高三新课标数学(理)一轮复习：滚动测试(15份)滚动测试

滚动测试十五
时间：120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分．）
1． ①教育局督学组到学校检查工作，临时需在每个班各抽调两人参加座谈； ②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60～84分，1人不及格，现欲从中抽出八人研讨进一步改进教和学； ③某班元旦聚会，要产生两名“幸运者”。

以上三件事，合适的抽样方法为 （ ） A ．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样 C ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
2．对总数为N 的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N 等于
A.150
B.200
C.120
D.100
3. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 （ ） A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．对立不互斥事件
4. 从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.下表是a x b
y x y y x ˆˆ,+=的线性回归方程关于则之间的一组数据与必过 （ ）
A ．点（2，2）
B ．点（1.5，2）
C ．点（1，2）
D ．点（1.5，4）
6. 从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于９的概率为 ( )
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7.连掷两次骰子得到点数分别为m 和n ，记向量a (,)b (1,1)m n ==-与向量的夹角为的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，，△ABC 的面积为，那么b 等于
A.
B.1+
C.
D.2+
9. 两位大学毕业生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是”，根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为（ ） A ．21 B ．35 C ．42 D ．706
10. 集合{(,)||1|}A x y y x =≥-，集合{(,)|5}B x y y x =≤-+.先后掷两颗骰子，设掷第—颗骰子得点数记作，掷第二颗骰子得点数记作，则的概率等于( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11. 随机变量的概率分布规律为()(1,2,3,4)(1)
a
P n n n n ξ===+，其中是常数，则的值为
A ．2
3
B ．34
C ．45
D ．56
12. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为（、、），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则的最大值为 A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）
13．某中学高中部有三个年级，其中高三有600人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本。

已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是
14．下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
15
其中成等差数列，若则的值是 ．
16. 某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如 图所示．则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率 是 、该文学社学生参加活动的人均次数为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答出应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）
一项体育比赛按两轮排定名次，每轮由A 、B 两种难度系数的4个动作构成.某选手参赛方案如表所示：
若这个选手一次正确完成难度系数为A 、B 动作的概率分别为0.8和0.5 （Ⅰ）求这个选手在第一轮中恰有3个动作正确完成的概率；
（Ⅱ）求这个选手在第二轮中两种难度系数的动作各至少正确完成一个概率.
18.（本小题满分12分）
袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两
种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.
(1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 19．（本小题满分12分）
有甲、乙两个篮球运动员，每人各投篮三次，甲三次投篮命中率均为；乙第一次在距离8米处投篮命中率为，若第一次投篮未中，则乙进行第二次投篮，但距离为12米，如果又未中，则乙进行第三次投篮，并且在投篮时距离为16米，乙若投中，则不再继续投篮，且知乙命中的概率与距离的平方成反比.
（Ⅰ）求甲三次投篮命中次数ξ的期望与方差； （Ⅱ）求乙投篮命中的概率. 20．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望. 21．（本小题满分12分） 设函数()(1),1
x
f x ax x a x =+
>-若是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从2，3，4，5四个数中任取的一个数，求恒成立的概率. 22．（本小题满分14分）
从原点出发的某质点M,按向量移动的概率为,按向量移动的概率为,设M 可到达点
(0,)(1,2,3...).n n n P =的概率为
(Ⅰ)求:P 1和P 2的值;
(Ⅱ)求证:2111();3
n n n n P P P P +++-=-- (Ⅲ)求的表达式.
参考答案
1.【答案】D
【解析】本题主要考查三种抽样方法的定义及应用.按定义进行判断。

2．【答案】C
【解析】 ∵=0.25，∴N =120. 3. 【答案】C
【解析】还可能丙或丁拿到红牌. 4. 【答案】B 【解析】，故选B 。

5.【答案】D
【解析】因为线性回归直线方程过定点()这一特征，因此选D 6. 【答案】D
【解析】从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，共有53=125个。

