辽宁省2013届高考压轴卷 数学理试题

2013辽宁省高考压轴卷
数学（理）试题
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体体积公式
P (A +B )=P (A )+P (B ) V Sh =
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示棱锥底面积，h 表示棱锥的高
P (A ·B )=P (A )·P (B )
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k
n k k n
n P P C k P --=)
1()( 球的表面积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积，
24R S π= h 表示梭台的高
球的体积公式 其中R 表示球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
（1）i (A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i （2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） （3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数
（C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
（4）已知正数x 、y 满足错误！未找到引用源。

，
未找到引用源。

的最小值为（ ）
)(A 1 )(B 错误！未找到引用源。

)(C
错误！未找到引用源。

)(D 错
误！未找到引用源。

(5)
它的一个焦点在抛
物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为
（A
（B ）
（C
（D
（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列的前5项和为 （A
5 （B
5 （C
（D
（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c
则A=
（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150
（8）若函数
若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）
(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足 （A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥
10．已知函数错误！未找到引用源。

，则方程错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

）的根的个数
不可能为（ ）
)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 3
第II 卷
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ．
12．执行如图2所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．
（13）已知圆C 的圆心是直线1,
(1x t y t
=⎧⎨=+⎩为参数）
与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为
(14)如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

（15）【引用】已知O 为△ABC
若
AC y AB x AO +=，且32x+25y=25，则||OA →
== ．
（16）设函数2
()1f x x =-，对任意
数m 的取值范围是 .
17.已知函数()f x 的定义域为[]15,-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示. 下列关于()f x 的命题：
图2
①函数()f x 的极大值点为0，4；②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4；
④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点；⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个．其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．
（Ⅰ）求函数()f x 的达式；
（Ⅱ）在△ABC 中．a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，，10=⋅CB CA ，角C 为锐角。

且满足A c C a a sin sin 42-=，求c 的值．
19.（本小题满分14分）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m 个，3
号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率
（Ⅰ）求m 、n 的值；
（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 20. （本小题满分14分）
如图，已知ABCD 为平行四边形，︒=∠60A ，2AF FB =，6=AB ，点E 在CD 上，BC EF //，AD BD ⊥，BD 与EF 相交于N ．现将四边形ADEF 沿EF 折起，使点D 在平面BCEF 上的射影恰在直线BC 上．
(Ⅰ) 求证：⊥BD 平面BCEF ；
(Ⅱ) 求折后直线DE 与平面BCEF 所成角的余弦值．
（21）（本小题满分15分）的左顶点)0,2(-A ，过右焦点F 且垂直于
长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ，求
22.（本小题满分15
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性.
（Ⅲ）若对任意(3,4)a ∈及任意12,[1,2]x x ∈，
求实数m 的取值范围.
辽宁省高考压轴卷 数学(理)试题
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 （1）i
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i 【答案】A
【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。

进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i 2
改为-1.
（2）函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 (A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2） 【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。

f(x)的零点在区间（-1，0）上。

（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A)若f(x) 是偶函数，则f(-x)是偶函数 （B ）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 （C ）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数 （D ）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念 ，属于容易题。

否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B 项是正确的。

（4）已知正数x 、y 满足错误！未找到引用源。

，未找到引用源。

的最小值为（ ）
)(A 1 )(B 错误！未找到引用源。

)(C
错误！未找到引用源。

)(D 错
误！未找到引用源。

【答案】D
(5)它的一个焦点在抛物线2
24y x =的
准线上，则双曲线的方程为
（A （B ）
（C （D 【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。

（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列的前5项和为 （A
5 （B
5 （C
（D
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然q ≠1，
1，
前5
（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c
A= （A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150 【答案】A
【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由
由
正
弦
定
理
得
，所以
A=300 （8）若函数
若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。

由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。

(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足 （A ）||3a b +≤ （B ）||3a b +≥ （C ）||3a b -≤ （D ）||3a b -≥ 【答案】D
【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。

A=｛x|a-1<x<a+1｝,B={x|x<b-2或x>b+2}
因为A ⊆B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，即a-b ≤-3或a-b ≥3，即|a-b|≥3
10．【引用】已知函数错误！未找到引用源。

，则方程错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

）的根
的个数不可能为（ ）
)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D
3
【答案】A
第II 卷
二、 填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分． 11．某几何体的三视图如图1所示,它的全面积为 ． 【答案】π54
12．执行如图2
所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为 ．
（13）已知圆C 的圆心是直线1,
(1x t y t =⎧⎨=+⎩
为参数）
与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的图2
方程为 【答案】22(1)2x y ++=
本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。

令y=0得t=-1，所以直线1x t
y t =⎧⎨
=+⎩
与x 轴的交点为（-1.0）
C 的方程为22(1)2x y ++=
(14)如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

【答案】2
（15）【引用】已知O 为△ABC
若
AC y AB x AO +=，且32x+25y=25，则||OA →
== ．
【答案】10
（17） ①②⑤
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.解：（4分）
，即π=T ，（5分） ，∵0>ω，∴2=ω， （6分）
（7分） （8分）
（Ⅱ）A c C a a sin sin 42-=，由正弦定理可得 （10分）
（12分） ，10cos ==⋅C ab CB CA ，∴6=b ， （14分）
由余弦定理得21cos 2222=-+=C ab b a c ，∴
（19）本题主要考查排列组合, 随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查抽象概
括能力。

满分14分。

解：（1）记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ，…2分
4分 解得6,3==n m ；………6分
（2）随机变量ξ的取值为6,5,4,3，ξ的分布列为
…………10分
所以，数学期望5=ξE ． ………14分
ξ
3 4 5 6 P
（21）本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法
和综合解题能力。

满分15分。

解：（1）2=a ，设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ，将),(M y c M 代入椭圆方程
2分 ，可得32=b ．……4分
6分 （2）由题意知，直线OP AQ ,斜率存在，故设为k ，则直线AQ 的方程为)2(+=x k y ，直线OP 的方程为kx y =．可得)2,0(k R ，则8分 设),(11y x A ，),(22y x Q ，联立方程组 消去y 得：0121616)34(2
222=-+++k x k x k ，
11分 设kx y =与椭圆交另一点为),(33y x M ，),(44y x P ，联立方程组 消去y 得012)34(22=-+x k ，
13分
等于定值2．……15分
22、解：
分）
(12分) (15分)。