2008年天津市初中毕业生学业考试数学试卷及参考答案

2008年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第10页．试卷满分120分．考试时间100分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填在“答题卡”上；用2B 铅笔将考试科目对应的信息点涂黑；在指定位置粘贴考试用条形码．
2．答案答在试卷上无效．每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 60cos 的值等于（ ）
A ．
2
1
B ．22
C ．23
D ．1
2．对称现象无处不在，请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化，
其中，可以看作是轴对称图形的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．边长为a 的正六边形的面积等于（ ） A ．
24
3a
B ．2a
C ．
2
2
33a D ．233a
4．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=610 毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（ ） A ．210个
B ．410个
C ．610个
D ．810个
5．把抛物线22x y =向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．522+=x y
B ．522-=x y
C ．2)5(2+=x y
D ．2)5(2-=x y
6．掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面朝上的概率等于（ ）
A ．1
B ．
2
1 C ．41 D ．0
7．下面的三视图所对应的物体是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．若440-=m ，则估计m 的值所在的范围是（ ） A ．21<<m
B ．32<<m
C ．43<<m
D ．54<<m
9．在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （32-，0），C （0，2-），D （32，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（ ） A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
10．在平面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （2，0），若点C 在一次函数22
1
+-=x y 的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
A
G E
H F
J
I B
C 第（15）题
第（14）题
2008年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．答第Ⅱ卷前，考生务必将密封线内的项目和试卷第3页左上角的“座位号”填写清
楚．
2．第Ⅱ卷共8页，用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔直接答在试卷上．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案直接填在题中横线上． 11．不等式组322(1)841x x x x +>-⎧⎨
+>-⎩
，
的解集为 ．
12．若2
19x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值为 ．
13．已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 ．
14．如图，是北京奥运会、残奥会赛会志愿者 申请人来源的统计数据，请你计算：志愿者申 请人的总数为 万；其中“京外省区市” 志愿者申请人数在总人数中所占的百分比约 为 %（精确到0.1%），它所对应的 扇形的圆心角约为 （度）（精确到度）． 15．如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ， 则图中相似三角形共有 对．
16．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，
2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为 ．
17．已知关于x 的函数同时满足下列三个条件： ①函数的图象不经过第二象限； ②当2<x 时，对应的函数值0<y ；
③当2<x 时，函数值y 随x 的增大而增大．
你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）．
第（16）题
A
D
C B F
G
18．如图①，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．
三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．（本小题6分） 解二元一次方程组3582 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩
，
20．（本小题8分）
已知点P （2，2）在反比例函数x
k
y =（0≠k ）的图象上， （Ⅰ）当3-=x 时，求y 的值； （Ⅱ）当31<<x 时，求y 的取值范围．
第（18）题图① 第（18）题图②
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 为内切圆，E 为切点， （Ⅰ）求AOD ∠的度数；
（Ⅱ）若8=AO cm ，6=DO cm ，求OE 的长．
22．（本小题8分）
下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）．
请分别计算这些车辆行驶速度的平均数、中位数和众数（结果精确到0.1）．
A
B
D C
E O
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）
24．（本小题8分）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．
（Ⅰ）设骑车同学的速度为x 千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表． （要求：填上适当的代数式，完成表格）
（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．
C A B
C A B E
F M N 图① C
A
B E F M N 图②
已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．
（Ⅰ）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图①，求证：222BN AM MN +=； 思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
已知抛物线c bx ax y ++=232，
（Ⅰ）若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；
（Ⅲ）若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当1
0<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
2008年天津市初中毕业生学业考试
数学参考答案及评分标准
评分说明：
1．各题均按参考答案及评分标准评分．
2．若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理，可酌情评分，但不得超过该题所分配的分数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B
9．B
10．D
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 11．34<<-x
12．5
13．（4，5）
14．112.6；25.9，︒93
15．6
16．3
17．2-=x y （提示：答案不惟一，如652-+-=x x y 等）
18．1O ，3O ，如图① （提示：答案不惟一，过31O O 与42O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；
5O ，O ，如图② （提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．
三、解答题：本大题共8小题，共66分． 19．本小题满分6分．
解 ∵3582 1.x y x y +=⎧⎨-=⎩
，①②
由②得12-=x y ，③ ·················································································· 2分
将③代入①，得8)12(53=-+x x ．解得1=x ．代入③，得1=y ．
∴原方程组的解为11.x y =⎧⎨=⎩
，
··············································································· 6分
20．本小题满分8分．
解 （Ⅰ）∵点P （2，2）在反比例函数x
k
y =的图象上， ∴2
2k
=
．即4=k ． ······················································································ 2分
第（18）题图②
∴反比例函数的解析式为x
y 4=． ∴当3-=x 时，3
4
-
=y ． ··············································································· 4分 （Ⅱ）∵当1=x 时，4=y ；当3=x 时，3
4
=y ， ·············································· 6分 又反比例函数x
y 4
=
在0>x 时y 值随x 值的增大而减小， ······································ 7分 ∴当31<<x 时，y 的取值范围为
43
4
<<y ． ·
······················································ 8分 21．本小题满分8分． 解（Ⅰ）∵AB ∥CD ，
∴︒=∠+∠180ADC BAD ． ··········································································· 1分 ∵⊙O 内切于梯形ABCD ，
∴AO 平分BAD ∠，有BAD DAO ∠=∠2
1
，
DO 平分ADC ∠，有ADC ADO ∠=∠2
