高中数学 1.2 直观图课件 北师大版必修2
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′D′C′为等腰直角三角形， 所以 E′C′＝ 2，所以 B′C′＝1＋ 2. 再建立一个直角坐标系 xBy，如图②所示，在 x 轴上截取 线段 BC＝B′C′＝1＋ 2，在 y 轴上截取线段 BA＝2B′A′ ＝2，过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1，连接 CD，则四 边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的实际图形，四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋ 2，高 AB＝2， 所以 S 梯形 ABCD＝12AB·(AD＋BC)＝12×2×(1＋1＋ 2)＝2＋ 2.
• D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直
观图可能不同
第九页，共42页。
• [答案] B • [解析] 由直观图的画法知平行(píngxíng)于y
轴的线段其对应线段平行(píngxíng)于y′轴， 长度为原来的一半．
第十页，共42页。
• 2． 下列说法正确的是( )
• A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
第三十三页，共42页。
[规律总结] (1)由直观图还原为平面图的关键是找与 x′
轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于 x′轴的线段还原时长
度不变，平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段
长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由直观
图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分
• [思路分析(fēnxī)] 由斜二测画法画直观图．
第十七页，共42页。
• [规范解答] (1)如图所示，在已知直角 (zhíjiǎo)梯形OBCD中以底边OB所在直线为x 轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直 角(zhíjiǎo)坐标系；如图(1)所示，另选一个 平面画直观图，画x′轴和y′轴，使∠x′Oy′＝ 45°.
• [思路分析] 由直观图确定原来的图形的形状 及数量关系，关键要把握(bǎwò)“横坐标不变， 纵坐标减半”的原理，逆推即可．
第三十一页，共42页。
• [规范解答(jiědá)] 如图①是四边形的直观图， 取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°， 所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′， D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
• [规律总结] 在画水平放置的平面图形(túxíng) 的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键， 一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐 标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直 观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直 观图中仍是平行线．
第二十页，共42页。
• 如图所示，△ABC中BC＝8cm，BC边上 (biān shànɡ)的高AD＝6cm，试用斜二测画 法画出其直观图．
• B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
• C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相 垂直
• D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
• [答案(dáàn)] D
• [解析] 选项A错，水平放置的正方形的直观 图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的 直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂 直的两条直线的直观图夹角为45°；选项D
A． 23a2
B. 415a2
C． 26a2
D． 6a2
第三十七页，共42页。
[错解] B 原三角形 ABC 的边中平行于 x 轴的长度不变 仍为 a.另两条边的长应伸长为原来的 2 倍，即 2a.由等腰三角形 的边的关系知，底边上的高应为 2a2－a22 ＝ 215a.故△ ABC 的面积 S＝12× 215×a·a＝ 415a2.故选 B.
• [答案] 2.5 • [解析] 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，
则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC ＝4，斜边AB＝5，第故三十五页，斜共42页。边AB上的中线长为
易错疑难辨析
第三十六页，共42页。
已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长
为 a 的正三角形，那么原三角形 ABC 的面积为( )
第二十七页，共42页。
• 用斜二测画法画长、宽、高分别(fēnbié)是 4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D 的直观图．
• [解析] 画法：(1)画轴．如图所示，画x′轴、 y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ 45°，∠x′O′z′＝90°.
第二十八页，共42页。
别在两个图中计算．
(2)一般地，若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面
积为
S′，则有
S′＝
2 4S
或
S＝2
2S′.利用这一公式可由原
图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
第三十四页，共42页。
• 水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知 A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上(biān shànɡ)的 中线的实际长度为________．
第二十四页，共42页。
• [规范解答(jiědá)] 画法如图所示：
第二十五页，共42页。
• (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝ 45°，∠x′O′z′＝90°.
• (2)画底面：按x′轴、y′轴画正六边形的直观图 ABCDEF，按比例尺，取边长等于5÷5＝ 1cm，并使正六边形的中心(zhōngxīn)对应于 点O′.
