东北师范大学附属中学数学高一下期末经典测试题(含解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12728]△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =
2c =，2
cos 3
A =
，则b=
A
B
C ．2
D ．3
2．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若
9810S S S <<，则（ ）
A ．0d >，170S >
B ．0d <，170S <
C ．0d >，180S <
D ．0d >，180S >
3．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =
，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为
ABC ∆所在平面内一点且满足2
2
2
OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（ ）
A ．
12
B ．1
C ．
2
D ．
3
2
4．(0分)[ID ：12701]在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且B 为锐角，
若
sin 5sin 2A c B b =，sin 4B =，4
ABC S =△，则b =（ ）
A ．
B ．
C D 5．(0分)[ID ：12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}
12x x -<<，则不等式
220x bx a ++<的解集为（ ）
A ．112x x ⎧⎫
-<<
⎨⎬⎩⎭
B ．112x x x ⎧⎫<->
⎨⎬⎩⎭
或 C ．{}
21x x -<<
D ．{}
21x x x <->或
6．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,
,x x x 的均值和方差分别为1和4，若
(i i y x a a =+为非零常数，1,2,
,10)i =，则1210,,
,y y y 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
7．(0分)[ID ：12675]要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移
6
π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 8．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则
32
a b
+的最小值是( )
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
9．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
11．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆2
2
220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是
A ．()()22
112x y +++= B ．()()22
114x y -++= C ．()()2
2
112x y -++=
D ．()()2
2
114x y +++=
12．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，
7b =，8c =，则A C +=
A ．90︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．150︒
13．(0分)[ID ：12636]如图，在△ABC 中, 1
3
AN NC =
,P 是BN 上的一点,若29
AP m AB AC −−→
−−→
−−
→=+,则实数m 的值为( )
A ．
B ．
C ．
19
D ．
14．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
15．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和2
41n S n n =-+，则1210a a a ++
+=
（ ） A ．68
B ．67
C ．61
D ．60
二、填空题
16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．
17．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 18．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，1sin 43πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________
19．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .
20．(0分)[ID ：12758]关于函数()sin sin f x x x =+有如下四个结论：
①()f x 是偶函数；②()f x 在区间,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增；③()f x 最大值为2；④()
f x 在[],ππ-上有四个零点，其中正确命题的序号是_______．
21．(0分)[ID ：12741]已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．
22．(0分)[ID ：12740]从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
23．(0分)[ID ：12739]设a ，b 是非零实数，且满足sin
cos
107
7tan 21cos sin 77
a b a b π
π
πππ+=-，则
b a ＝_______．
24．(0分)[ID ：12785]等边ABC ∆的边长为2，则AB 在BC 方向上的投影为________． 25．(0分)[ID ：12742]如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．
三、解答题
26．(0分)[ID ：12895]已知函数()()2
2
f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈
（I ）求2f 3
π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.
27．(0分)[ID ：12884]已知函数()()2
21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4
和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()
2
g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
28．(0分)[ID ：12873]如图所示，一座小岛A 距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一城镇B .一年青人从小岛A 出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C 处，再沿海岸线步行到城镇B .若PAC θ∠=，假设该年青人驾驶小船的平均速度为
2/km h ，步行速度为4/km h .
（1）试将该年青人从小岛A 到城镇B 的时间t 表示成角θ的函数； （2）该年青人欲使从小岛A 到城镇B 的时间t 最小，请你告诉他角θ的值.
29．(0分)[ID ：12864]如图，在等腰直角OPQ ∆中，0
90POQ ∠=，22OP =M 在线段PQ 上.
(Ⅰ) 若5OM =PM 的长；
（Ⅱ）若点N 在线段MQ 上，且030MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值.
30．(0分)[ID ：12851]等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9a a a a a +==.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案
**科目模拟测试
一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．C 9．D
10．C
11．C
12．B
13．C
14．C
15．B
二、填空题
16．【解析】由得所以即则又所以故答案为
17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答
18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属
19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：
20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析
21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan（kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式
24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投
25．【解析】在正四棱锥中顶点S在底面上的投影为中心O即底面ABCD在底面正方形ABCD中边长为2所以OA=在直角三角形SOA中所以故答案为
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】
9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据平面向量基本定理可知()
1
2
AE AB AC =
+，将所求数量积化为11
22
AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和21
2
AC ，代入可求得结果.
【详解】
E 为BC 中点 ()
1
2
AE AB AC ∴=
+ ()
111
222
AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=
+⋅=⋅+⋅ 2
22
OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形
211
cos 22
AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：21
2
AC AO AC ⋅=
221113
14422
AE AO AB AC ∴⋅=+=+=
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简sin5
sin2
A c
B b
=，再利用三角形面积公式，即可得到,a c
，由
sin B=，求得cos B，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】
由于
sin5
sin2
A c
B b
=，有正弦定理可得：
5
2
a c
b b
=，即
5
2
a c
=
由于在ABC
中，sin B=
，
ABC
S=
△
1
sin
2
ABC
S ac B
==
联立
5
2
1
sin
2
sin
a c
ac B
B
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪
=
⎪
⎩
，解得：5
a=，2
c=
由于B
为锐角，且sin B=
，所以
3
cos
4
B==
所以在ABC中，由余弦定理可得：2222cos14
b a
c ac B
=+-=
，故b=（负数舍去）
故答案选D
【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得
,a b；利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
220
ax bx
++>的解集为{}
12
x x
-<<
1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根，且0a <
1212122
b
a a
⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得：11a b =-⎧⎨
=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得：112x -<<，即不等式2
20x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
故选：A 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,
,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,
,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数
据1210,,
,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数2sin 2y x x =+-. 【详解】
依题意2
ππsin 22sin 22sin 236y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦，故只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移
6
π
个单位.所以选C. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基础题.
