高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数(3)同步练习新人教B版必修1

2.2.3 待定系数法
1．已知一个正比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为( )
A ．y ＝4x
B ．y ＝－4x
C ．y ＝14x
D ．y ＝－14
x
2．若直线y ＝1
2x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则有( )
A ．n ＝－52，m ＝12
B ．n ＝1，m ＝1
2
C ．n ＝－52，m ＝－1
D ．n ＝3
2
，m ＝3
3．如果直线y ＝ax ＋2与y ＝bx ＋3的图象相交于x 轴上一点，那么a ，b 的关系为( ) A ．a ＝b B ．a∶b＝2∶3 C ．a ＋2＝b ＋3 D ．a·b＝1
4．已知2x 2
＋x －3＝(x －1)(ax ＋b)，则a ＝__________，b ＝__________.
5．已知抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一点的坐标为__________．
1．已知一个一次函数的图象经过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为( )
A ．y ＝12x －52
B ．y ＝12x ＋52
C ．y ＝－12x ＋52
D ．y ＝－12x －5
2
2．已知一个二次函数的顶点为(0,4)，且过(1,5)点，则这个二次函数的解析式为( )
A ．y ＝14x 2＋1
B ．y ＝14x 2
＋4
C ．y ＝4x 2＋1
D ．y ＝x 2
＋4
3．已知一个二次函数经过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，则这个函数的解析式为( )
A ．y ＝x 2－1
B ．y ＝1－x 2
C ．y ＝12x 2＋1
D ．y ＝12x 2
－1
4．函数y ＝x 2
－4x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为__________．
5．已知一个二次函数y ＝f(x)，f(0)＝3，又知当x ＝－3或－5时，这个函数的值都为零，则这个二次函数的解析式为__________．
6．如图，一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面12
3
m ，铅球落地点距铅球刚出手时
的水平距离为10 m ，铅球运动的最高点M 距地面3 m ．已知铅球的运动轨迹是抛物线，求这个抛物线的解析式．
7．已知一次函数的图象与x 轴的交点为A(6,0)，又与正比例函数图象交于B 点，点B 在第一象限且横坐标为4，如果△AOB(O 为原点)的面积为15，求这个正比例函数和一次函数的解析式．
1．若(2,5)，(4,5)是抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 上的两点，那么它的对称轴为直线( )
A ．x ＝－b
a
B ．x ＝1
C ．x ＝2
D ．x ＝3
2．如图所示，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝3，则a ，b ，c 应满足的条件为( )
A ．ab ＋c<0
B ．2a ＋b ＋c>0
C ．a>b>c
D ．a>a
c
3．若f(x)＝(m －1)x 2
＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在[－3,1]上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先增后减 D ．先减后增
4．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象过点(1,2)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数图象不具有的性质是( )
A ．过点(3,0)
B ．顶点为(2,2)
C ．在x 轴上截得的线段长为2
D ．与y 轴交点为(0,3)
5.已知关于抛物线y ＝(m ＋6)x2＋2(m －1)x ＋m ＋1的图象与x 轴的两交点的横坐标满足倒数之和等于－4，则m ＝__________.
6．二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数为y ＝x2－2x ＋1，则b ＝__________，c ＝__________.
7．某抛物线与y ＝2x2的图象形状相同，对称轴平行于y 轴，且顶点为(－1,3)，则它的解析式为__________．
8．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定二次函数的解析式．
9．已知二次函数满足f(x －2)＝f(－x －2)，且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f(x)的表达式．
10．已知函数f(x)＝ax2＋a2x ＋2b －a3，
(1)当x∈(－2,6)时，其值为正，而当x∈(－∞，－2)∪(6，＋∞)时，其值为负，求a ，b 的值及函数f(x)的表达式；
(2)设F(x)＝－k
4
f(x)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)，问：k 取何值时，函数F(x)的值恒为负？
答案与解析
课前预习
1．A 设函数为y ＝kx(k≠0)，把(2,8)代入得8＝2k ，即k ＝4. ∴解析式为y ＝4x.此题也可代入验证．
2．D 把(1,2)分别代入两直线方程可得n ＝3
2
，m ＝3.
3．B 设两函数图象相交于点(t,0)，代入函数解析式得a ＝－2t ，b ＝－3
t
.
∴a∶b＝(－2t )∶(－3
t
)＝2∶3.
4．2 3 (x －1)(ax ＋b)＝ax 2＋(b －a)x －b ＝2x 2
＋x －3，比较系数可得a ＝2，b ＝3.
5．(－14，14
) 由题意可得4＝a·12,
4＝k×1＋1，
∴a＝4，k ＝3，解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝4x 2
，
y ＝3x ＋1，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝4
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1
4，y ＝1
4.
课堂巩固
1．B 由题意设y ＝kx ＋b(k≠0)，把(1,3)、(3,4)代入得⎩⎪⎨
⎪
⎧
3＝k ＋b ，4＝3k ＋b ，
解得
⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝1
2，b ＝52.
∴y＝12x ＋5
2
.
点评：用待定系数法求解析式的步骤为： (1)设出所求函数的解析式； (2)依据条件列出方程组； (3)解方程组，求出待定系数； (4)得出结论．
2．D 依题意设解析式为y ＝ax 2
＋4(a≠0)，
把(1,5)代入得a ＝1，∴y＝x 2
＋4.
3．A 设解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，
把(－1,0)，(1,0)，(2,3)代入得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋
c ＝0，a ＋b ＋c ＝0，
4a ＋2b ＋c ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1，
b ＝0，
c ＝－1.
