2018学年高中数学北师大版选修1-2课件：2.1 复数的加法与减法 精品

∵A→D＝B→C,∴x－1＝1，
x＝2， 解得
y－2＝－3，
y＝－1.
故点D对应的复数为2－i.
反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体 现了数形结合思想在复数中的运用.
跟踪训练2 如图所示,平行四边形OABC的 顶点O,A,C分别表示0,3＋2i,－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
∴|z1＋z2|＝ a＋c2＋b＋d2＝ a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝ 3.
方法二 设O为坐标原点, z1,z2,z1＋z2对应的点分别为A,B,C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴△OAB是边长为1的正三角形, ∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形, 且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长, ∴|z1＋z2|＝|O→C|＝ |O→A|2＋|A→C|2－2|O→A||A→C|cos 120°＝ 3.
1＋5i,则B→C表示的复数为( C )
A.2＋8i
B.－6－6i
C.4－4i
D.－4＋2i
解析 B→C＝O→C－O→B＝O→C－(A→B＋O→A)＝(4,－4).
∴B→C表示的复数为 4－4i.
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4.若|z－1|＝|z＋1|,则复数z对应的点在( B )
A.实轴上
B.虚轴上
C.第一象限
跟踪训练3 若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2,求|z＋i＋1|的最 小值. 解 设复数－i,i,－(1＋i)在复平面内对 应的点分别为Z1,Z2,Z3,如图. ∵|z＋i|＋|z－i|＝2,Z1Z2＝2, ∴点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动,求ZZ3的最小值. 连 接 Z3Z1,Z3Z1⊥Z1Z2, 则 Z3 与 Z1 的 距 离 即 为 所 求 的 最 小 值,Z1Z3＝1. 故|z＋i＋1|的最小值为1.
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题型一 复数加减法的运算
例1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)； 解 原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5. (2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). 解 原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
反思与感悟 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减 做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类 比多项式加减中的合并同类项.
D.第四象限
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解析 复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点为 Z(3m－2,m－1). 由23<m<1,得 3m－2>0,m－1<0.所以点 Z 位于第四象限.故选 D.
答案 D
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3.在复平面内,O 是原点,O→A,O→C,A→B表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,
反思与感悟 (1)设出复数z＝x＋yi(x,y∈R),利用复数相等或模 的概念,可把条件转化为x,y满足的关系式,利用方程思想求解,这 是本章“复数问题实数化”思想的应用. (2)在复平面内,z1,z2对应的点为A,B,z1＋z2对应的点为C,O为坐标 原点,则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|, 则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|,则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|,则四边形OACB为正方形.
跟踪训练1 计算： (1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； 解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i). 解 原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
题型二 复数加减法的几何意义
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1.若复数z满足z＋i－3＝3－i,则z等于( D )
A.0
B.2i
C.6
D.6－2i
解析 z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
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2.已知复数 z1＝3m＋mi,z2＝2＋i,则当23<m<1 时,复数 z＝z1－z2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第二象限
解析 ∵|z－1|＝|z＋1|,∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等,
即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.
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5.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i,z2＝a－(a2－2)i(a∈R),且 z1－z2为纯虚数,则a＝___－__1___. 解析 z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚 数,∴a2－a－2＝0， 解得 a＝－1.
例2 复数z1＝1＋2i,z2＝－2＋i,z3＝－1－2i,它们在复平面 上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四 个顶点对应的复数.
解 设复数z1,z2,z3在复平面内所对应的 点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对 应的复数为x＋yi(x,y∈R),如图.
则A→D＝O→D－O→A＝(x,y)－(1,2)＝(x－1,y－2), B→C＝O→C－O→B＝(－1,－2)－(－2,1)＝(1,－3).
第四章——
§2 复数的四则运算 2.1 复数的加法与减法
[学习目标]
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
1 知识梳理 2 题型探究 3 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识点一 复数的加、减法法则
设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), 则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i,z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . 即两个复数的和(或差)仍然是一个 复数 ,它的实部是原 来两个复数的实部 的和(或差),它的虚部是原来两个复数的 虚部 的和(或差).
思考 复数代数形式的加法法则是怎样规定的，你怎样理 解其规定的合理性. 答 对于两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)而言： (1)当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致； (2)实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中仍然成立； (3)符合向量加法的平行四边形法则.
知识点二 复数加法的运算律
a2＋a－6≠0，
课堂小结
1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减 法是加法的逆运算. 2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则. 复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
知识点三 复数加、减法的几何意义
如图：设复数 z1,z2 对应向量分别为O→Z1,O→Z2,四边形 OZ1ZZ2 为平行四
边形,则与 z1＋z2 对应的向量是
→ OZ
→ ,与 z1－z2 对应的向量是 Z2Z1Biblioteka 题型三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1,求|z1＋z2|. 解 方法一 设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R), ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1, ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1,① (a－c)2＋(b－d)2＝1② 由①②得2ac＋2bd＝1,
解 因为A→O＝－O→A, 所以A→O表示的复数为－3－2i.
(2)C→A表示的复数； 解 因为C→A＝O→A－O→C, 所以C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)O→B表示的复数. 解 因为O→B＝O→A＋O→C,
所以O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.