解析四川省攀枝花市高二下学期期末考试数学理试题含解析

2018-2019学年度（下）调研检测
高二数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数z 满足i 12i z ⋅=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】 利用复数的四则运算法则，可求出12i 2i i z +=
=-，从而可求出z 在复平面内所对应的点的坐标，从而可得到答案. 【详解】由题意，()12i i 12i 2i i 1
z ++=
==--，则复数z 在复平面内所对应的点为()2,1-，在第四象限.
【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生对复数知识的理解和掌握，属于基础题. 2.已知抛物线2
8=y x 的焦点和双曲线2
21x y m -=的右焦点重合，则m 的值为（ ） A. 3 3 C. 5 5【答案】A
【解析】
【分析】 先求出抛物线的焦点坐标，进而可得到双曲线的右焦点坐标，然后利用222m a c b ==-，可得到答案.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为()2,0，则双曲线的右焦点为()2,0，
则2213m =-=，故选A.
【点睛】本题考查了抛物线、双曲线的焦点坐标的求法，考查了学生的计算能力，属于基础
题.
3.如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为10，14，则输出的a =（ ）
A. 6
B. 4
C. 2
D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】 由程序框图，先判断，后执行，直到求出符合题意的a .
【详解】由题意，可知10a =，14b =，
满足a b ¹，不满足a b >，则14104b =-=，
满足a b ¹，满足a b >，则1046a =-=，
满足a b ¹，满足a b >，则642a =-=，
满足a b ¹，不满足a b >，则422b =-=，
不满足a b ¹，输出2a =.
故选C.
【点睛】本题考查了算法和程序框图，考查了学生对循环结构的理解和运用，属于基础题.
4.已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ）
A. 2()4f x x x =-
B. 2
()4f x x x =+ C. 2()2f x x x =-
D. 2()2f x x x =+ 【答案】A
【解析】
【分析】
先对函数()f x 求导，然后将1x =代入导函数中，可求出(1)2f '=-，从而得到()f x 的解析式.
【详解】由题意，()22(1)f x x f ''=+，则(1)22(1)f f ''=+，解得(1)2f '=-，故2()4f x x x =-.
故答案为A.
【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.
5.若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ ）
A. 40π
B. 36π
C. 26π
D. 20π 【答案】B
【解析】
【分析】
先求出母线，然后分别求出圆锥的底面面积和侧面面积.
【详解】圆锥的母线5l ==，则圆锥的表面积21π4π42536π2
S =⨯+⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.
6.函数321()5(0)3f x ax x a =
-+>在(0,1)上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A. 01a <<
B. 12a <<
C. 02a <<
D. 2a > 【答案】D
【解析】
【分析】
函数321()5(0)3
f x ax x a =-+>在(0,1)上不单调，即()f x 在(0,1)内有极值点，由
2()2f x ax x '=-，结合二次函数的性质，即可求出实数a 的取值范围.
【详解】2()2f x ax x '=-，函数321()5(0)3
f x ax x a =-+>在(0,1)上不单调，即()f x 在(0,1)内有极值点，因为0a >，且(0)0f '=，所以有(1)0f '>，即20a ->，解得2a >. 故答案为D.
【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了二次函数的性质，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.
7.下列叙述正确的是（ ）
A. 若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是真命题
B. 命题“若2=1x ，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”
C. 命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是“0x ∀∈R ，020x ≤”
D. “45α︒>”是“tan 1α>”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
结合命题知识对四个选项逐个分析，即可选出正确答案.
【详解】对于选项A ，“p q ∧”为假命题，则p ，q 两个命题至少一个为假命题，若p ，q 两个命题都是假命题，则命题“p q ∨”是假命题，故选项A 错误；
对于选项B ，“若2=1x ，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，符合否命题的定义，为正确选项；
对于选项C ，命题“x ∀∈R ，20x >”的否定是“0x ∃∈R ，020x ≤”，故选项C 错误； 对于选项D ，若=135α︒，则tan 0α<，故“45α︒>”不是“tan 1α>”的充分不必要条件.
【点睛】本题考查了命题的真假的判断，考查了学生对基础知识的掌握情况.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 43
B. 53
C. 73
D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】
该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.
【详解】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为12112
S =⨯⨯=，三棱柱和三棱锥的高为1，则三棱柱的体积1111V =⨯=，三棱锥的体积为2111133V =
⨯⨯=，故该几何体的体积为14133V =+=. 故选A.
【点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
9.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）
A. 若//m α,//m β,则//αβ
B. 若αβ⊥，m α⊥，//n β，则m n ⊥
C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥
D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β
【答案】C
【解析】
【分析】
结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案.
