《大学物理学》第二版上册课后答案（精心整理）

1
大学物理学习题答案
习题一答案习题一
1.1简要回答下列问题：
(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相
等？
(2) (2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？
(3) (3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什
么？
(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一
定保持不变？
(5)r ∆v 和r ∆v 有区别吗？v ∆v 和v ∆v
有区别吗？0dv dt =v 和
0d v dt
=v 各代表什么运动？(6)设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，，在计算质点的速度和加速度时，有人先求有人先求
出22
r x y =
+，然后根据
dr
v dt
=
及
22
d r a dt
=而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即
22
dx dy v
dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
及
22
2222d x d y a dt dt ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？(7) (7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？
(8)“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此
其法向加速度也一定为零其法向加速度也一定为零..”这种说法正确吗？
(9) (9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10) (10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？(11) (11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？
1.2 1.2 一质点沿一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为2
24t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：位，试计算：(1)(1)(1)在最初在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；末的瞬时速度；(2)(2)s 1末到s 3末的平均加速度；加速度；(3)(3)s 3末的瞬时加速度。

解：
(1)最初s 2内的位移为为：(2)(0)000(/)x x x m s ∆=-=-=最初s 2内的平均速度为：00(/)2
ave
x
v m s t ∆=
==∆t 时刻的瞬时速度为：()44dx v t t
dt
=
=-s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s
=-⨯=-
(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2
(3)(1)
804/2
2
ave v
v v a m s t ∆---==
=
=-∆
(3) s 3末的瞬时加速度为：2
(44)4(/)dv d t a m s dt
dt
-=
=
=-。

1.3 1.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。

求经过t 时间后，质点的速度和位移。

解: : 由题意知，加速度和时间的关系为由题意知，加速度和时间的关系为
0b
a a t τ
=+
利用dv adt =，并取积分得
000v
t
b dv a t dv τ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，202b v a t t τ=+
再利用dx vdt =，并取积分，并取积分[[设0t =时00x =]得 00x t
x dx vdt =⎰⎰，230126b x a t t τ∆=+
1.4 一质点从位矢为(0)4r j =r r 的位置以初速度(0)4v i =r r
开始运动，其加速度与时间的关
系为(3)2a t i j =-r r r .所有的长度以米计，时间以秒计所有的长度以米计，时间以秒计..求： （1）经过多长时间质点到达x 轴； （2）到达x 轴时的位置。

解： 20
3()(0)()4(2)2t
v t v a t dt t i t j ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭⎰r r
r r r ()()3201()(0)442t r t r v t dt t t i t j ⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭⎰r r r r （1） 当2
40t -=，即2t s =时，到达x 轴。

（2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =r r
即质点到达即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

1.5 1.5 一质点沿一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2a x ω=-，式中ω为常数，设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意
2
22d x
x dt ω=- 由此有由此有 dx
dv v dt dx dx dv dt dv dt
x d x ====-2
2
2
ω， 即 xdx vdv 2ω-=，
两边取积分两边取积分 ⎰
⎰
-=x
x v
v xdx vdv 0
02
ω，
得 2
22
12
2
2
12
212
2
1x x v v ωω+-
=-
由此给出由此给出 22
v A x ω=±-，2
02
2
x v A +⎪⎭
⎫ ⎝⎛
=ω
1.6 1.6 一质点的运动方程为一质点的运动方程为k t j t i
t r ϖϖϖϖ++=2
4)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。

试求： (1) (1) 质点的速度与加速度；质点的速度与加速度；质点的速度与加速度；(2) (2) (2) 质点的轨迹方程。

质点的轨迹方程。

质点的轨迹方程。

解：解：(1) (1) (1) 速度和加速度分别为：速度和加速度分别为： (8)dr v t j k dt ==+v
v v v ， j dt v d a ϖϖ8== (2) (2) 令令k z j y i x t r ϖϖϖϖ++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，2
4t y =，t z =
所以轨迹方程为：2
1,4x y z ==。

1.7 1.7 已知质点作直线运动，其速度为已知质点作直线运动，其速度为2
1
3()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出
现往返。

如果计算积分4
0vdt ⎰
，则求出的是位移而不是路程。

求路程应当计算积分
4
v dt ⎰。

令230v t t =-=，解得3t s =。

由此可知：3t <s 时，0v >，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。

因而质点在0~4s 时间内的路程为
(
)
(
)
4343
4
22003
3
()33s v dt vdt v dt t t dt t t dt
==+-=
--
-⎰
⎰
⎰
⎰⎰
3
4
232303313
116()2
3233t t t t m ⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

