2020-2021九年级数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案

2020-2021九年级数学圆的综合的专项培优易错难题练习题附详细答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求»AC的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）2π．
【解析】
试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度．
试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO，
∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD；
（2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三
角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606
180
π⨯
=2π．
点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3
4
，AH=33，求EM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8
.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»
AD AC
=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明
△AHC∽△MEO，可得AH HC
EM OE
=，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»
AD AC
=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH
HC
=
3
4
，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，
∵OC=r，OH=r﹣33HC=43∴222
(33)(43)
r r
-+=，∴r=253
6
，
∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∵∠OEM =∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴
AH HC
EM OE
=，∴3343
253
=，∴EM =253
． 点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
3．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数． 试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD ∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD 即∠AOD=∠BOC ∵四边形ABCD 是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC ∴AOD BOC ∆≅∆ ∴AO=OB
（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ， ∴∠A=90°. 又∵∠OPA=40°， ∴∠AOP=50°， ∵OB=OC ， ∴∠B=∠OCB. 又∵∠AOP=∠B+∠OCB ，
∴1
252
B OCB AOP ∠=∠=
∠=︒.
4．如图AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线CM ，延长BC 到点D ，使CD=BC ，连接AD 交CM 于点E ，若⊙OD 半径为3，AE=5， （1）求证：CM ⊥AD ； （2）求线段CE 的长.
【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】
分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理证得AC 垂直平分BD ，然后根据平行线的判定与性质证得结论；
（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可. 详解：证明：（1）连接OC
∵CM 切⊙O 于点C ， ∴∠OCE=90°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∵CD=BC ， ∴AC 垂直平分BD ， ∴AB=AD ， ∴∠B=∠D ∵∠B=∠OCB ∴∠D=∠OCB ∴OC ∥AD ∴∠CED=∠OCE=90° ∴CM ⊥AD.
（2）∵OA=OB ，BC=CD
∴OC=1
2
AD
∴AD=6
∴DE=AD-AE=1
易证△CDE～△ACE
∴CE DE
AE CE
∴CE2=AE×DE
∴CE=5
点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.
5．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；
（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.
【答案】（1）（2）见解析；（3）9
【解析】
分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1
2
AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的
余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出
EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1
2
AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD．
∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．
∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；
（2）连接EF，BG．
∵△AED≌△BFD，∴DE=DF．
∵∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°．
∵∠G=∠A=45°，∴∠G=∠DEF，∴GB∥EF，∴∠FEB=∠GBA．
∵∠GBA=∠GDA，∴∠FEB=∠GDA；
（3）∵AE=BF，AE=2，∴BF=2．在Rt△EBF中，∠EBF=90°，∴根据勾股定理得：
EF2=EB2+BF2．
∵EB=4，BF=2，∴EF=22
42
+=25．
∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°，∴cos∠DEF=
DE
EF
．
∵EF=25，∴DE=25×
2
2
=10．
∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED，∴△GEB∽△AED，∴
GE
AE
=
EB
ED
，即GE•ED=AE•EB，
∴10•GE=8，即GE=410
5
，则GD=GE+ED=
910
5
．
∴119101
109
222
S GD DF GD DE
=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．
点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定
与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
6．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，tan∠ACD＝3
，求FC的长．
【答案】（1）见解析
【解析】
分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．
详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.
又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，
∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，
∴FC⊥OC，
∴FC是⊙O切线．
(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=
AE
43 tan ACE3
∠
==
设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.
在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，
即r2＝(r－4)2＋32，解得r＝8.
∴OE＝r－4＝4＝AE.
∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.
在Rt△FOC中，
∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，
∴OF＝2OC＝16，
∴FC22
OF OC83
-=.