【详解】对于选项A ，当//m α,//m β，,αβ有可能平行，也有可能相交，故A 错误；
对于选项B ，当αβ⊥，m α⊥，//n β，,m n 有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；
对于选项C ，当m α⊥,//m n ,根据线面垂直的判定定理可以得到n α⊥，故C 正确； 对于选项D ，当αβ⊥,m α⊥,则//m β或者m β⊂，故D 错误；
故答案为选项C.
【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
10.函数()f x 与它的导函数()f x '的大致图象如图所示，设()()e
x f x g x =,当(0,5)x ∈时，()g x 单调递减的概率为（ ）
A. 15
B. 25
C. 35
D. 45
【答案】B
【解析】
分析】
结合图象可得到()()0f x f x '-<成立的x 的取值范围，从而可得到()g x 的单调递减区间，即可选出答案.
【详解】由图象可知，y 轴左侧上方图象为()f x '的图象，下方图象为()f x 的图象，
对()g x 求导，可得()()()x f x f x g x e ''
-=，结合图象可知(0,1)x ∈和(4,5)x ∈时，()()0f x f x '-<，即()g x 在()0,1和()4,5上单调递减，故(0,5)x ∈时，()g x 单调递减的
概率为25
，故答案为B. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查了数形结合的数学思想，考查了导数的应用，属于中档题.
11.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠=
=
，AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A. 32π
B. 48π
C. 64π
D. 72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC △的外接圆的半径，然后取ABC △的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】在ABC △
中，AB AC ==，23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC △
的外接圆的半径2sin 2sin 6
AB r ACB ===ABC △的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径
4R ==，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
12.已知函数2()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则3
122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值为( ) A. 1
B. 1-
C. a
D. a - 【答案】A
【解析】
【分析】 令=e x x t ，构造()e x x g x =，要使函数2()e e x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则方程20t at a +-=需要有两个不同的根12,t t ，则240a a ∆=+>，解得0a >或4a <-，结合()e x x g x =
的图象，并分0a >，4a <-两个情况分类讨论，可求出3
122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 【详解】令=e x x t ，构造()e x x g x =，求导得1()e
x x g x -'=，当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，
故()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且0x <时，()0<g x ，0x >时，
()0>g x ，max 1()(1)e g x g =
=，可画出函数()g x 的图象（见下图），要使函数2
()e e
x x x ax f x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有三个不同的零点123,,x x x （其中123x x x <<），则方程20t at a +-=需要有两个不同的根12,t t （其中12t t <），则240a a ∆=+>，解得0a >或4a <-，且1212
t t a t t a +=-⎧⎨⋅=-⎩， 若0a >，即121200
t t a t t a +=-<⎧⎨⋅=-<⎩，则1210e t t <<<，则12301x x x <<<<，且()()232g x g x t ==，
故()()()()3122222231212121211111111e e e x x x x x x t t t t t t a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=--=-++=+-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 若4a <-，即121244
t t a t t a +=->⎧⎨⋅=->⎩，由于max 1()(1)e g x g ==，故1224e t t +<<，故4a <-不符合题意，舍去.
故选A.
【点睛】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
三、填空题
13.若“R x ∃∈，使2x 2x m 0-+=成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】m≤1
【解析】
x R ∃∈Q ，使220x x m -+=为真命题
则440m n =-≥
解得1m ≤
则实数m 的取值范围为1m ≤
14.观察下面几个算式：1214++=；123219++++=；123432116++++++=；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面算式的规律，计算
1239910099321++++++++++=L L ______
【答案】10000
【解析】
观察归纳中间数为2，结果为4＝22；中间数为3，结果为9＝32；中间数为4，结果为16＝42；于是中间数为100，结果应为1002＝10 000.
故答案为：10 000
点睛：这个题目考查的是合情推理中的数学式子的推理；一般对于这种题目，是通过数学表达式寻找规律，进而得到猜想。

或者通过我们学习过程中的一些特例取归纳推理，注意观察题干中的式子的规律，以免出现偏差。

15.如图是棱长为a 的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线EF 与MN 所成角的余弦值为________．
【答案】12
【解析】
【分析】
结合正方体的平面展开图，作出正方体的直观图，可知BEF V 是正三角形，从而可知直线EF 与MN 所成角为π3
，即可得到答案. 【详解】作出正方体的直观图，连接BF ，BE ，易证三角形BEF 是正三角形，而//MN BF ，
故直线EF 与MN 所成角为
π
3，则直线EF 与MN 所成角的余弦值为12
.
【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角的求法，属于中档题.