1.8 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x
时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题1.8图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题1.81.8，可得出，可得出
O X
r h
0v r
x Y
习题1.8图
2
2
2
x r h =-
两边求微分，则有
22dx dr x
r
dt
dt
=
船速为
dx r dr v dt x dt ==
按题意
0dr
v dt
=-(负号表示绳随时间t 缩短缩短)
)，所以船速为 220x h
v v x
-=-
负号表明船速与x 轴正向反向，船速与x 有关，说明船作变速运动。

将上式对时间求导，可得船的加速度为
22
03h v dv
a dt x
==-
负号表明船的加速度与x 轴正方向相反，轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与与船速方向相同，加速度与x 有关，说明船作变加速运动。

1.9 1.9 一质点沿半径为一质点沿半径为10cm 的圆周运动，其角坐标θ(以弧度rad 计)可用下式表示
3
24t θ=+
其中t 的单位是秒的单位是秒((s )试问：试问：(1)(1)(1)在在2t s =时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？ (2)(2)当当θ等于多少时其总加速度与半径成
45o
角 ？
解：解：(1) (1)
(1) 利用利用 3
24t θ=+，2
/12d dt t ωθ==，/24d dt t αω==，
得到法向加速度和切向加速度的表达式得到法向加速度和切向加速度的表达式 24
144n a r rt ω==，24t a r rt α==
在2t s =时，法向加速度和切向加速度为：
4
4
2
1441440.12230.4()n a rt m s -==⨯⨯=⋅，
224240.12 4.8()t a rt m s -==⨯⨯=⋅
(2) (2) 要使总加速度与半径成要使总加速度与半径成45o
角，必须有n t a a =，即414424rt rt =
解得 3
1/6t =，此时 67.2423=+=t θrad
1.10 1.10 甲乙两船，甲以甲乙两船，甲以10/km h 的速度向东行驶，乙以15/km h 的速度向南行驶。

问坐在乙船
上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？
解：以地球为参照系，设i ϖ、j ϖ
分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为 h km i v /101ϖϖ=，h km j v /152ϖϖ
-=
根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为
h km j i v v v /)1510(21ϖϖϖ
ϖϖ+=-=
h km v /1.18151022=+=ϖ，ο
31.5610
15==arctg θ
即在乙船上看，甲船速度为18.1/km h ，方向为东偏北ο31.56
同理，在甲船上看，乙船速度为18.1/km h ，方向为西偏南ο
31.56。

1.11 1.11 有一水平飞行的飞机，速率为有一水平飞行的飞机，速率为0v ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v 向前射
击。

略去空气阻力，
(1) (1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；
(2) (2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程； (3) (3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？ 解：解：(1) (1) (1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为以地球为参照系时，炮弹的初速度为01
v v v +=，而
t v x 1
=，2
5.0gt y -=
消去时间参数t ，得到轨迹方程为：
2
02
)(2v v gx y
+-=（若以竖直向下为y 轴正方向，则负号去掉，下同）
(2) (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v ，同上可得轨迹方程为22
2v
gx y -=
(3) (3) 以炮弹为参照系，以炮弹为参照系，只需在只需在(2)(2)(2)的求解过程中用的求解过程中用x -代替x ，y -代替y ，
可得 2
2
2v
gx y =.
1.12如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D ，速率为v ，一艘速率为u v <的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。

试证明：如果快艇在尽可能最迟的时
刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为2
2D v u
x u
-=；快艇截
住这条船所需的时间为22Dv
t u v u
=-。

Y
D
u θ X 港口港口
习题1.12图
证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为
11x vt y D =⎧⎨=⎩ 和 22cos sin x x u t
y u t
θθ=+⋅⎧⎨=⋅⎩
拦截条件为：
⎩⎨⎧==2121y y x x 即即 cos sin vt x u t D u t
θθ=+⋅⎧⎨=⋅⎩ 所以
()cos sin D v u x u θθ
-=，
x 取最大值的条件为：0/=θd dx ，由此得到cos /u v θ=，相应地2
sin 1(/)u v θ=-。