平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行
平(p行ín(pgínxgxíínngg)性)于和长z轴度 的线段，在直观图中
_________________都不变．
• 3．画直观图的原理
平行投影
• 用斜二测画法画的平直行(观pín图gxín是g)根据
___________的原理画出的图形，图中的投
影线互相________．
第八页，共42页。
• 1．关于(guānyú)直观图画法的说法中，不正 确的是( )
• A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平 行于x′轴，其长度不变
• B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平 行于y′轴，其长度不变
• C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时， ∠x′O′y′可等于45°
• (3)画高线：在z′轴上取O′S＝11.5÷5＝ 2.3cm.
• (4)成图：连接SA，SB，SC，SD，SE，SF， 并加以整理，擦去辅助线，得到正六棱锥的
第二十六页，共42页。
• [规律总结] 画空间几何体的直观图时，一般 是先按照画平面图形直观图的方法与步骤， 画出其底面的直观图，然后再画出z轴，在z 轴上，确定该几何体的顶点或另一个底面的 直观图所需坐标系的原点，从而(cóng ér)作 出另一个底面的直观图，最后得到整个几何 体的直观图．画几何体的底面时，实际上就 是画底面这个平面图形的直观图，在本例中 如果把底面画成一个正六边形，那就错 了．成图后要去掉辅助线，辅助线包括x′轴、 y′轴、z′轴和引进的其他辅助线．
立体几何(lìtǐjǐhé)初步
第一章
第一页，共42页。
§2 直观图
第一章
第二页，共42页。
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
第三页，共42页。
课前自主预习
第四页，共42页。
• “一口叙说千古事，双手对舞百万兵”的皮影 戏，是深受群众喜爱的一种民间艺术，它最 早流传于鲁南、苏北、浙江、河北一带，后 来逐渐扩散到全国各地．皮影戏的表演是借 助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象， 将纸
• (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段保，持原在长直度 不观的变图线段中；分别画成_________原_来__的_12_________
• (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图
第七页，共42页。
• 2．立体图形的特点
• 立体图形与平面图形相比多一个z轴，其直观
图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平
第三十八页，共42页。
[辨析] 还原图形的过程，是画直观图的逆过程，它主要 包括平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为 原来的 2 倍．本题中变为 2a 的两条边并不和 y 轴平行．因而将 其变为 2a 是错误的．
第十一页，共42页。
• 3．如图所示为水平放置的平面图形的直观图， ABCD所表示的实际图形是( )
• A．任意梯形 • B．直角梯形 • C．任意四边形 • D．平行四边形 • [答案] B • [解析] ∵AB∥y轴，AD∥x轴，又x，y轴互相
(hù xiāng)垂直，故AB⊥AD.又AD∥BC，故 ABCD的原图形为直角梯形．
(3)连接 A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′， 即为△ABC 的直观图．
第二十三页，共42页。
• 空间图形(kōngjiān túxíng)的直观 图
画一个底面边长为 5cm，高为 11.5cm 的正六棱 锥的直观图，比例尺为 1∶5.
• [思路(sīlù)分析] 先画水平放置的正六边形 的直观图作底面，再画出高，定出顶点．
第二十九页，共42页。
• (4)成图．顺次(shùncì)连接A′，B′，C′，D′并 加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 虚线)，就得到长方体的直观图．
第三十页，共42页。
• 由直观图还原(huán yuán)平面图
一个四边形的直观图是一个底角为 45°，腰和上 底长均为 1 的等腰梯形，求原四边形的面积．
• 偶或皮偶影射出来，配合(pèihé)音乐、唱白 来表演戏剧故事．学好本节内容你就会真正 明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人” 的原理．
第五页，共42页。
第六页，共42页。
• 1．斜二测画法的规则
• (1)在已知图形中建立直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴 4和5°y′轴，两轴交于点O水平′，(sh使uǐp∠ínxg)′平O面′y′＝ ________，它们确定的平面表示 _平_行_(_pí_ng_x_íng_)_于_x′．轴和y′轴
第二十一页，共42页。
• [解析(jiě xī)] (1)在三角形ABC中建立如图① 所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示 的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
第二十二页，共42页。
(2)在坐标系 x′O′y′中，在 x′轴上截取 O′B′＝OB， O′C′＝OC；在 y′轴上截取 O′A′，使 O′A′＝12OA.