1
．
∴︒=∠+∠=∠+∠90)(2
1
ADC BAD ADO DAO ．
∴︒=∠+∠-︒=∠90)(180ADO DAO AOD ． ·························································· 4分 （Ⅱ）∵在Rt △AOD 中，8=AO cm ，6=DO cm ，
∴由勾股定理，得1022=+=DO AO AD cm ． ·················································· 5分 ∵E 为切点，∴AD OE ⊥．有︒=∠90AEO ． ······················································· 6分 ∴AOD AEO ∠=∠．
又OAD ∠为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ····················································· 7分 ∴
AD AO OD OE =，∴8.4=⋅=AD
OD
AO OE cm ． ·
·························································· 8分 22．本小题满分8分． 解 观察直方图，可得
车速为50千米/时的有2辆，车速为51千米/时的有5辆， 车速为52千米/时的有8辆，车速为53千米/时的有6辆， 车速为54千米/时的有4辆，车速为55千米/时的有2辆，
车辆总数为27， ·························································································· 2分 ∴这些车辆行驶速度的平均数为
4.52)255454653852551250(27
1
≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ·
······································· 4分 ∵将这27个数据按从小到大的顺序排列，其中第14个数是52，
B
∴这些车辆行驶速度的中位数是52． ····························································· 6分 ∵在这27个数据中，52出现了8次，出现的次数最多，
∴这些车辆行驶速度的众数是52． ····································································· 8分 23．本小题满分8分．
解 如图，过点A 作BC AD ⊥，垂足为D ，
根据题意，可得︒=∠30BAD ，︒=∠60CAD ，66=AD ． ······································ 2分 在Rt △ADB 中，由AD
BD
BAD =
∠tan ， 得3223
3
6630tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=BAD AD BD ． 在Rt △ADC 中，由AD
CD
CAD =
∠tan ， 得36636660tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=CAD AD CD ． ········································ 6分 ∴2.152388366322≈=+=+=CD BD BC ．
答：这栋楼高约为152.2 m ． ·································································· 8分 24．本小题满分8分． 解
··················································· 3分 （Ⅱ）根据题意，列方程得
3
1
21010+=x x ． ·
······················································· 5分 解这个方程，得15=x ． ··········································································· 7分 经检验，15=x 是原方程的根． 所以，15=x ．
答：骑车同学的速度为每小时15千米． ···························································· 8分 25．本小题满分10分．
（Ⅰ）证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，
则△DCM ≌△ACM ． ············································································· 1分
C
A
B
D
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E F
M
N G
有CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠． 又由CB CA =，得 CB CD =． ··································· 2分 由DCM DCM ECF DCN ∠-︒=∠-∠=∠45， ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，
得BCN DCN ∠=∠． ······················································································ 3分 又CN CN =，
∴△CDN ≌△CBN ． ··············································································· 4分 有BN DN =，B CDN ∠=∠．
∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． ···················································· 5分 ∴在Rt △MDN 中，由勾股定理，
得222DN DM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 6分 （Ⅱ）关系式222BN AM MN +=仍然成立． ···················································· 7分 证明 将△ACM 沿直线CE 对折，得△GCM ，连GN ， 则△GCM ≌△ACM ． ············································· 8分 有CA CG =，AM GM =，
ACM GCM ∠=∠，CAM CGM ∠=∠．
又由CB CA =，得 CB CG =．
由︒+∠=∠+∠=∠45GCM ECF GCM GCN ，
ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90．
得BCN GCN ∠=∠． ··················································································· 9分 又CN CN =， ∴△CGN ≌△CBN ．
有BN GN =， 45=∠=∠B CGN ，︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CGM ， ∴ 9045135=-=∠-∠=∠CGN CGM MGN ． ∴在Rt △MGN 中，由勾股定理，
得222GN GM MN +=．即222BN AM MN +=． ················································ 10分 26．本小题满分10分．
解（Ⅰ）当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，3
1
2=
x ．
∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和1
03⎛⎫ ⎪⎝⎭
． ········································· 2分 （Ⅱ）当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．
对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31
． ·································· 3分
①当31=
c 时，由方程031232=++x x ，解得3
121-==x x ． 此时抛物线为31
232+
+=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭
，． ···························· 4分 ②当3
1
<
c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．
由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31
-=x ，
应有1200.
y y ⎧⎨
>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，
解得51c -<-≤． 综上，3
1
=
c 或51c -<-≤． ····································································· 6分 （Ⅲ）对于二次函数c bx ax y ++=232，
由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．
∴0>>c a ． ···························································································· 7分 ∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式
0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，
∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． ························· 8分 又该抛物线的对称轴a
b
x 3-
=， 由0=++c b a ，0>c ，02>+b a ， 得a b a -<<-2，
∴
3
2331<-<a b ． 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象，
可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． ····································· 10分。