高二数学上学期期末考试试题 理含解析 试题 10(共18页)
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2021~2021学年度第一(dìyī)学期期末考试试题
高二数学〔选修物理〕
一、填空题.请把答案填写上在答题纸相应位置上.
的渐近线方程是〔用一般式表示〕
【答案】
【解析】
由题意得在双曲线中,,
所以双曲线的准线方程为。
答案:
的抛物线HY方程是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
设抛物线HY方程为x2=﹣2py,由焦点坐标公式可得p值,将p值代入抛物线方程即可得答案.
【详解】抛物线的焦点为〔0,-5〕在y轴上,
设抛物线的HY方程为x2=﹣2py,
那么有=5,解可得p=10,
故抛物线HY方程为x2=﹣20y;
故答案为:x2=﹣20y.
【点睛】此题考察抛物线的HY方程,注意分析抛物线焦点的位置,进而设出抛物线的HY 方程.
3.命题(mìng tí)“假设,那么〞的逆否命题为____.
【答案】假设,那么
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义进展求解即可.
【详解】命题假设p那么q的逆否命题为假设¬q那么¬p,
那么命题“假设,那么〞的逆否命题为:假设x2≤0,那么x≥0,
故答案为:假设x2≤0,那么x≥0.
【点睛】此题考察四种命题之间的关系,根据逆否命题的定义是解决此题的关键.,,且,那么的最大值是_____.
【答案】1
【解析】
试题分析:根据约束条件画出可行域,
当直线z=x-y过点A〔1,0〕时,
z最大值,最大值是1,
考点:简单的线性规划,以及利用几何意义求最值.
有公一共焦点且离心率为,那么其HY方程为_____.
【答案】
【解析(jiě xī)】
【分析】
求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标,利用双曲线的离心率,求解a,c,得到b,即可求出双曲线方程.
【详解】双曲线与椭圆有公一共焦点,可得c=5,
双曲线的离心率为,可得a=3,那么b=4,
那么该双曲线方程为:.
故答案为:.
【点睛】此题考察椭圆以及双曲线的简单性质的应用,考察计算才能.
,那么_____.
【答案】3
【解析】
【分析】
对函数求导,将x=代入即可得到答案.
【详解】
f’(x)=2cos2x+,
那么
故答案为:3
【点睛】此题考察导数公式的应用,考察计算才能.
的极小值是______.
【答案】
【解析】
【分析(fēnxī)】
求函数的导数,由f’(x)>0,得增区间,由f’(x)<0,得减区间,从而可确定极值.【详解】函数,定义域为,那么f’(x)=x-,由f’(x)>0得x>1,f〔x〕单调递增;
当x<0或者0<x<1时,f’(x)<0,f〔x〕单调递减,
故x=1时,f〔x〕取极小值
故答案为:
【点睛】此题考察导数的运用:求单调区间和求极值,注意判断极值点的条件,考察运算才能,属于根底题.
8.,,假设是的必要不充分条件,那么实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进展求解即可.
【详解】x2﹣〔a+1〕x+a≤0即〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0,
p是q的必要不充分条件,
当a=1时,由〔x﹣1〕〔x﹣1〕≤0得x=1,此时不满足条件,
当a<1时,由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得a≤x≤1,此时不满足条件.
当a>1时,由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得1≤x≤a,
假设p是q的必要不充分条件,那么a>3,
即实数a的取值范围是〔3,+∞〕,
故答案(dá àn)为:〔3,+∞〕
【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用,根据定义转化为不等式的包含关系是解决此题的关键.
是曲线的一条切线,那么实数的值是_____.
【答案】1
【解析】
【分析】
设出切点坐标P〔x0,e x0〕,利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程,由直线y=x+b 是曲线y=e x的切线,根据对应项系数相等可求出实数b的值.
