专题15 正比例函数与一次函数的概念及解析式的确定

专题15 正比例函数与一次函数的概念及解析式的确定
1.正比例函数表达式： y =kx (k ≠0的常数)；正比例函数y =kx 的图象是一条经过(0，0)和(1，k)的直线，一般情况下，自変量取值范围为全体实数.说明：正比例函数y =kx 的图象也叫做“直线y = kx ”,如图15-1所示:
2.成正比例关系的几种表达形式：
y 与x 成正比例：y =kx (k ≠0);
y 与x +a 成正比例：y =k (x +a ) (k ≠0);
y +a 与x 成正比例： y +a =kx (k ≠0);
y +a 与x +b 成正比例： y +a =k (x +b ) (k ≠0).
3.一次函数表达式： y =kx +b (k ≠0，k ，b 为常数).
注意: (1) k ≠0，自变量x 的最高次项的系数为1； (2)当b =0时，y =kx ， y 是x 的正比例函数.
4. “待定系数法”的基本思想是方程思想，一般来说，题目的已知等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程.
5. 一次函数的|k |越大，与y 轴越接近.
典例精析
例1 已知正比例函数的图象经过点(2，4).
（1）试求函数的表达式，并画出它的图象;
（2）点A (－1，－2)，B (6， 3)，C (－3，－23)，D (2m , 4m )是否在它的图象上?
（3）若点 (3a ，b )向下平移一个单位后正好落在该一次函数的图象上，求a 与b 的关系.
【解】
【点评】本题涉及了正比例函数的图象与点的位置的讨论，基本的参数运算，解决问题的关键在于应用坐标系内点与直线的位置关系的代数表示方式。

拓展与变式1 已知正比例函数的图象过点A (－2，0.5)， B (6，m )，
求:（1）这个丽数的解析式； （2）点B 的坐标；（3） 如果y >1，x 的取值范围. 拓展与变式2 已知函数y=(2－m )32-m x －3+2－b 是关于x 的正比例函数，
(1)求m ，b 的值;
(2)若点(a +1, n )与点(a －l, h )在该函数上，请比较n 与h 的大小.
拓展与変式3 已知函数y =kx (k ≠0) 的図象经过P (1, 2), Q 两点,并且P , Q 两点间的距高是5,求点Q 的坐棕.
【反思】正比例函数是特殊的一次函数，相关增减性以及几何运算的问题可以通过数形结合和图象来解决.
解：
例2．已知一次函数y =(m －2)x +m 2－6的图象与y 轴相交，交点的纵坐标是－2，求m 的値.
【分析】本题只有一个待定系数，因而只需要一个交点的方程即可求出m 的値.
【解】
【点评】抓住一次函数y =kx +b 对系数的限制，即k ≠0，b 即图象与y 轴交点的纵坐标. 拓展与変式4 如果y =m 82-m x 是正比例函数，而且对于它的毎一组非零的对应值(x ， y )有xy <0,求m 的値.
拓展与变式5 如果y +3与x +2成正比例，且x =3时，y =7,
（1）求出y 与x 之间的函数关系式；。