16.定义在(,)22
ππ
-
上的奇函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f =．当0x >时，
()()tan f x f x x '<⋅,则不等式()0f x <的解为__________．
【答案】(,1)(0,1)2π
--U
【解析】 【分析】
当0x >时，由()()tan 'f x xf x <可得()'0sin f x x ⎛⎫>
⎪
⎝⎭
，()()sin f x g x x =在()0,∞+上递增，根据奇偶性可得()g x 在(),0-∞上递减，()0f x <，等价于()sin 0xg x <，结合()g x 的单调性与()()()11011
f g g sin =
==-，分类讨论解不等式即可.
【详解】当0x >时，由()()tan 'f x xf x <
()()'sin cos 0f x x f x x ->，可得()'0sin f x x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
()()
sin f x g x x
=
在()0,∞+上递增， ()g x Q 为偶函数， ()g x ∴在(),0-∞上递减，
()()()11011
f g g sin =
==-，
()0f x <，等价于()sin 0xg x <， ()()01sin 0g x g x ⎧>=-⎨
<⎩或()()
01sin 0g x g x ⎧<=⎨>⎩
可得12
x π
-
<<-或01x <<，
()0f x <的解集为(),10,12π⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，故答案为(),10,12π⎛⎫
--⋃ ⎪⎝⎭
.
【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
本题通过观察四个选项，联想到函数()()cos g x f x x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知函数2
()e 1(,)x f x ax bx a b =+++∈R ，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为
(e 1)1y x =-+.
（1）求实数,a b 的值；
（2）求函数()y f x =在[1,2]-的最值.
【答案】（1）01
a b =⎧⎨=-⎩；（2）min ()2f x =，2
max ()e 1f x =-
【解析】 【分析】
（1）()e 2x
f x ax b '=++，可得到(1)e 2e 1(1)e 1e f a b f a b =++=-⎧⎨=+++='⎩
，即可求出,a b 的值；（2）由
()1x f x e =-'可判断()f x 的单调性，从而可求出函数()y f x =在[1,2]-的最值.
【详解】（1）()e 2x
f x ax b '=++，则(1)e 2e 1(1)e 1e f a b f a b =++=-⎧⎨
=+++='⎩，0
1
a b =⎧∴⎨=-⎩．
（2）()e 1x
f x x =-+的定义域为(,)-∞+∞，()e 1x
f x '=-， 令()0f x '=，则0x =，
∴当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴min ()(0)2f x f ==，
∵1
(1)2e
f -=
+，2(2)e 1f =-，且(2)(1)f f >-， ∴2
max ()(2)e 1f x f ==-．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了函数的单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于基础题.
18.某校从参加高二年级期末考试的学生中随机抽取了n 名学生，已知这n 名学生的物理成绩均不低于60分（满分为100分）．现将这n 名学生的物理成绩分为四组：[60,70)，[70,80)，
[80,90)，[90,100]，得到的频率分布直方图如图所示，其中物理成绩在[90,100]内的有28
名学生，将物理成绩在[80,100]内定义为“优秀”，在[60,80)内定义为“良好”．
男生 女生 合计 优秀
（1）求实数a 的值及样本容量n ；
（2）根据物理成绩是否优秀，利用分层抽样的方法从这n 名学生中抽取10名，再从这10名学生中随机抽取3名，求这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率；
（3）请将22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关？
参考公式及数据：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.
【答案】（1）100；（2）2
3
；（3）见解析 【解析】 【分析】
（1）由题可得10(0.0160.0240.032)1a ⨯+++=，即可得到a 的值，结合物理成绩在
[90,100]内的有28名学生，可求出样本容量n ；（2）先求出这100名学生中物理成绩良好的
人数，结合分层抽样的特点，可分别求出这10名学生中物理成绩良好和优秀的人数，然后列出式子求概率即可；（3）先完善列联表，然后求出2K 的观测值，从而可得到答案. 【详解】（1）由题可得10(0.0160.0240.032)1a ⨯+++=，解得0.028a =，
又物理成绩在[90,100]内的有28名学生，所以
28
0.02810n
=⨯，解得100n =． （2）由题可得，这100名学生中物理成绩良好的有100(0.0160.024)1040⨯+⨯=名， 所以抽取的10名学生中物理成绩良好的有40
104100
⨯
=名，物理成绩优秀的有1046-=名， 故从这10名学生中随机抽取3名，这3名学生的物理成绩至少有2名是优秀的概率为
2136463
10602021203
C C C P C ++===． （3）补充完整的22⨯列联表如下表所示： 男生 女生 合计 优秀 20 40 60 良好 20 20 40 合计 40
60
100
则2
K
的
观测值22
100(20202040)25 2.778 3.841406040609
K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
所以没有95%的把握认为物理成绩是否优秀与性别有关.