∴y＝x 2
－1.
4.3 由题意，A 、B 、C 三点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴S △ABC ＝12|AB|·h＝1
2
×2×3＝3.
5．y ＝15x 2＋8
5
x ＋3 由题意，可设二次函数的解析式为y ＝a(x ＋3)(x ＋5)，把(0,3)点
代入得3＝a(0＋3)(0＋5)，∴a＝15，即y ＝15(x ＋3)(x ＋5)＝15x 2＋8
5
x ＋3.
6．解法一：设抛物线解析式为y ＝ax 2
＋bx ＋c ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝123
，
100a ＋10b ＋c ＝0，4ac －b 2
4a ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－112
，
b ＝23，
c ＝53.
∴y＝－112x 2＋23x ＋5
3
.
解法二：设抛物线解析式为y ＝a(x －h)2
＋3. 则⎩⎪⎨⎪⎧
123＝ah 2＋3，0＝a(10－h)2＋3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－112，
h ＝4.
∴y＝－112
(x －4)2
＋3，
即y ＝－112x 2＋23x ＋5
3
.
7．解：∵点B 在第一象限，且横坐标为4，
∴设B(4，m)(m>0)，如图所示：
S △AOB ＝1
2·OA·m，
∴15＝1
2
×6m，得m ＝5.
设正比例函数和一次函数解析式分别为y ＝k 1x 和y ＝k 2x ＋b.
把B(4,5)代入y ＝k 1x ，得k 1＝5
4
，
∴y＝54
x.
把B(4,5)、A(6,0)代入y ＝k 2x ＋b ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4k 2＋b ＝5，
6k 2＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
k 2＝－52，
b ＝15.
∴y＝－5
2
x ＋15.
课后检测
1．D (2,5)与(4,5)两点关于直线x ＝3对称． 2．A ∵抛物线的开口向上，∴a>0.
又∵对称轴为－b
2a
＝3>0，∴b<0.
∴ab<0，由图象知c<0.∴ab＋c<0. 3．C ∵f(x)为偶数，
∴m＝0，即f(x)＝－x 2
＋3. ∴f(x)在[－3,1]上先增后减．
4．B 由题意可得1＋b ＋c ＝0且－b
2
＝2，
∴b＝－4，c ＝3.
∴y＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1.
∴抛物线的顶点为(2，－1)，不是(2,2)．
5．－3 由题意得1x 1＋1
x 2
＝－4，
即x 1＋x 2x 1x 2
＝－4， 又x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1·x 2＝m ＋1
m ＋6
，
∴－2m ＋2m ＋1
＝－4，解得m ＝－3.
6．－6 6 y ＝x 2－2x ＋1向下平移3个单位得y ＝x 2－2x ＋1－3＝x 2
－2x －2，再向右
平移2个单位得y ＝(x －2)2－2(x －2)－2＝x 2
－6x ＋6.
7．y ＝±2(x＋1)2＋3 ∵抛物线的形状与y ＝2x 2
的图象相同， ∴二次项系数a 满足|a|＝2. ∴a＝±2.
又顶点为(－1,3)，对称轴平行于y 轴，
∴y＝±2(x＋1)2
＋3.
8．解法一：设f(x)＝ax 2
＋bx ＋c(a≠0)，
由已知条件，得⎩⎪⎨
⎪⎧
4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，
4ac －b 2
4a ＝8，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－4，
b ＝4，
c ＝7.
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2
＋4x ＋7.
解法二：设f(x)＝a(x －h)2
＋k(a≠0)．
因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2－12＝1
2
.
所以h ＝1
2
.
又函数的最大值为8，
所以k ＝8，故f(x)＝a(x －12
)2
＋8.
因为f(2)＝－1，
所以a(2－12
)2
＋8＝－1，解得a ＝－4.
所以f(x)＝－4(x －12
)2＋8＝－4x 2
＋4x ＋7.
解法三：由已知得f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1.
故可得f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)，即f(x)＝ax 2
－ax －2a －1.
又f(x)max ＝8，所以4a(－2a －1)－a
2
4a
＝8，
解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2
＋4x ＋7.
9．解：设f(x)的表达式为f(x)＝ax 2
＋bx ＋c ， ∵在y 轴上的截距为1，即过(0,1)点，∴c＝1.
即f(x)＝ax 2
＋bx ＋1.
又∵f(x－2)＝f(－x －2)， ∴对称轴为x ＝－2.
即－b
2a
＝－2，∴b＝4a.①
设图象与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2，
则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝1
a .
又∵|x 1－x 2|＝22，∴(x 1－x 2)2
＝8.
即(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝8，∴b 2
a 2－4a ＝8.②
解①②组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝12
，
b ＝2.
∴f(x)＝12
x 2
＋2x ＋1.
10．解：(1)依题意可得a<0且f(－2)＝0，f(6)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
4a －2a 2
＋2b －a 3
＝0，36a ＋6a 2＋2b －a 3
＝0，a<0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－4，
b ＝－8.
∴f(x)＝－4x 2＋16x ＋48.
(2)∵F(x)＝－k 4
(－4x 2＋16x ＋48)＋4(k ＋1)x ＋2(6k －1)＝kx 2
＋4x －2，
∴欲使F(x)<0恒成立，
只要使kx 2
＋4x －2<0恒成立，
只须⎩
⎪⎨
⎪⎧
k<0，Δ＝16＋8k<0，解得k<－2.。