【详解】∵y=e x,∴y′=e x,
设切点为P〔x0,e x0〕,
那么在点P处的切线方程为y﹣e x0=e x0〔x﹣x0〕,
整理得y=e x0x﹣e x0•x0+e x0,
∵直线是y=x+b是曲线y=e x的切线,
∴e x0=1,x0=0,
∴b=1.
故答案为:1.
【点睛】此题考察导数的几何意义,考察曲线在某点处的切线方程的求法,属于根底题.
10.是椭圆上一点,,为椭圆的两个焦点,那么的最大值与最小值的差是_____.
【答案】1
【解析】
试题(shìtí)分析:设P〔x0,y0〕,|PF1| =2+x0,|PF2| =2-x0,
∴|PF1|•|PF2|=4-x02,,∴|PF1|•|PF2|的最大值是4,最大值是3,的最大值与最小值之差1。
考点:此题主要考察椭圆的HY方程及几何性质。
点评:应用焦半径公式,将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。
,,假设,那么实数的取值范围是
_____.
【答案】
【解析】
【分析】
假设A∩B≠∅,得x2+2〔1﹣a〕x+3﹣a≤0在x∈[0,3]有解,别离变量再构造函数g 〔t〕,转为求函数最值即可得解.
【详解】集合A={x|x2+2〔1﹣a〕x+3﹣a≤0},B={x|0≤x≤3},
假设A∩B≠∅,得x2+2〔1﹣a〕x+3﹣a≤0在x∈[0,3]有解,
即〔2x+1〕a≥x2+2x+3在x∈[0,3]有解,
设t=2x+1,那么t∈[1,7],那么x=,
那么a≥=,
设g〔t〕=,t∈[1,7],
由对勾函数的性质可得y=g〔t〕在〔1,3〕为减函数,在〔3,7〕上为增函数,又g 〔t〕的最小值为g(3)=2,
所以实数a的取值范围是[2,+∞〕,
故答案(dá àn)为:[2,+∞〕
【点睛】此题考察不等式有解问题及集合交集的运算,考察转化与化归思想,考察对勾函数图像的性质,属中档题.
12.,R+,且,那么的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据a,b>0,及a+3b=4ab即可得出,那么,展开根据根本不等式即可得最小值.
【详解】∵a,b∈R+,且a+3b=4ab;∴;
∴;
∴3a+4b的最小值为.
故答案为:.
【点睛】此题考察根本不等式在求最值时的应用,注意1的妙用.
过点,其短轴长的取值范围是,那么椭圆离心率的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的短轴长的取值范围,结合a,b关系,即可得椭圆的离心率的范围.
【详解】根据题意,椭圆过点,那么,短轴长2b的取值范围(fànwéi)是,可得b2∈,
即e====∈,
故答案为:
【点睛】此题考察椭圆的几何性质,求解椭圆的离心率的范围,注意短轴长为2b.
14.,假设,,使成立,那么实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
问题等价于“当x∈[e,e2]时,有f〔x〕max≤f′〔x〕max+a〞,利用导数性质结合分类讨论思想,能求出实数a的取值范围.
【详解】假设,,使成立,
等价于“当x∈[e,e2]时,有f〔x〕max≤f′〔x〕max+a〞,
当x∈[e,e2]时,lnx∈[1,2],∈[,1],
f′〔x〕=﹣a+=﹣〔﹣〕2+﹣a,
f′〔x〕max+a=,
问题等价于:“当x∈[e,e2]时,有f〔x〕max≤〞,
①当﹣a≤﹣,即a≥时,
f′〔x〕=﹣a+=﹣〔﹣〕2+﹣a<0,
f〔x〕在[e,e2]上为减函数,
那么f〔x〕max=f〔e〕=e﹣ae=e〔1﹣a〕≤,
∴a≥1﹣=,
②当﹣<﹣a <0,即0<a <时,∵x ∈[e ,e 2],∴
∈[,1], ∵f ′〔x 〕=﹣a +
,由复合(fùhé)函数的单调性知f ′〔x 〕在[e ,e 2]上为增函
数, ∴存在唯一x 0∈〔e ,e 2〕,使f ′〔x 0〕=0且满足:f 〔x 〕在[e ,x 0〕递减,在〔x 0,e 2
]递增, f 〔x 〕max =f 〔e 〕或者f 〔e 2〕,而f 〔e 2〕=﹣ae 2, 故﹣ae 2≤,解得:a ≥﹣
,无解舍去; 综上,实数a 的取值范围为
故答案为:. 【点睛】此题主要考察函数、导数等根本知识.考察运算求解才能及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用.
