据的 集中趋势． [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对 其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
16
(1)下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[答案] B
17
(2)计算10,11,12,11,14,8的方差．
[解析] 方法1： x ＝16×(10＋11＋12＋11＋14＋8)＝11，
∴s2＝
1 6
×[(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(11－11)2＋(14
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据
都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同
的是( )
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
[答案] D
[解析] 样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生 改变，所以标准差不变，故选D.
26
5．抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得 3分，抛到反面得1分，则平均得分是________，得分的方差 是________．
[解析] 3出现2次，其积为6,9出现4次，其积为36，－3 出现1次，5出现3次，其积为15，则这10个数据之和为6＋36 －3＋15＝54，则这组数据的平均数 x ＝5140＝5.4.
10
[规律] 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为 p1，p2，…，pn，则其平均数为 x ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋ xnpn(其中p1＋p2＋…＋pn＝1)．
28
7．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示．
29
(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分． [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数 的定义可解此题．
30
________. [答案] 208
[解析] 由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×15＝10. 则x＋y＝20； 又由于方差为2，则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11 －10)2＋(9－10)2]×15＝2， 整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192， 则x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.
＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命
估计为28小时．
23
随堂应用练习
24
3．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得 分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )
A．3与3 C．3与23
[答案] D
B．23与3 D．23与23
25
4．(2012·山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：
s＝
1n[x1－
x
2＋x2－
x
2＋…＋xn－
x
2] .
可以用计算器或计算机计算标准差．
13
(2)特征：标准差描述一组数据围绕 平均数 波动的大小， 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较 大，数据的离散程度较 大；标准差较小，数据的离散程度较 小．
14
现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是
19
6．用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均 数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常 用 样本 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这 与上一节用 样本 的频率分布来近似地代替总体分布是类似 的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接 受的．
[答案] D
22
(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，
得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则
该日生产电池的平均寿命估计为( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析]
这10个数据的平均数是
1 10
(30＋35＋25＋25＋30
4
一组数据3，－1，－2,1,9,5的中位数是________．
[答案] 2
[解析] 把这组数据按从小到大的顺序排列：－2，－ 1，1,3,5,9，则中间有两个数1和3，取其平均数，2为中位 数．
5
[规律] n个数据按大小依次排列，当n为奇数时，则中 间位置仅有一个数，这个数就是中位数；当n为偶数时，则 中间位置有两个数，取这两个数的平均数为中位数．
8
(1)一组数据：－2，－1,3,1，－7,0的平均数是______ __．
[答案] －1
[解析] 平均数 x ＝－2－1＋36＋1－7＋0＝－1.
9
(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
33
＋
50＋60 2
×0.015×10＋
60＋70 2
×0.02×10＋
70＋80 2
×0.03×10＋80＋2 90×0.025×10＋90＋2100×0.05×10＝72.
31
8．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两 人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的 六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
[解析] (1)由图知众数为70＋2 80＝75.
(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为
0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第
四个矩形内，0.1＝0.03(x－70)，∴x＝73.3. (3)由图知这次数学成绩的平均分为：40＋2 50×0.005×10
一组数据：3,2,5,7,5,4,3,5的众数是________．
[答案] 5
[解析] 在该组数据中，3出现两次，2,4,7分别出现一 次，5出现三次，5出现的次数最多，所以5为众数．
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2．中位数 (1)定义：一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于 中间 位置的数称为这组数据的中位数． (2)特征：一组数据中的中位数是 唯一 的，反映了该组数 据的 集中趋势．在频率分布直方图中，中位数左边和右边的 直方图的面积 相等． [破疑点] 中位数不受少数几个极端值的影响，这在某 些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点．
甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳 定性，从中选出一位参加数学竞赛．
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[解析] 设甲乙两人的平均数分别为 x 甲， x 乙， 则 x 甲＝130＋16(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133， x 乙＝130＋16(3－1＋8＋4－2＋6)＝133， s2甲＝16[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝437， s2乙＝16[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝338. 因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以 乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．
－11)2＋(8－11)2]＝16×(1＋0＋1＋0＋9＋9)＝130.
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方法2：由于该组数据都集中在11附近，故每一个数据 都减去11得到一组新数据：－1,0,1,0,3，－3，该组数据的方 差与原数据组方差相等．x1－＝0，
∴s2＝16[(－1)2＋02＋12＋02＋32＋(－3)2]＝130.
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3．平均数 (1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商．数据
Hale Waihona Puke x1＋x2＋…＋xnx1，x2，…，xn的平均数为 x n＝
n
.
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(2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数 据的 平均水平． 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位 数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的 信息，但平均数受数据中 极端值 的影响较大，使平均数在估 计总体时可靠性降低．
[答案] 2.2 0.96
[解析]
总得分为12×3＋8×1＝44，则平均分是
44 20
＝
2.2，方差s2＝210[(3－2.2)2×12＋(1－2.2)2×8]＝0.96.