点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长
是解题关键．
7．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D 作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再由
∠ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB为等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根据切线的性质得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB．
（2）先根据勾股定理计算出AB=10，由于△DAB为等腰直角三角形，可得到
AD52
22
===；由△ACE为等腰直角三角形，得到
AE CE32
22
====，在Rt△AED中利用勾股定理计算出DE=42，则
CD=72，易证得∴△PDA∽△PCD，得到PD PA AD52
PC PD CD72
===，所以PA=
5
7
PD，
PC=7
5
PD，然后利用PC=PA+AC可计算出PD．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD=45°．
∴∠DAB=∠ABD=45°．∴△DAB为等腰直角三角形．
∴DO⊥AB．
∵PD为⊙O的切线，∴OD⊥PD．
∴DP∥AB．
（2）在Rt△ACB中，，
∵△DAB为等腰直角三角形，∴．
∵AE⊥CD，∴△ACE为等腰直角三角形．∴．在Rt△AED中，，
∴．
∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°．∴∠PAD=∠PCD．
又∵∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD．∴．
∴PA=7
5PD，PC=
5
7
PD．
又∵PC=PA+AC，∴7
5
PD+6=
5
7
PD，解得PD=．
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，»»
AB CD
．
（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△ABE≌△DCE；
（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（383
．
【解析】
分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以»»
BE CE
=，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；
（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．
本题解析：
（1）解：BE=CE ，
理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°， ∴∠BCE=∠EAC ， ∴»»BE
CE =， ∴BE=CE ；
（2）证明：∵»»AB CD =，∴AB=CD ， ∵»»BE CE =，»»AE ED
=，∴AE=ED ， 由（1）得：BE=CE ， 在△ABE 和△DCE 中，
∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△DCE （SSS ）；
（3）解：如图，∵过O 作OG ⊥BE 于G ，OH ⊥BC 于H ，
∴BH=
12BC=1
2×8=4，BG=1
2BE ， ∵BE=CE ，∠EBC=∠EAC=60°，
∴△BEC 是等边三角形，∴BE=BC ，∴BH=BG ， ∵OB=OB ，∴Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），
∴∠OBH=∠GBO=
1
2
∠EBC=30°， 设OH=x ，则OB=2x ，
由勾股定理得：（2x ）2=x 2+42，x=43
， ∴OB=2x=
83，∴⊙O 的半径为83
．
点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.
9．解决问题：
() 1如图①，半径为4的O e 外有一点P ，且7PO =，点A 在O e 上，则PA 的最大值和
最小值分别是______和______．
()2如图②，扇形AOB 的半径为4，45AOB ∠=o ，P 为弧AB 上一点，分别在OA 边找点E ，在OB 边上找一点F ，使得PEF V 周长的最小，请在图②中确定点E 、F 的位置并直接写出PEF V 周长的最小值；
拓展应用
()3如图③，正方形ABCD 的边长为42；E 是CD 上一点(不与D 、C 重合)，CF BE ⊥于F ，P 在BE 上，且PF CF =，M 、N 分别是AB 、AC 上动点，求PMN V 周长的最小值．
【答案】（1）11，3；（2）图见解析，PEF V 周长最小值为423）41042．
【解析】
【分析】
()1根据圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11和3；
()2作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求，此时PEF V 周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；
()3类似()2题作对称点，PMN V 周长最小12PP =，然后由三角形相似和勾股定理求解．
【详解】
解：()1如图①，Q 圆外一点P 到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP 上，
此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离． PA ∴的最大值227411PA PO OA ==+=+=，
PA 的最小值11743PA PO OA ==-=-=，
故答案为11和3；
()2如图②，以O 为圆心，OA 为半径，画弧AB 和弧BD ，作点P 关于直线OA 的对称点1P ，作点P 关于直线OB 的对称点2P ，连接1P 、2P ，与OA 、OB 分别交于点E 、F ，点E 、F 即为所求．
连接1OP 、2OP 、OP 、PE 、PF ，
由对称知识可知，1AOP AOP ∠∠=，2BOP BOP ∠∠=，1
PE PE =，2PF P F = ∴1245AOP BOP AOP BOP AOB ∠∠∠∠∠+=+==o ，
12454590POP o o o ∠=+=，
12POP ∴V 为等腰直角三角形，
121PP ∴==
PEF V 周长1212PE PF EF PE P F EF PP =++=++=，此时PEF V 周长最小．
故答案为；
()3作点P 关于直线AB 的对称1P ，连接1AP 、1BP ，作点P 关于直线AC 的对称2P ， 连接1P 、2P ，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．如图③
由对称知识可知，1
PM PM =，2PN P N =，PMN V 周长1212PM PN MN PM P N MN PP =++=++=，