二、解答题.请在答题卡指定区域内........
答题,解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.:函数在R 上是单调增函数,:.
〔1〕假设为真命题,务实数的取值范围;
〔2〕假设为假命题,务实数的取值范围.
【答案】〔1〕
〔2〕 【解析】
【分析】
〔1〕函数f 〔x 〕=mx ﹣2sin x 在R 上是单调递增函数得x ∈R 时,f '〔x 〕≥0恒成立,即m ﹣2cos x ≥0,即m ≥2cos x 恒成立,得m 范围,取补集即可;〔2〕解二次不等式m 2﹣m ﹣6≤0,利用复合命题及其真假列不等式组可得解.
【详解(xiánɡ jiě)】〔1〕由函数在R上是单调递增函数,得R时,恒成立,且无连续区间上的导数为0,
那么,
恒成立,所以,
那么.假设为真命题,那么.
〔2〕由,得,那么,
所以当为假命题时,或者.
又为假命题,那么,都是假命题,
所以实数满足解得.
【点睛】此题考察复合命题及其真假、利用导数研究函数的单调性及解二次不等式,属简单题.
16.如图,在棱长为3的正方体中,点在棱上,且.
〔1〕求异面直线与所成角的余弦值;
〔2〕求二面角的正弦值.
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕以为原点,分别(fēnbié)以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,求和,利用空间向量的数量积求解即可.〔2〕求平面PAD1和平面BAD1的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.
【详解】如图建立以为原点,分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系,
因为棱长为3,且可得,,,
,,.
〔1〕那么,.
所以
〔2〕依题意,可得.
设为平面的法向量,
那么即不妨令,可得;
设为平面的法向量,
那么即不妨令,可得.
因此(yīncǐ)有,于是.
所以,二面角的正弦值为.
【点睛】此题考察空间向量的数量积的应用,二面角与异面直线所成角的求法,考察空间想象才能以及计算才能
17.如图,在等腰直角中,,,点,分别为,边上的动点,且.设,的面积为.
〔1〕试用的代数式表示;
〔2〕当为何值时,的面积最大?求出最大面积.
【答案】〔1〕〔2〕当时,的面积最大,最大面积为.
【解析】
【分析】
〔1〕先条件得到∽,利用相似成比例化简即可得到EC.(2)利用面积公式表示出面积,然后求导,判断单调性,由单调性即可得到最值.
【详解】〔1〕在中,,
又,那么.
在和中,由得∽,
所以(suǒyǐ).因直角中,,那么,所以
,
代入;
〔2〕的面积为,那么
,
那么,得.
当时,,所以在上单调递增;
当时,,所以在上单调递减.
所以当时,.
当时,的面积最大,最大面积为.
【点睛】此题考察函数解析式的求解,考察利用导数求函数最值问题,属于根底题.
经过点,过作直线与抛物线相切.
〔1〕求直线的方程;
〔2〕如图,直线∥,与抛物线交于,两点,与直线交于点,是否存在常数,使.
【答案】〔1〕〔2〕见解析
【解析】
【分析(fēnxī)】
〔1〕将T〔2,2〕代入y2=2px,得抛物线方程,设直线l方程与抛物线方程联立,通过△=0得k=2,得直线l方程.〔2〕设直线l'的方程为y=x+b,联立方程组解得P〔2﹣2b,2﹣b〕,那么PT2=5b2,设A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕,与抛物线联立,利用弦长公式,转化求解即可.