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6．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x， y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2＋y2＝
100，那么这个数组的标准差是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] A
[解析] 由s2＝1n(x12＋x22＋…＋x2n)－ x 2，得s2＝110×100－ 32＝1.
15
[知识拓展] 数据组x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差 为s2，标准差为s，则数据组ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a， b为常数)的平均数为a x ＋b，方差为a2s2，标准差为as.
像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数．
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4．方差
(1)定义： 1n[(x1－－ x)2＋(x2－－ x)2＋…＋(xn－－ x)]
即 s2＝
．
(2)特征：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小．
(3)取值范围： [0，＋∞)．
12
4．标准差 (1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离， 一般用s表示，通常用以下公式来计算
20
[归纳总结] 用样本的数字特征估计总体的数字特征分 两类：用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总 体标准差，样本容量越大，估计就越精确．
21
(1)下列判断正确的是( ) A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数
第二章
2．2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征
1
自主预习 阅读教材P71－78，回答下列问题 1．众数 (1)定义：一组数据中出现次数 最多 的数称为这组数据的 众数． (2)特征：一组数据中的众数可能 不止一 个，也可能没 有，反映了该组数据的 集中趋势． [破疑点] 众数体现了样本数据的最大集中点，但它对 其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征．
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(1)下列刻画一组数据离散程度的是( )
A．平均数
B．方差
C．中位数
D．众数
[答案] B
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(2)计算10,11,12,11,14,8的方差．
[解析] 方法1： x ＝16×(10＋11＋12＋11＋14＋8)＝11，
∴s2＝
1 6
×[(10－11)2＋(11－11)2＋(12－11)2＋(11－11)2＋(14
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据
都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同
的是( )
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
[答案] D
[解析] 样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生 改变，所以标准差不变，故选D.
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5．抛硬币20次，正面12次，反面8次．如果抛到正面得 3分，抛到反面得1分，则平均得分是________，得分的方差 是________．
[解析] 3出现2次，其积为6,9出现4次，其积为36，－3 出现1次，5出现3次，其积为15，则这10个数据之和为6＋36 －3＋15＝54，则这组数据的平均数 x ＝5140＝5.4.
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[规律] 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为 p1，p2，…，pn，则其平均数为 x ＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋ xnpn(其中p1＋p2＋…＋pn＝1)．
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7．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示．
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(1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分． [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数 的定义可解此题．
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________. [答案] 208
[解析] 由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×15＝10. 则x＋y＝20； 又由于方差为2，则[(x－10)2＋(y－10)2＋(10－10)2＋(11 －10)2＋(9－10)2]×15＝2， 整理得x2＋y2－20(x＋y)＝－192， 则x2＋y2＝20(x＋y)－192＝20×20－192＝208.
＋34＋26＋25＋29＋21)＝28，则该日生产的电池的平均寿命
估计为28小时．
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随堂应用练习
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3．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得 分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为( )
A．3与3 C．3与23
[答案] D
B．23与3 D．23与23
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4．(2012·山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下：
s＝
1n[x1－
x
2＋x2－
x
2＋…＋xn－
x
2] .
可以用计算器或计算机计算标准差．
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(2)特征：标准差描述一组数据围绕 平均数 波动的大小， 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较 大，数据的离散程度较 大；标准差较小，数据的离散程度较 小．
14
现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是
19
6．用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均 数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的，因此，通常 用 样本 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计．这 与上一节用 样本 的频率分布来近似地代替总体分布是类似 的．只要样本的代表性好，这样做就是合理的，也是可以接 受的．
[答案] D
22
(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，
得数据如下(单位：小时)：30,35,25,25,30,34,26,25,29,21，则
该日生产电池的平均寿命估计为( )
A．27
B．28
C．29
D．30
[答案] B
[解析]
这10个数据的平均数是
1 10
(30＋35＋25＋25＋30
4
一组数据3，－1，－2,1,9,5的中位数是________．
[答案] 2
[解析] 把这组数据按从小到大的顺序排列：－2，－ 1，1,3,5,9，则中间有两个数1和3，取其平均数，2为中位 数．
5
[规律] n个数据按大小依次排列，当n为奇数时，则中 间位置仅有一个数，这个数就是中位数；当n为偶数时，则 中间位置有两个数，取这两个数的平均数为中位数．
8
(1)一组数据：－2，－1,3,1，－7,0的平均数是______ __．
[答案] －1
[解析] 平均数 x ＝－2－1＋36＋1－7＋0＝－1.
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(2)在一组数据中，共有10个数，其中3出现2次，9出现4 次，－3出现1次，5出现3次，则这组数据的平均数为 ________．
[答案] 5.4
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＋
50＋60 2
×0.015×10＋
60＋70 2
×0.02×10＋
70＋80 2
×0.03×10＋80＋2 90×0.025×10＋90＋2100×0.05×10＝72.
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8．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两 人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的 六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：
[解析] (1)由图知众数为70＋2 80＝75.
(2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为
0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第
四个矩形内，0.1＝0.03(x－70)，∴x＝73.3. (3)由图知这次数学成绩的平均分为：40＋2 50×0.005×10