8．C
解析：C 【解析】
【分析】
根据题意，分析可得
()323232a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，对其变形可得326613a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝
⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】
根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，
则
()32326632131325a b a b a b a b b
a ⎛⎫⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1
5
a b ==时等号成立. 即
32
a b
+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
分析函数()y f x =的定义域、奇偶性及其在()0,1上的函数值符号，可得出结论. 【详解】
函数()lg f x x x =的定义域为{}
0x x ≠，定义域关于原点对称，
()()lg lg f x x x x x f x -=--=-=-，函数()y f x =为奇函数，排除A 、C 选项；
当01x <<时，lg 0x <，此时()lg 0f x x x =<，排除B 选项. 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽
到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n
=+()n *∈N ，
若8610n =+，则1
5
n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】
本题主要考查系统抽样.
11．C
解析：C 【解析】
圆2
2
220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线
40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直
线40x y --=
=，设所求圆的圆心为
()
,a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得
1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为
()()
2
2
112x y -++=.
故选C ．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知三边，利用余弦定理可得1
cos 2
B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A
C +的值． 【详解】 在ABC ∆中，
5a =，7b =，8c =，
∴由余弦定理可得：2222564491
cos 22582
a c
b B a
c +-+-===⨯⨯，
b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，
18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．
【点睛】
本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．
13．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据共线关系用基底AB AC
→→
，表示
AP
→
，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m
的值. 【详解】
如下图，∵,,B P N 三点共线，∴
，∴，即
,
∴
①,又∵1
3
AN NC =
，∴，
∴28=99
AP m AB AC m AB AC →
→
→
→
→
=++②，
对比①，②，由平面向量基本定理可得：．
【点睛】
本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.
14．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①
PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直
角三角形；
②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③
,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；
④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.
综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．
【点睛】
本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．
15．B
解析：B 【解析】 【分析】 首先运用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可
得到答案． 【详解】
当1n =时，112S a ==-；
当2n ≥时，()
()()2
2
141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
， 故2,1
25,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩
；
所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，
()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S ++
+=-+++++=-=-⨯-=.
故选：B ． 【点睛】
本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还
是一个结果的形式.
二、填空题
16．【解析】由得所以即则又所以故答案为
解析：6
π
【解析】
由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==⋅，即227a b =， 则
2222222
1273
2243b c a b b b cosA bc b
+-+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为
6
π
. 17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答
解析：5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】 试题分析：因为
,所以只要求函数的减区间即可.解
可得
,即
,所以
,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．
【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函
数中形如
的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数
入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
进行变形,将其变形为一般式,将其转化
为求函数
的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通
过解不等式使得本题获解.
18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属
解析：
42
6
+ 【解析】 【分析】
利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】 因为1sin 43πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故222cos 1sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=
2212242sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎫⎡⎤+⎛⎫⎛
⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 故答案为：42
6
+ 【点睛】
本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.
19．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒
【解析】 【分析】 【详解】
根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：
2
2
2422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1
cos ,602
θθ︒⇒==
20．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命题①的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可判断命题②的正误；由以及可判断出命题③的正误；化简函数在区间上的解析
解析：①③ 【解析】 【分析】
利用奇偶性的定义判定函数()y f x =的奇偶性，可判断出命题①的正误；在,2x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，去绝对值，化简函数()y f x =的解析式，可判断函数()y f x =在区间,2
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上的
单调性，可判断命题②的正误；由22f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
以及()2f x ≤可判断出命题③的正误；化简函数()y f x =在区间[],ππ-上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误. 【详解】
对于命题①，函数()sin sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，
且()()()sin sin sin sin sin sin f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，该函数为偶函数，命题①正确； 对于命题②，当
2
x π
π<<时，sin 0x >，则()sin sin 2sin f x x x x =+=，则函数
()y f x =在,2
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递减，命题②错误；
对于命题③，sin 1x ∴≤，sin 1x ≤，()2f x ∴≤，又
22f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以，函数()y f x =的最大值为2，命题③正确；
对于命题④，当0πx <<时，sin 0x >，()sin sin 2sin 0f x x x x =+=>， 由于该函数为偶函数，当0x π-<<时，()0f x >， 又
()()()00f f f ππ=-==，所以，该函数在区间[],ππ-上有且只有三个零点.
因此，正确命题的序号为①③. 故答案为：①③. 【点睛】
本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性、最值以及零点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题.