【详解】〔1〕将代入,那么,所以抛物线方程为.
设直线的方程为,联立方程组
消得,因相切,由得,
所以直线的方程为.
设直线的方程为,联立方程组
消得,因相切,由得,
所以直线的方程为.
〔2〕因,∥,设直线的方程为,联立方程组
解得,那么.
设,,联立方程组得,
所以,;
,
所以存在实数,使.
【点睛(diǎn jīnɡ)】此题考察直线与抛物线
的位置关系的综合应用,考察设而不求思想方法的应用,考察分析问题解决问题的才能.的离心率,且经过点,,,,为椭圆的四个顶点〔如图〕,直线过右顶点且垂直于轴.
〔1〕求该椭圆的HY方程;
〔2〕为上一点〔轴上方〕,直线,分别交椭圆于,两点,假设,求点的坐标.
【答案】〔1〕〔2〕
【解析】
【分析】
〔1〕利用椭圆的离心率和经过的点,列方程组求解即可.〔2〕设P〔2,m〕,m>0,得直线PC方程与椭圆联立,利用韦达定理,推出E的坐标,同理求F点横坐标,由S△PCD=2S△PEF,转化求解即可.
【详解(xiánɡ jiě)】〔1〕因的离心率,且经过点,
所以
解得,.所以椭圆HY方程为.
〔2〕由〔1〕知椭圆方程为,所以直线方程为,,.
设,,那么直线的方程为,
联立方程组消得,
所以点的横坐标为;
又直线的方程为
联立方程组消得,
所以点的横坐标为.
由得,
那么有,那么,
化简得,解得,因为,所以,
所以点的坐标为.
【点睛】此题考察椭圆HY方程的求法和直线与椭圆的位置关系的应用,考察分析问题解决问题的才能和转化思想的应用.
,R.
〔1〕假设(jiǎshè)函数在上单调递减,在上单调递增,求的值;
〔2〕求函数在上的最大值;
〔3〕当时,假设有3个零点,求的取值范围.
【答案】〔1〕〔2〕〔3〕
【解析】
【分析】
〔1〕求出函数的导数,根据函数的单调性求出a值即可;〔2〕求出函数导数,通过讨论a 的范围,求出函数最大值即可;〔3〕求出函数导数,根据函数的单调性求出函数的极值,结合图象判断a的范围即可.
【详解】〔1〕由,那么.
因函数在上单调递减,在上单调递增,得,
当时,显然满足要求,所以.
〔2〕因,,
当,即时,,在上单调递增,
那么;
当,即时,,在上单调递减,
那么;
当,即时,当时,;当时,,
所以在递减,在递增,那么.
又,故当时,;
当时,;当时,.
综上,在上的最大值
〔3〕因得或者(huòzhě);
又,,,单调递增;,,单调递减;
,,单调递增,那么,.
令,因R,所以R,所以与图像一样.那么的零点个数即为方程不同实数解的个数.
①当(如图1),即时,,有唯一负实数解,那么存在
使,而只有一个实数解,故只有一个实数解.
②当〔如图2〕,即时,有两个不同实数解,.
因,与各有一个实数解,故有两个不同的实数解.
③当时〔如图3〕,即,有三个不同实数解,,
,
因,有一个实数解,那么与只能各有一个实数解.
那么(nà me)由〔2〕可知在单调递减,单调递增,
那么
即由得,当时,,
因,
故有.
综上,时,假设有3个零点,那么的取值范围是.
【点睛】此题考察了函数的单调性,极值,最值,零点问题,考察导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,数形结合,综合性较强.
内容总结
(1)2021~2021学年度第一学期期末考试试题
高二数学〔选修物理〕
一、填空题.请把答案填写上在答题纸相应位置上.
的渐近线方程是〔用一般式表示〕
【答案】
【解析】
由题意得在双曲线中,,
所以双曲线的准线方程为
(2)点评:应用焦半径公式,将最值问题转化成闭区间上二次函数的最值问题。