【点睛】本题考查了频率分布直方图、分层抽样及独立性检验的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.
19.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面
,ABCD //DE AF ，//,AD BC AB CD =，60ABC ∠=o ，22BC AD ==.
（1）请在图中作出平面α，使得,DE α⊂且//BF α，并说明理由； （2）证明：AC BF ⊥.
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）取BC 中点G ，连接,DG EG ，则平面DEG 即为所求平面α，可证明//BF 平面DEG ；（2）结合（1）先证明三角形CDG 是边长为1的正三角形，然后证明
30ACD CAD ACB ∠=∠=∠=o ，从而可知90BAC ∠=o ，由AF ⊥平面ABCD ，可知
AC AF ⊥，从而可知AC ⊥平面ABF ，即可证明AC BF ⊥.
【详解】（1）取BC 中点G ，连接,DG EG ，则平面DEG 即为所求平面α． ∵22BC AD ==，//AD BC ， ∴//AD BG 且AD BG =，
∴四边形ABGD 是平行四边形，则//AB DG ，
∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG ，
∵//AF DE ，AF ⊄平面DEG ，DE ⊂平面DEG ，∴//AF 平面DEG ，
∵AF ⊂平面ABF ，AB Ì平面ABF ，且AB AF A =I ，∴平面//ABF 平面DEG ， ∵BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面DEG ，即//BF α.
（2）由（1）四边形ABGD 是平行四边形，则AB DG =，60DGC ABC ∠=∠=o ， ∵AB CD =，∴三角形CDG 是边长为1的正三角形， ∵1AD =，120ADC ∠=o ， ∴30ACD CAD ACB ∠=∠=∠=o ， ∴90BAC ∠=o ，即AC AB ⊥，
∵AF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC AF ⊥，
∵AF ⊂平面ABF ，AB Ì平面ABF ，AB AF A =I ，∴AC ⊥平面ABF ， ∵BF ⊂平面ABF ，∴AC BF ⊥.
【点睛】本题考查了平面与平面平行的判定，考查了线面垂直的性质与判定，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2
2
，椭圆C 的四个顶点围成的四边形的
面积为2．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设M 为椭圆C 的右顶点，过点(6,0)N 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，记直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，求证:12k k ⋅为定值．
【答案】（1）22
142
x y +=；
（2）定值1 【解析】 【分析】
（1）由题意可得2222224222c e a a ab b a b c c ⎧==⎪=⎧⎪⎪⎪
=⇒=⎨⎨⎪⎪
=+=⎩⎪
⎪⎩
（2）依题意得直
线l 的斜率存在，设其方程为(6)(0)y k x k =-≠，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可得到结论.
【详解】（1）由题意有2222224222c e a a ab b a b c
c ⎧==⎪=⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪
=+=⎩⎪
⎪⎩
，∴椭圆C 的标准方程为22
142x y +=．
（2）由（1）可知(2,0)M ，依题意得直线l 的
斜率存在，设其方程为(6)(0)y k x k =-≠，
设()11,P x y ，()22,Q x y ，()1222x x ≠≠,，联立方程22
142
(6)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
， 消去y 并整理可得2
2
2
2
(12)247240k x k x k +-+-=，
21222412k x x k +=+, 2122
724
12k x x k
-=+，2212121212121212121212(6)(6)[6()36]
.222()42()4
y y k x x k x x x x k k x x x x x x x x x x ---++===---++-++
=22
2
2222222222222
22
724144[36][72414436(12)]321212172448724484(12)32+4
1212k k k k k k k k k k k k k k k k
k k --+--++++===---++-++为定值. 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线的斜率及
韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.
21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11ABB A ，且12AA AB ==.
（1）求证：AB BC ⊥；
（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角的大小为6
π
，求锐二面角1A A C B --的大小 【答案】（1）详见解析；（2）60o .
【解析】 【分析】
(1)本题首先可以取1A B 的中点 EMBED Equation.DSMT4 D 并连接AD ，然后利用平面
1A BC ⊥侧面11A ABB 得到AD ⊥平面1A BC ，再根据三棱柱是直三棱柱得到1AA BC ⊥，最
后根据线面垂直的相关性质得到BC ⊥侧面11A ABB ，即可得出结果；
(2)首先可以构造出空间直角坐标系，然后求出平面1AA C 与平面1A BC 的法向量，即可得出结果。

【详解】
(1)如图，取1A B 的中点D ，连接AD . 因为1AA AB =，所以1AD A B ⊥.