此时，PMN V 周长最小12PP =．
由对称性可知，1BAP BAP ∠∠=，2EAP EAP ∠∠=，12AP
AP AP ==， ∴1245BAP EAP BAP EAP BAC o ∠∠∠∠∠+=+==
12454590P AP ∠=+=o o o ，
12P AP V ∴为等腰直角三角形，
PMN ∴V 周长最小值12PP =，当AP 最短时，周长最小． 连接DF ．
CF BE Q ⊥，且PF CF =，
45PCF ∠∴=o ，PC CF
=45ACD ∠=o Q ，
PCF ACD ∠∠∴=，PCA FCD ∠∠=，
又AC CD
=， ∴在APC V 与DFC V 中，AC PC CD CF
=，PCA FCD ∠∠= C AP ∴V ∽DFC V ，
AP AC DF CD
∴== ∴
AP =
90BFC ∠=o Q ，取AB 中点O ．
∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短．
2222(22)(42)2221022DF DO FO OC CD OC =-=+-=+-=-， AP ∴最小值为2AP DF =
∴此时，PMN V 周长最小值
()
12222222102241042PP AP DF ==⋅=⋅-=-．
【点睛】
本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键．
10．如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC 、AC ．
（1）求证：AC 平分∠DAO ．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE 的度数；
②若⊙O 的半径为22，求线段EF 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23
【解析】
【试题分析】（1）根据直线与⊙O 相切的性质，得OC ⊥CD.
又因为AD ⊥CD ，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA ，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC 平分∠DAO.
（2）①因为 AD//OC ，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，
∠EOC=∠DAO=105°，在OCE ∆ 中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=22，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23，则EF=GE-FG=23-2.
【试题解析】
（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.
∴FG=2.
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.
∴EF=GE-FG=23-2.
【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.
11．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.
【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明
△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB
OC BC
＝，所以HB=
2
4
BC
，由于BC=HC，所以
OH+HC=4−
2
4
BC
+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC
＝
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB=
2
4 BC
，
∴OH=OB-HB=4-24BC ∵CB=CH ， ∴OH+HC=4−24
BC +BC ， 当∠BOC=90°，
此时BC=42
∵∠BOC ＜90°， ∴0＜BC ＜42，
令BC=x 则CH=x ，BH=2
4
x ()221142544
OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，
∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
12．在平面直角坐标系XOY 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，若P 、Q 为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x 轴平行（含重合），则称P 、Q 互为“向善点”．如图1为点P 、Q 互为“向善点”的示意图．已知点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（m ，0）
（1）在点M （﹣1，0）、S （2，0）、T （3，33）中，与A 点互为“向善点”的是_____；
（2）若A 、B 互为“向善点”，求直线AB 的解析式；
（3）⊙B 的半径为3，若⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”，请直接写出m 的取值范围．
【答案】（1）S ，T ．（2）直线AB 的解析式为y 3或y 3x 33）当﹣2＜m ＜0或2＜m ＜4时，⊙B 上有三个点与点A 互为“向善点”．
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．
【详解】
（1）∵
30330
,3tan60
1(1)221
︒
--
===
---
，
333
3tan60
31
︒
-
==
-
，
∴点S，T与A点互为“向善点”．
故答案为S，T．
（2）根据题意得：
30
3
|1|
m
-
=
-
，
解得：m1＝0，m2＝2，
经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，
∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：
3
k b
b
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
3
20
k b
k b
⎧+=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，
解得：
3
k
b
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
或
3
23
k
b
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．
（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．
∵∠BOE＝60°，
∴sin60°＝3
BE
OB
=，
∴OB＝2，
∴m＝﹣2或m＝2；
当⊙B与直线y33B作BF⊥直线y33F，如图3所示．