21．或【解析】【分析】根据不等式恒成立化简命题为根据一元二次方程有解化简命题为或再根据且命题的性质可得结果【详解】若命题：为真；则解得：若命题：为真则解得：或若命题是真命题则或故答案为或【点睛】解答非命
解析：2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】
根据不等式恒成立化简命题p 为1a ≤，根据一元二次方程有解化简命题q 为2a ≤-或
1a ≥，再根据且命题的性质可得结果.
【详解】
若命题p ：“[]1,2x ∀∈，20x a -≥”为真； 则10a -≥， 解得：1a ≤，
若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真，
则()2
4420a a ∆=--≥，
解得：2a ≤-或1a ≥，
若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-，或1a =， 故答案为2a ≤-或1a = 【点睛】
解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.
22．【解析】【分析】【详解】解：从1234这四个数中一次随机取两个数有（12）（13）（14）（23）（24）（34）共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种即（12）（24）；则其概率为；故答
解析：1
3
【解析】 【分析】 【详解】
解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，
有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况； 其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）； 则其概率为2163
=； 故答案为
13
． 解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题．
23．【解析】【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式
【解析】 【分析】
先把已知条件转化为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-．利用正切函数的周期性求出3
k π
θπ=+，即可求得结论．
【详解】
因为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-，（tanθb a =） ∴10721
k ππθπ+=+ ∴3k πθπ=+．tanθ＝tan （k π3
π
+
）=
∴
b
a
=
． 【点睛】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．
24．【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知：则：且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析：1-
【解析】 【分析】
建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：()0,0A ，()2,0B
，(C ， 则：()2,0AB =
，(BC =-，2AB BC ⋅=- 且2AB =，10BC = 据此可知AB 在BC 方向上的投影为
2
12
AB BC AB
⋅-=
=-.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．【解析】在正四棱锥中顶点S 在底面上的投影为中心O 即底面ABCD 在底面正方形ABCD 中边长为2所以OA=在直角三角形SOA 中所以故答案为 解析：
42
3
【解析】
在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD 中，边长为2，所以2，在直角三角形SOA 中
()
2
22222
2SO SA OA =-=-
=
所以1122233V sh =
=⨯⨯=23 故答案为42
3
三、解答题 26．
（I ）2；（II ）()f x 的最小正周期是π，2+k +k k 63Z ππ
ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【详解】
（Ⅰ）f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x 23-sin x cos x ， ＝﹣cos2x 3-sin2x ，
＝﹣226sin x π⎛⎫+
⎪⎝⎭， 则f （23π）＝﹣2sin （436
ππ+）＝2， （Ⅱ）因为()2sin(2)6
f x x π=-+． 所以()f x 的最小正周期是π．
由正弦函数的性质得
3222,262
k x k k Z π
π
πππ+≤+≤+∈， 解得2,63
k x k k Z π
πππ+≤≤+∈， 所以，()f x 的单调递增区间是2[,]63
k k k ππ+π+π∈Z ，． 【点睛】
本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．
27．
（1）1,0a b ==；（2）4k <.
【解析】
【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩
.
解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立
所以只需()min k f x <.
有（1）知()221112224222
x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122
x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.
【点睛】
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 28．
（1）1tan 3cos 2
t θθ=
+-；（2）6π 【解析】
【分析】 （1）根据直角三角形的边角关系求出AC 和BC 的值，再求t 关于θ的函数解析式；（2）根据t 的解析式，结合三角函数的性质求出t 的最小值以及对应θ的值．
【详解】
（Ⅰ）由题意知，AP PB ⊥，2AP =，02πθ<<
， 所以2tan PC θ=，2cos AC θ=
，122tan BC θ=-， 所以t 关于θ的函数为
2122tan 1tan 3242cos 4cos 2
AC BC t θθθθ-=+=+=+-； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1tan 2sin 33cos 2cos t θθθθ-=+-=+， 令2sin 0cos y θθ-=
>，则22sin 2cos 14y y θθ=++
解得32y ，当且仅当1sin ,cos 2θθ= 即6π
θ=时，所花时间t 最小．
【点睛】
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
29．
(Ⅰ)1MP =或3MP =（Ⅱ）当30POM ∠=︒时， OMN ∆的面积的最小值为8-
【解析】
【分析】
【详解】
解:(1)在△OMP 中,∠OPM=45°
, 由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·
MP·cos45°, 得MP 2-4MP+3=0,
解得MP=1或MP=3.
(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP 中,由正弦定理, 得sin OM OPM ∠=sin OM OPM
∠, 所以OM=()
sin 45sin 45+OP α。

, 同理ON=()
sin 45sin 45+OP α。

. 故S △OMN =12
OM·ON·sin ∠MON =12×()()
22sin 45sin 45+sin 75+OP αα。

=()()
1sin 45+sin 45+30αα+。

22⎣⎦
因为0°≤α≤60°,
30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,
此时△OMN 的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN 的面积的最小值为
30．
（1）13n n a =
（2）21
n n -+ 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1n
b 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1n
b }的前n 项和 试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19
． 由条件可知q ＞0,故q ＝
13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13
． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ． （Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()
21n n +． 故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭
． 12
1111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为21n n -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和。