2019届河北省武邑中学高三上学期期末考试数学(文)试卷及解析
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2019届武邑中学高三上学期期末考试
数学（文）试卷
第Ⅰ卷
一：选择题。
1.已知集合 பைடு நூலகம்则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：解 得 ，又 ，则 ，则 ，故选A.
2.设 （为虚数单位），则 （）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简，求得 ，进而求得 的值.
【详解】由题意知，三棱锥 的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，
故 ，解得 ，
所以外接球的体积为 .
16.在正方体 中, 分别为棱 , 的中点,则直线 与 所成角的余弦值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
找出直线 的平行线 ， 就等于直线 与 所成的角，求出即可。
【详解】如图，取 的中点为 ，连结 ，则易知 ，所以 与直线 与 所成的角相等，设正方体的棱长为2，则 ， ，连结 ，则 ， ，则 .
11.在三棱锥 中， , 是线段 上一动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件计算出三棱锥外接球的半径，然后求出表面积
【详解】在 中，
线段 长度最小值为 ,
则线段 长度最小值为 ,
即A到BC的最短距离为1
,
则 为等腰三角形
【详解】由题意知函数 的定义域和值域都是 ，
因为函数 和函数 在区间 都是单调递增函数，
所以函数 在区间 是单调递增函数，
则 的最小值为 ，
所以当 时，满足题意，
即 .
15.已知三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，且 ,则该三棱锥的外接球的体积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知该三棱锥的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，求解即可。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可．
【详解】解：如图所示，
中， 是 的中点，
，
，
．
故选： ．
7.函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到函数 的图象，只需将 的图象上所有点（）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度
点睛：解答的关键是如何利用题设中的题设条件，构造什么样的函数进行分析求解。解答时先构造函数 ，再求导然后利用分类整合思想确定函数的图像在区间 上都在 轴的下方，进而求出不等式 的解集是 ，从而使得问题巧妙获解。
第II卷
二、填空题.
13.曲线 恒过定点_______.
【答案】(4,3)
【解析】
【分析】
4.若 满足 则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组 对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．
【详解】作出不等式组 对应的平面区域，由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，
直线 的截距最小，此时最小，此时 ，
故选B．
5.执行如图所示的程序框图，输入 ，那么输出的 值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数 的值，由 ， 即可计算得解．
【详解】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 的值，
可得程序框图实质是计算排列数 的值，
当 ， 时，可得： ，故选B．
6.在 中， 为 的中点， ，则 （）
A. B. C. 3 D.
由 即可得解.
【详解】由 ，
知曲线 恒过定点(4,3).
故答案为：(4,3).
14.已知函数 的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间．若 的保值区间是 ，则 的值为_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由题意知，函数 的定义域和值域都是 ，结合函数的单调性可知 的最小值为 ，即可得到答案。
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 的解析式，再根据 的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：由函数 （其中 ， 的图象可得 ， ，求得 ．再根据五点法作图可得 ，求得 ，函数 ．故把 的图象向右平移 个单位长度，可得函数 的图象，
故选： ．
8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为 的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
【此处有视频，请去附件查看】
10.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：当 时, ；当 时, .综上,实数 的范围为 .故选B.
考点：对数的性质；分类讨论思想.
【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小．（2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线 右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数．（3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“ ”、“ ”或“ ”比较大小.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为 的等腰直角三角形为底面、高为 的三棱锥，它的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，外接球直径 ,表面积为 ，故选B.
9.设 为抛物线 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线的性质可得 ，故选D.
,
的外接圆半径为
设球心距平面ABC的高度为h
则
,
,
则球半径
则三棱锥 的外接球的表面积是
故选D
12.函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若 且 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令 ，由题设可得 ，当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；由于 ，所以不等式 的解集是 ，即不等式 的解集是 ，应选答案B。
【详解】依题意 ， ，故 .故选A.
3.已知命题 ： N , ，命题 ： R, ，则下列命题中为真命题的是（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数的图像与性质判断命题 的真假性，利用特殊值判断命题 的真假性，再结合含有简单逻辑连接词命题真假性选出正确选项.
【详解】当 时，根据指数函数的图像与性质可知 ，故命题 为真命题.当 时， ，故命题 为真命题，故 为真命题，故选A.
数学（文）试卷
第Ⅰ卷
一：选择题。
1.已知集合 பைடு நூலகம்则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：解 得 ，又 ，则 ，则 ，故选A.
2.设 （为虚数单位），则 （）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数除法运算化简，求得 ，进而求得 的值.
【详解】由题意知，三棱锥 的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，
故 ，解得 ，
所以外接球的体积为 .