由平面1A BC ⊥侧面11A ABB ，且平面1A BC ⋂侧面111A ABB A B =， 得AD ⊥平面1A BC ，
又BC ⊂平面1A BC ，所以AD BC ⊥，
因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，1AA BC ⊥， 又1AA AD A ⋂=，从而BC ⊥侧面11ABB A ，又AB ⊂侧面11A ABB ，故AB BC ⊥； (2)由(1)知AB BC ⊥且1BB ⊥底面ABC ，所以以点B 为原点，以1BC BA BB 、、所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系B xyz -，
设BC a =，则()0,2,0A ，()0,0,0B ，(),0,0C a ，()10,2,2A ，
(),0,0BC a =u u u r ，()10,2,2BA u u u r =，(),2,0AC a =-u u u r ，()10,0,2AA =u u u r
，
设平面1A BC 的一个法向量()1,,n x y z =u r ，由1BC n ⊥u u u r u r ，11
BA n ⊥u u u r u r ，得0
220xa y z =⎧⎨+=⎩
， 令1y =，得0,1x z ==-，则()10,1,1n =-u r
，
设直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ，则30θ=o ，
所以
11·1sin302AC n AC n o
u u u r u r u u u r u r ===， 解得2a =，即()2,2,0AC =-u u u r
．
又设平面1A AC 的一个法向量为2n u u r
，同理可得()21,1,0n =u u r .
设锐二面角1
A A C
B --的大小为α，则1212121
cos cos ,2
n n n n n n u r u u r
u r u u r u r u u r α⋅===⋅， 由0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，得60α=o
，所以锐二面角1A A C B --的大小为60o 。

【点睛】本题考查了解析几何的
相关性质，主要考查了线线垂直的证明以及二面角的求法，线线垂直可以通过线面垂直证明，而二面角则可以通过构造空间直角坐标系并借助法向量来求解，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题。

22.已知函数()ln ()a
f x x a x
=+
∈R ． （1）讨论函数()f x 在定义域上的单调性；
（2）若函数2
()()g x xf x ax x =--有两个不同的极值点12,x x ，且12x x <，证明：2
12e
x x ⋅>（e 为自然对数的底数）.
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）对()f x 求导，讨论导函数的正负，即可得到函数()f x 在定义域上的单调性；（2）由
2()ln g x x x ax x a =--+，可得()ln 2g x x ax '=-，由()g x 有两个不同的极值点12,x x ，可
得1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，要证212e x x >，即证2
12ln(.)ln e 2x x >=，即
2121=2ln ln 2+2x ax ax x +>，也就是要证明121a x x >+，而2211
ln 2()x a x x x =-，则2121ln
2()x x a x x =-，则原式等价于要证明：2
12112ln 2x x x x x x >-+，即证
2221121211
2(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++，令21x t x =，则1t >，上式等价于要证2(1)ln 1t t t ->+，构造函数2(1)()ln 1
t h t t t -=-+，证明()0h t >即可. 【详解】（1）由题意可知，函数()f x 的定义域为221(0,),()a x a f x x x x -'+∞=
-=， 令()0f x '=得0x a -=，x a =，
①当0a ≤时，()()00,f x '>+∞在上恒成立，故此时()()0,f x +∞在上单调递增; ②当0a >时，由()0f x '>得()(),f x a +∞在上单调递增,
由()0f x '<得()()0f x a 在，上单调递减,
综上所述，当0a ≤时，()()0,f x +∞在上单调递增，
当0a >时，()(),f x a +∞在上单调递增，()()0f x a 在，上单调递减.
（2）可知2
()ln g x x x ax x a =--+
所以()ln 2g x x ax '=-，因为()g x 有两极值点12,x x ，所以1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，
欲证212e x x >，等价于要证：212ln(.)ln e 2x x >=，即12ln ln 2x x +>， 所以122+22ax ax >，即12()1a x x +>，因为120x x <<，所以原式等价于要证明：12
1a x x >+，① 由1122ln 2,ln 2x ax x ax ==，可得2211ln 2()x a x x x =-，则有2121ln
2()x x a x x =-，②
由①②原式等价于要证明：212112ln 2x x x x x x >-+，即证2221121211
2(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++， 令21x t x =，则1t >，上式等价于要证2(1)ln 1
t t t ->+， 令2(1)()ln 1
t h t t t -=-+，则22222142+1(1)()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t --'=-==>+++，所以()()1+h t ∞在,上单调递增，
因此当1t >时，()(1)0h t h >=，即2(1)ln 1
t t t ->
+. 所以原不等式成立，即212e x x >.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数的极值，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.。