因此x 的最大值为
2
2
D v u x u
-=
x 取最大值时对应的出发时间最迟。

快艇截住这条船所需的时间为
2
2
sin D Dv t u u v u
θ
=
=
-。

习题二答案 习题二
2.1 2.1 简要回答下列问题：简要回答下列问题：
(1) (1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而
v
x
它是多余的它是多余的..你的看法如何？
(2) (2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？ (3) (3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？ (4) (4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？ (5) (5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？
(6) (6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？
(7) (7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物
体动能的增量？
(8)(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明. . (9)(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：判断下列说法是否正确，并说明理由：
(a) (a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒. .
(b)(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. . (c)(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒. .
(10) (10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？ (11) (11) 放焰火时，放焰火时，
一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？逐渐扩大？((忽略空气阻力忽略空气阻力) )
2.2 2.2 质量为质量为m 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F kv =-（k 为常数）作用，0t =时质点的速度为0v ，证明： （1）t 时刻的速度为0kt m
v v e
-=；
（2）由0到t 的时间内经过的距离为0()[1]kt m
x mv k e -=⋅-；
（3）停止运动前经过的距离为0mv k 。

证明：
(1) (1) 由由 dv ma m F kv dt ===- 分离变量得 dv k
dt v m =-，积分得 00
v t v dv k
dt v m
=-⎰⎰ ，0ln v k t v m =-，0kt m
v v e -= (2) /
/000(1)t kt m
kt m mv x vdt v e dt e k --===-⎰⎰
(3) (3) 质点停止运动时速度为零，即质点停止运动时速度为零，即t →∞，故有/0
00kt m mv x v e
dt k ∞-'==⎰。

2.3一质量为10 kg 的物体沿x 轴无摩擦地运动，设0t =时，物体的速度为零，物体在力
34F t =+(N)(t 以s 为单位为单位)
)的作用下运动了3s 3s，求它的速度和加速度，求它的速度和加速度，求它的速度和加速度. . 解 根据质点动量定理根据质点动量定理, ,
3
00
Fdt mv mv =-⎰
, ()3
034t dt mv +=⎰
3
22
1
323323 2.7()10
t t v ms m
-⎡⎤+⨯+⨯⎣⎦=
==
根据牛顿第二定律，F ma =
[]334343 1.510
t t F a m m =++⨯====(m/s 2
)
2.4 2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为一颗子弹由枪口射出时速率为0v ms -1
，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为
()F a bt =-N （a,b 为常数），其中t 以秒为单位：
（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； （2）求子弹所受的冲量； （3）求子弹的质量。

解：
(1)(1)由题意，子弹到枪口时，有由题意，子弹到枪口时，有()0F a bt =-=, , 得得a
t b =
(2)(2)子弹所受的冲量子弹所受的冲量⎰-=-=t bt at dt bt a I 0221)(，将a
t b =代入，得b a I 22=
(3)(3)由动量定理可求得子弹的质量由动量定理可求得子弹的质量由动量定理可求得子弹的质量 02
02bv
a
v I m =
= 2.5 2.5 一质量为一质量为m 的质点在xoy 平面上运动，其位置矢量为j t b i t a r ρρρ
ωωsin cos +=，求质点的动量及0t =到2t πω=时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。

解：质点的动量为 ()
sin cos p mv mr
m a ti b tj ωωω===-+r r r r r
& 将0t =和2t πω=分别代入上式，得
1p m bj ω=r r ，2p m ai ω=-r r
动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为
21()I p p m ai bj ω=-=-+r r r r r
2.6 2.6 作用在质量为作用在质量为10kg 的物体上的力为(102)F t iN =+v v
，式中t 的单位是s 。

（1）求4s 后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；
（2）为了使这力的冲量为200Ns 200Ns，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和
一个具有初速度1
6jm s --⋅v
的物体，回答这两个问题。

解：解：(1)(1)(1)若物体原来静止，则若物体原来静止，则
4
1
00(102)56t
p Fdt t idt i ∆==+=⎰⎰
r
r r
r [
1
kg m s -⋅⋅]，沿x 轴正向，
1111115.656[]p v i m s I p i kg m s m
--∆∆==⋅=∆=⋅⋅r r r r r r [],
若物体原来具有初速度10
6v jm s -=-⋅v r ，则，则
000
0,()t p mv p t mv Fdt =-=-+⎰
r r r r r
于是于是 201()p p t p p ∆=-=∆r r r r
同理，同理， 2121,v v I I ∆=∆=r r r r
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多
大，那么物体获得的动量的增量大，那么物体获得的动量的增量((亦即冲量亦即冲量))就一定相同，这就是动量定理． (2)(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即同上理，两种情况中的作用时间相同，即⎰
+=+=
t
t t dt t I 0210)
210(
令2
10200t t +=，解得10t s =。