16.在正方体 中, 分别为棱 , 的中点,则直线 与 所成角的余弦值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
找出直线 的平行线 ， 就等于直线 与 所成的角，求出即可。
【详解】如图，取 的中点为 ，连结 ，则易知 ，所以 与直线 与 所成的角相等，设正方体的棱长为2，则 ， ，连结 ，则 ， ，则 .
11.在三棱锥 中， , 是线段 上一动点，线段 长度最小值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知条件计算出三棱锥外接球的半径，然后求出表面积
【详解】在 中，
线段 长度最小值为 ,
则线段 长度最小值为 ,
即A到BC的最短距离为1
,
则 为等腰三角形
【详解】由题意知函数 的定义域和值域都是 ，
因为函数 和函数 在区间 都是单调递增函数，
所以函数 在区间 是单调递增函数，
则 的最小值为 ，
所以当 时，满足题意，
即 .
15.已知三棱锥 的三条侧棱 两两互相垂直，且 ,则该三棱锥的外接球的体积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知该三棱锥的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，求解即可。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性表示与数量积的定义,计算即可．
【详解】解：如图所示，
中， 是 的中点，
，
，
．
故选： ．
7.函数 （其中 ）的图象如图所示，为了得到函数 的图象，只需将 的图象上所有点（）
A.向右平移 个单位长度B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度
点睛：解答的关键是如何利用题设中的题设条件，构造什么样的函数进行分析求解。解答时先构造函数 ，再求导然后利用分类整合思想确定函数的图像在区间 上都在 轴的下方，进而求出不等式 的解集是 ，从而使得问题巧妙获解。
第II卷
二、填空题.
13.曲线 恒过定点_______.
【答案】(4,3)
【解析】
【分析】
4.若 满足 则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组 对应的平面区域，利用的几何意义即可得到结论．
【详解】作出不等式组 对应的平面区域，由 ，得 ，平移直线 ，由图象可知当直线经过点 时，
直线 的截距最小，此时最小，此时 ，
故选B．
5.执行如图所示的程序框图，输入 ，那么输出的 值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数 的值，由 ， 即可计算得解．
【详解】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 的值，
可得程序框图实质是计算排列数 的值，
当 ， 时，可得： ，故选B．
6.在 中， 为 的中点， ，则 （）
A. B. C. 3 D.
由 即可得解.
【详解】由 ，
知曲线 恒过定点(4,3).
故答案为：(4,3).
14.已知函数 的定义域为 ，若其值域也为 ，则称区间 为 的保值区间．若 的保值区间是 ，则 的值为_____．
【答案】-1
【解析】
【分析】
由题意知，函数 的定义域和值域都是 ，结合函数的单调性可知 的最小值为 ，即可得到答案。
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的最值求出 ，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 的解析式，再根据 的图象变换规律，可得结论．
【详解】解：由函数 （其中 ， 的图象可得 ， ，求得 ．再根据五点法作图可得 ，求得 ，函数 ．故把 的图象向右平移 个单位长度，可得函数 的图象，
故选： ．
8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为 的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
【此处有视频，请去附件查看】
10.设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：当 时, ；当 时, .综上,实数 的范围为 .故选B.
考点：对数的性质；分类讨论思想.
【易错点睛】本题主要考查了对数的性质;分类讨论思想;分段函数等知识.比较对数的大小的方法：（1）若底数相同，真数不同，则可构造相关的对数函数，利用其单调性比较大小．（2）若真数相同，底数不同，则可借助函数在直线 右侧“底大图低”的特点比较大小或利用换底公式统一底数．（3）若底数、真数均不同，则经常借助中间量“ ”、“ ”或“ ”比较大小.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：有三视图可知，几何体是以直角边为 的等腰直角三角形为底面、高为 的三棱锥，它的外接球与棱长为 的正方体的外接球相同，外接球直径 ,表面积为 ，故选B.
9.设 为抛物线 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线的性质可得 ，故选D.
,
的外接圆半径为
设球心距平面ABC的高度为h
则
,
,
则球半径
则三棱锥 的外接球的表面积是
故选D
12.函数 是定义在 上的可导函数， 为其导函数，若 且 ，则不等式 的解集为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令 ，由题设可得 ，当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；由于 ，所以不等式 的解集是 ，即不等式 的解集是 ，应选答案B。
【详解】依题意 ， ，故 .故选A.
3.已知命题 ： N , ，命题 ： R, ，则下列命题中为真命题的是（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用指数函数的图像与性质判断命题 的真假性，利用特殊值判断命题 的真假性，再结合含有简单逻辑连接词命题真假性选出正确选项.
【详解】当 时，根据指数函数的图像与性质可知 ，故命题 为真命题.当 时， ，故命题 为真命题，故 为真命题，故选A.