若各位数字之和等于９，则可取的数字组合有5种，分别为1、3、5；2、3、4；1、4、4；2、2、5；3、3、3；共有19个数，故所求概率为。

7.【答案】A
【解析】由题意得，的取值共36种，满足，当时，可取2，3，4，5，6共5种；时，可取3，4，5，
6共4种；时，可取4，5，6共3种；时，可取5，6两种，时，.满足条件的共1+2+3+4+5=15种，所以其概率为. 8.【答案】B 9. 【答案】A
【解析】设参加面试的人数为，则两人同时被招聘进来的概率为
2122
3C C 261(1)(2)C (1)706
x x
x x x x x x --===---，故，解得. 10. 【答案】B
【解析】由题意，的不同取值共有
36
种，满足条件的，即只有
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,2)共八个点，故其概率为. 11.【答案】D
【解析】由各频率之和为1得1
(1)1122334455
a a a a a +++=-=⨯⨯⨯⨯，解得. 故1525
()(1)(2)222636
a a a P P P ξξξ<<==+==+=
=. 12. 【答案】D 【解析】由已知得即
2
11321326626
a b ab a b +⎛⎫∴=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，故选D.
13．【答案】1350
【解析】由题意可知，高三抽取20人，故每30人抽去1人，样本容量为45，故总体容量为1350. 14．【答案】
【解析】利用几何概型。

15．【答案】 【解析】成等差数列有1
11.3
E a c c a ξ=-⨯+⨯=-=
联立三式得: 2221111215
(1)()().3633329
D ξ∴=--⨯+⨯+⨯=
16. 【答案】；.
【解析】从中任意选１名学生，他参加活动次数为３的概率是:.由统计图知该文学社学生参加活动的人均次数为:
110260330
2.2100
⨯+⨯+⨯=.
17．【解析】
（Ⅰ）设这个选手在第一轮中恰有3个动作正确完成的的事件为A ，他可能前3个动作正确完成第4个动作未正确完成，也可能前3个动作恰有2个正确完成第4个也正确完成
所以P （A ）=32
230.80.50.80.20.50.448C ⨯+⨯⨯=
（Ⅱ）设选手在第二轮中两种难度系数的动作各至少正确完成一个的概率为B 则P （B ）==0.72
18.【解析】随机变量可取的值为11123211
543
(2);5C C C P C C ξ=== 212123*********(3);10A C A C P C C C ξ+===31
321111
54321
(4);10
A C P C C C C ξ=== 得随机变量的概率分布律为：
(2)随机变量的数学期望为：3315
234510102
E ξ=⋅
+⋅+⋅=； 随机变量的方差为：2
223319(2 2.5)(3 2.5)(4 2.5)5101020
D ξ=-⋅
+-⋅+-⋅=. 19．【解析】（Ⅰ）甲三次投篮的命中次数ξ服从二项分布，即， 则
3218
3.5525D npq ξ==⨯⨯
= （Ⅱ） 记乙三次投篮依次为事件A 、B 、C ，设乙命中概率与距离的平方成反比的比例系数为a ，则由题意得23
(),4884
a P A a =
=∴= .
故乙投篮命中的概率为
)()()()()()()()()(C P B P A P B P A P A P C B A P B A P A P P ⋅⋅+⋅+=++=
.96
831633241314143=⨯⨯+⨯+=
20．（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事
件B .由于事件A 、B 相互独立， 且,
所以取出的4个球均为黑球的概率为
121
()()()255
P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=.
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个
是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且
211
32422
464
()15
C C C P C C C ⋅=⋅=, . 所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 417()()()15515
P C D P C P D +=+=+=.
（Ⅲ）设可能的取值为0,1,2,3.
由（Ⅰ）、（Ⅱ）得, ,13224611(3)30
C P C C ξ==⋅=. 所以3(2)1(0)(1)(3)10
P P P P ξξξξ==-=-=-==.
的分布列为
∴的数学期望
173
17
0123
51510306
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．【解析】
a
x
x
a+
+
-
+
-
=1
1
1
)1
(
2
11),
a
≥+=
,
)1
(
min
)
(2
+
=
∴a
x
f
于是b
a
b
x
f>
+
>2)1
(
)
(恒成立就转化为成立。

即>成立设事件A：“恒成立”，则
基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个
由古典概型得
22．【解析】（Ⅰ）P1= P2=
（Ⅱ）(0,2)(0,1)(0,1)(0,)(0,2)
n n n
+=++=+
∴
2111
111
()
333
n n n n n n
P P P P P P
++++
-=-+=--（Ⅲ），为等比数列且首项为，公比为-
1
1
11
()
93
n
n n
P P-
+
-=⨯-
2
43
11
()
93
......
P P
-=⨯-
2
1
11
()
93
n
n n
P P-
-
-=⨯-
以上各式相加得：
012
1
1111
()()...()
9333
n
n
P P-
⎡⎤
-=⨯-+-++-
⎢⎥
⎣⎦
=
1
1
1
1()
111
31()
9123
1
3
n
n
-
-
--
⎡⎤⨯=--
⎢⎥
⎣⎦
+
.。