2.7 2.7 一小船质量为一小船质量为100kg 100kg，船头到船尾共长，船头到船尾共长
3.6m 3.6m。

现有一质量为。

现有一质量为50kg 的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。

L
S 人 S 船 习题习题 2.7图 解：由动量守恒解：由动量守恒 0=-人人船船v m V M
又 dt V S t
⎰
=
0船船，
船人
船船人船
人
人
S
m M dt
V m M dt v s
t
t
==
=⎰
⎰0
， 如图，船的长度如图，船的长度 L S s =+人船 所以所以 3.6
1.2100
1150
L S m M m =
==++船船人 即船头相对岸边移动m S 2.1=船
2.8 2.8 质量质量2m kg =的质点的质点,,从静止出发沿X 轴作直线运动，受力(12)F t i =r r
(N)(N)，试求开始，试求开始3s 内该力作的功。

解 30
0(12)(12)x x L
L
A F dx t dx tv dt
=
=
=
⎰
⎰⎰
而
2
00
01232t
t
t
x
x x x F v v a dt dt tdt t m =+
===⎰
⎰
⎰
所以
(
)3
3
3
2340003612336729(J)
4A t t dt t dt t
⎡⎤=⋅===⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2.9 一地下蓄水池，面积为2
50s m =，水深度为1.5m ，假定水的上表面低于地面的高度是
5.0m ，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少?
? O
0h y
1h dy
Y
习题2.9图
解:建坐标如习题2.9图，图中0h 表示水面到地面的距离，1h 表示水深。

水的密度为
33
10kg m ρ=，对于坐标为y 、厚度为dy 的一层水，其质量dm sdy ρ=，将此层水抽到
地面需作功
dA dmgy sgydy ρ==
将蓄水池中的水全部抽到地面需作功
()01
01
2201012
h h h h h h A
dA
sgydy
sg h h h ρρ++⎡⎤=
=
=+-⎣⎦⎰
⎰
()
2101122sg h h h ρ=+
()
3
2
1
10509.8 1.52 5.0 1.52=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯6
4.2310=⨯(J) 2.9一炮弹质量为m ，以速度v v 飞行，飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T ，且一块的质量为另一块质量的k 倍，如两者仍沿原方向飞行，如两者仍沿原方向飞行，试证其试证其速率分别为2v kT m + ，2v T km -。

证明：设一块的质量为1m ，则另一块的质量为21m km =。

利用12m m m +=，有
11m m k =+， 21km
m k =+ ①① 又设1m 的速度为1v ，2m 的速度为2v ，则有
2
222211212121mv v m v m T -+= ②
② 1122m v m v mv += [ [动量守恒动量守恒动量守恒] ] ] ③③
联立①、③解得 12(1)v kv k v +=+，12(1)v k v kv =+- ④④
联立④、②解得
22)(2v v km
T
-=，于是有km T v v 22±
= 将其代入④式，有
1
22(1)T kT v k v k v v km m ⎛⎫=
+
-±= ⎪ ⎪
⎝⎭m 又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，当1k >时只能取 km
T
v v m
kT v v 2,221-
=+
=。

2.10一质量为m 的子弹射入置于光滑水平面上质量为M 并与劲度系数为k 的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L ，求子弹射入前的速度0v .
M m 0v
习题2.10图
解： 子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，时间极短，木块获得了速度，尚未位移，因而弹簧尚未压缩尚未位移，因而弹簧尚未压缩..此时木块和子弹有共同的速度1v ，由动量守恒，
()10m M v mv +=
此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒，
()2
2
1
112
2
m M v kL +=
由两式消去1v ，解出0v 得 ()
0L v k m M m
=
+ 2.11质量m 的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A 滑到B 。

在B
处时，物体速度的大小为B v 。

已知圆的半径为R ，求物体从A 滑到B 的过程中摩擦力所作的功：的功：(1)(1)(1)用功的定义求；用功的定义求；用功的定义求； (2) (2) (2)用动能定理求；用动能定理求；用动能定理求；(3)(3)(3)用功能原理求。

