02-第2讲：顶点的度

分别称为D的最大出度、最小出度、最大入度、最小入度。 简记作⊿、 、 ⊿+、 + 、 ⊿- 、 - 。
相关概念
注意
称度为0的顶点为孤立点； 称度为1的顶点为悬挂点，与其关联的边称为 悬挂边。 称度为偶数的顶点称为偶点； 称度为奇数的顶点称为奇点。
相关概念
注意
若图G的所有顶点的度相等, 则G称 作正则图; 若进一步所有顶点的度都等于k,则 称G是k-正则图 。
基本性质
定理2.1
设 G=<V,E> 为任意无向图， V={v1，v2，...，vn }, |E|=m , 则
n
d(vi )=2m ，
i=1
即顶点度数之和等于边数的2倍。
基本性质
定理2.2
Байду номын сангаас
设D=<V,E>为任意有向图，
V={v ，v ，...，v }，|E|=m，则
12
n
n
n
d(vi)= d-(v i)=m 。
相关概念
在无向图G中，令 ⊿(G) = max{d(v)| v∈V(G) } (G) = min{d(v)| v∈V(G) }
称⊿(G) ，(G)分别为G的最大度和最小度。 简记做⊿，。
相关概念
在有向图D中，可类似定义 ⊿(D)、(D)。另外，令 ⊿+(D) = max{d+(v)| v∈V(D) } +(D) = min{d+(v)| v∈V(D) } ⊿- (D) = max{d-(v)| v∈V(D) } - (D) = min{d-(v)| v∈V(D) }
d(v)= iv(e) 。 e∈E
基本概念
定义2.2
设D=<V,E>为一有向图， v∈V , (1)称v作始点的边的条数为v的出度，记作dD+(v)，简 记作d+(v)； (2)称v作为终点的边的条数为v的入度，记作dD-(v)， 简记作d-(v)。 称dD+(v)+ dD -(v)为v的度数，记作d(v)。
度序列
定理2.3
设非负整数列d=(d1, d2, …, dn), 则 d是可图化的当且仅当
n
di=0（mod 2）。
i=1
即各顶点度数之和为偶 数或奇点数为偶数。
度序列
思考 如何判断一个非负整数序列可简单图化呢？
ErdÖs和Gallai在1960年也得到了一充分必要条件。
度序列
定理2.4
设d=(d1,d2,…,dn)是非负不增整数列, 则d是可简单图化的当且仅当对任意
教授厦门大学数学科学学院顶点的度基本概念定义21称所有的边与v的关联次数之和为v的度数简称为度记作d基本概念定义22g分别为g的最大度和最小度
离散数 学金 贤 安 教 授
厦门大学数学科学学院
第2讲 顶点的度
基本概念
定义2.1
设G=<V,E>为一无向图， v∈V
称所有的边与v的关联次数之和为v的度数，简称为度， 记作dG(v), 简记作d(v)。 记iv(e)为e与v的关联次数，则
i=1
i=1
推论2.3 任意图中，奇点的个数一定是偶数。
度序列
设G=<V,E>为一n阶无向图， V={v1,v2,…,vn}, 称d(v1), d(v2), …, d(vn) 为G的度序列。
对于给定的非负整数列d=(d1, d2, …, dn), 若存在以V={v1,v2,…,vn}为顶点集的n阶无 向图G使得d(vi)=di , 则称d是可图化的。 若所得图还能是个简单图，则称d是可简单 图化的。
的k, 1≤k≤n-1,都有
k
n
di≤k（k-1）+ min{k，di}。
i=1
i=k+1
谢谢观 看