同理，可求出m＝0或m＝4．
综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线y=3x相切及⊙B与直线y=-3x+23相切两种情况考虑．
13．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．
6
【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O
【解析】
【分析】
（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即
OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程
222
-=，解此方程即可求得⊙O的半径．
x x
3)6)
【详解】
解：（1）直线CE与⊙O相切．…
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，BC ∥AD ，CD ＝AB ，
∴∠DCE +∠DEC ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ，
又∠DCE ＝∠ACB ，
∴∠DEC +∠DAC ＝90°，
∵OE ＝OA ，
∴∠OEA ＝∠DAC ，
∴∠DEC +∠OEA ＝90°，
∴∠OEC ＝90°，
∴OE ⊥EC ，
∵OE 为圆O 半径，
∴直线CE 与⊙O 相切；…
（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ，
∴△CDE ∽△CBA ，
∴ BC AB DC DE =， 又CD ＝AB ＝2，BC ＝2，
∴DE ＝1
根据勾股定理得EC ＝3，
又226AC AB BC =+=，…
设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，
解得6x =， ∴⊙O 的半径为6．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
14．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .
（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长；
（2）若AF BF =，求O e 的半径；
（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.
【答案】(1)42CE =；(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到
OE BC =OC BA ，即r 8-r =610，解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC =，即12108
GE =，解得即可． 【详解】
(1)如图，连结OE .
∵CE 切O e 于E ，
∴90OEC ∠=︒.
∵8AC =，O e 半径为2，
∴6OC =，2OE =.
∴2242CE OC OE =-=；
(2)设O e 半径为r .
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =， ∴226BC AB AC =
-=. ∵
AF BF =， ∴
AF CF BF ==. ∴
ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，
∴90OEC ∠=︒.
∴OEC ACB ∠=∠，
∴OEC BCA ∆~∆.
∴
OE OC BC BA =， ∴8610
r r -=， 解得3r =.
∴O e 的半径为3；
(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，
由对称性可知，CB CG =.
又CE CB =，
∴CE CG =.
∴EGC GEC ∠=∠.
∵CE 切O e 于E ，
∴90GEC OEG ∠+∠=︒.
又90EGC GMC ∠+∠=︒，
∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠，
∴OEG OME ∠=∠.
∴OE OM =.
∴点M 与点D 重合.
∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.
连结AE 、BE ，
∵AD 是直径，
∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒.
又CE CB CG ==，
∴90BEG ∠=︒.
∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒，
∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.
∴E 、F 两点重合.
∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，
∴GBE ABC ∆~∆. ∴GB GE AB AC =，即12108
GE =. ∴9.6GE =.
故G 、E 两点之间的距离为9.6.
【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.
15．已知：如图，四边形ABCD 为菱形，△ABD 的外接圆⊙O 与CD 相切于点D ，交AC 于点E ．
（1）判断⊙O 与BC 的位置关系，并说明理由；
（2）若CE=2，求⊙O 的半径r ．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）根据切线的性质，可得∠ODC 的度数，根据菱形的性质，可得CD 与BC 的关系，根据SSS ，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠OBC 的度数，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠ACD=∠CAD ，根据三角形外角的性质，
∠COD=∠OAD+∠AOD ，根据直角三角形的性质，可得OC 与OD 的关系，根据等量代换，可得答案．
（1）⊙O 与BC 相切，理由如下
连接OD 、OB ，如图所示：
∵⊙O与CD相切于点D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圆⊙O的圆心O在AC上，∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB为半径，
∴⊙O与BC相切；
（2）∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD．
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD，
∠COD=2∠CAD．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°．
∴OD=1
2
OC，
即r=1
2
（r+2）．
∴r=2．
【点睛】运用了切线的判定与性质，利用了切线的判定与性质，菱形的性质，直角三角形的性质．。