用功能原理求。

A
B 习题2.11图
解 方法一：当物体滑到与水平成任意θ角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为
cos t dv mg f ma m
dt
θ-== 即
cos dv f mg m dt
θ
-=-+
注意摩擦力f r 与位移dr r 反向，且||dr Rd θ=r ，因此摩擦力的功为
20
0||cos B v f dr A mg Rd m dv dt πθθ=-+⎰⎰r
2
2
001cos 2B v B mgR d m vdv mgR mv πθθ=-+=-+⎰⎰
方法二： 选m 为研究对象，合外力的功为
(
)
A mg f N dr =
++⋅⎰r r r r
考虑到N 0dr ⋅=⎰
r
r
，因而 2
cos
||cos f
f f
A
A mg dr A mgR
d
A mgR πθθθ=
+
⋅
=
+=
+
⎰
⎰
r
由于动能增量为2
102
k B
E mv ∆=-，因而按动能定理有
2
12
f B A mgR mv +=，2
12f B A mgR mv =-+。

方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B 点为重力势能零点。

初始在A 点时，0p E mgR =、00k E =
终了在B 点时，0p E =，2
12
k B E mv =
由功能原理知：2
1012
f A E E E mv mgR =∆=-=-
经比较可知，用功能原理求最简捷。

2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为k ，物体m 与桌面间的摩擦因素为μ，若以恒力F 将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。

系统的势能。

R f
N
mg θ
f μ X
习题2.12图
解：物体水平受力如图，其中k f kx =，f mg μμ=。

物体到达最远时，0v =。

设此时物体的位移为x , , 由动能定理有由动能定理有
()0
--00x
F kx mg dx μ=-⎰
即 21
-
-02
Fx kx mgx μ=
解出解出 ()2F
mg x k
μ-=
系统的势能为系统的势能为 (
)2
2212
p F mg E kx k μ-== 2.13 2.13 一双原子分子的势能函数为一双原子分子的势能函数为
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6
01200
2)(r r r r E r E p
式中r 为二原子间的距离，试证明：
⑴0r 为分子势能极小时的原子间距； ⑵分子势能的极小值为0E -；
⑶当0)(=r E p 时，原子间距离为602
r ；
证明：（1）当()
P dE r dr
=、2
2()0P d E r dr >时，势能有极小值min )(r E P 。

由 126
126000000137()2120P r r r r dE r d
E E dr dr r r r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 得 126
00r r r r ⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
所以0r r =，即0r 为分子势能取极值时的原子间距。

另一方面，
126
20
002148()12137P r r d E r E dr r
r ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 当0r r =时，2
002222000
72()137120P E d E r E dr r r r ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭
，所以0r r =时，)(r E P 取最小值。

（2）当0r r =时，12600min 0000()2
P r r E r E E r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎢⎥=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
（3）令126000()20P r r E r E r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，得到
k
f m
F
126
0020r r r r ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，602r r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，062r r =
2.14 2.14 质量为质量为7.27.2××10-23kg kg，，速度为6.06.0××107
m/s 的粒子A ，与另一个质量为其一半而静止的粒子B 相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A 的速率为5×107
m/s m/s，求：，求：
⑴粒子B 的速率及偏转角；
⑵粒子A 的偏转角。

A v '
α
A v β
B v '
习题2.14图
解：两粒子的碰撞满足动量守恒 B B A A A A v m v m v m ''ϖ
ϖϖ+=
写成分量式有
βαcos 'cos 'B B A A A A v m v m v m +=
βαsin 'sin 'B B A A v m v m =
碰撞是弹性碰撞，动能不变：
222'2
1
'2121B B A A A A v m v m v m +=
利用
kg m A 23
1027-⨯=， kg m m A
B 23
10632-⨯==， s m v A /100.67⨯=，s m v A /100.5'7
⨯=，
可解得
s m v B
/1069.4'7
⨯=，'454ο
=β，'2022ο
=α。

2.15 2.15 平板中央开一小孔，质量为平板中央开一小孔，质量为m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为1M 的
重物。

小球作匀速圆周运动，当半径为0r 时重物达到平衡。

今在1M 的下方再挂一质量为2M 的物体，如题2-15图。

试问这时小球作匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少？
1M
2M
习题2.15图
解：在只挂重物1M 时，小球作圆周运动的向心力为1M g ，即
2
100
M g mr ω=
①
0r m
挂上2M 后，则有
212()M M g mr ω''
+=
②
重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 22220000r mv r mv r r ωω''''=⇒= ③
③ 联立①、②、③得
2/3
3/2
111210
00
0112,
,
M g M g M M M r r mr mr M M M ω
ω
⎛⎫
⎛⎫+''=
=
=⋅ ⎪ ⎪+
⎝⎭
⎝⎭
2.16 2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。

它离太阳最近距离为哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。

它离太阳最近距离为m r 10
11075.8⨯=时的
速率是1
4
11046.5-⨯=ms v ，它离太阳最远时的速率是1
2
21008.9-
⨯=ms v ，这时它离太阳
的距离r 2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。

）
解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 1122r mv r mv = ∴ 104
12
1122
2
8.7510 5.4610
5.2610[]9.0810
rv r m v ⨯⨯⨯=
=
=⨯⨯
2.17 2.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。

查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。

参考文献：
[1][1]石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，19911991年第10卷第10期。

[2][2]任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，20062006年第25卷第2期。

2.18 2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。

通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。

参考文献：
[1][1]高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，20022002年第21卷第4期。

[2][2]高炳坤、李复，“惯性系”考高炳坤、李复，“惯性系”考高炳坤、李复，“惯性系”考((续)，大学物理，，大学物理，20022002年第21卷第5期。

习题三答案 习题三
3.1简要回答下列问题： (1) 地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？ 作图说明作图说明.. (2) (2) 刚体的转动惯量与那些因素有关？刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？ (3) (3) 平行于平行于z 轴的力对z 轴的力矩一定为零，垂直于z 轴的力对z 轴的力矩一定不为零这种说法正确吗？
(4) (4) 如果刚体转动的角速度很大，如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？ (5) (5) 两大小相同、两大小相同、质量相同的轮子，质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，一个轮子的质量均匀分布，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。

两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。

问：问：(a)(a)如果作用在它们上面的外如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？哪个轮子转动的角速度较大？(b)(b)(b)如果它们的角加速度相同，如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的
力矩大？力矩大？(c)(c)(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？ (6) (6) 为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能
只与外力矩有关，而与内力矩无关？
(7) (7) 下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a) (a) (a) 位矢；位矢；位矢；(b)(b)位移；位移；(c)(c)(c)速度；速度；速度；(d)(d)(d)动量；动量；动量；(e)(e)(e)角动量；角动量；角动量；(f)(f)(f)力；力；力；(g)(g)(g)力矩力矩力矩. . (8) (8) 做匀速圆周运动的质点，做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，
它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？ (9) (9) 一人坐在角速度为一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为'ω。

如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I ，飞轮的转动惯量为'I 。

3.2质量为m 长为l 的均质杆，可以绕过B 端且与杆垂直的水平轴转动。

开始时，用手支住A 端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)(1)绕绕B 点的力矩和角加速度各是多少？
(2)(2)杆的质心加速度是多少？杆的质心加速度是多少？
B A
习题习题3.1图
解：解：(1)(1)(1)绕绕B 点的力矩M r 由重力产生，设杆的线密度为ρ，l
m =ρ，则绕B 点的力矩为
12mg
m
l
M xdG gxdm gx dx mgl
ρ=
=
=
=⎰
⎰
⎰
杆绕杆绕B 点的转动惯量为点的转动惯量为
2
2
2
31
ml
dx x dm x I l m ===⎰
⎰ρ
角加速度为角加速度为 32M g I l β==
(2) (2)杆的质心加速度为杆的质心加速度为杆的质心加速度为 g l
a 4
32==β
3.3 3.3 如图所示，两物体如图所示，两物体1和2的质量分别为1m 与2m ，滑轮的转动惯量为I ，半径为r 。

⑴如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T (设绳子与滑轮间无相对滑动设绳子与滑轮间无相对滑动))；
⑵如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a 及绳中的张力1T 与2T 。

2T 2m
1T 1m
习题3.2图
解：⑴先做受力分析，物体1受到重力g m 1和绳的张力1T ，对于滑轮，受到张力1T 和2T ，
对于物体2，在水平方向上受到摩擦力g m 2μ和张力2T ，分别列出方程
a m T g m 111=- [()a g m T -=11] a m g m T 222=-μ [()g a m T μ+=22]
•。