第十八页，共42页。
(2)在 x′轴上取 O′B′＝OB，在 y′轴上取 O′D′＝12 OD，过 D′作 x′轴的平行线 l，在 l 上取点 C′使得 D′C′ ＝DC，连接 B′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，得到直角梯形的直观图 O′B′C′D′， 如图(3)所示．
(3)
第十九页，共42页。
第十二页，共42页。
• 4．根据(gēnjù)斜二测画法的规则画直观图时， 把Ox、Oy、Oz轴画成对应的O′x′、O′y′、 O′z′，使∠x′O′y′＝_________，∠x′O′z′＝ __________；
• 在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且 相等的线段，在直观图中对应的两条线段 __________．
[答案] 2 2
第十四页，共42页。
[解析] 如图所示，A′B′＝4，A′D′＝1，
且∠D′A′B′＝45°，
所以该四边形的高为
2 2.
所以该四边形的面积为 S＝4× 22＝2 2.
第十五页，共42页。
课堂典例讲练
第十六页，共42页。
• 平面(píngmiàn)图形的直观图
画水平放置的直角梯形的直观图．
(2)画底面．以点 O′为中点，在 x′轴上取线段 MN，使 MN＝4cm；在 y′轴上取线段 PQ，使 PQ＝32cm.分别过点 M 与 N 作 y′轴的平行线，分别过点 P 和点 Q 作 x′轴的平行线， 设它们的交点分别为 A，B，C，D.四边形 ABCD 就是长方体的 底面 ABCD.
(3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z′轴的平行线， 并在这些平行线上分别截取 2cm 长的线段 AA′，BB′，CC′， DD′.
• [答案] 45°(或135°) 90° 平行且相等 • [解析] 根据(gēnjù)斜二测画法的规则．
第十三页，共42页。
• 5．水平放置(fàngzhì)的矩形ABCD长为4， 宽为2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图 A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为 ______________．
• D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直
观图可能不同
第九页，共42页。
• [答案] B • [解析] 由直观图的画法知平行(píngxíng)于y
轴的线段其对应线段平行(píngxíng)于y′轴， 长度为原来的一半．
第十页，共42页。
• 2． 下列说法正确的是( )
• A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形
第三十三页，共42页。
[规律总结] (1)由直观图还原为平面图的关键是找与 x′
轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于 x′轴的线段还原时长
度不变，平行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段
长的 2 倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由直观
图中的已知量来计算原图形中的量，应依据线段的变化规律分
• [思路分析(fēnxī)] 由斜二测画法画直观图．
第十七页，共42页。
• [规范解答] (1)如图所示，在已知直角 (zhíjiǎo)梯形OBCD中以底边OB所在直线为x 轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立直 角(zhíjiǎo)坐标系；如图(1)所示，另选一个 平面画直观图，画x′轴和y′轴，使∠x′Oy′＝ 45°.
• [思路分析] 由直观图确定原来的图形的形状 及数量关系，关键要把握(bǎwò)“横坐标不变， 纵坐标减半”的原理，逆推即可．
第三十一页，共42页。
• [规范解答(jiědá)] 如图①是四边形的直观图， 取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°， 所以取B′A′所在直线为y′轴，过D′作D′E′∥A′B′， D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1.
• [规律总结] 在画水平放置的平面图形(túxíng) 的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键， 一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐 标轴上，便于画点；原图中的共线点，在直 观图中仍是共线点；原图中的平行线，在直 观图中仍是平行线．
第二十页，共42页。
• 如图所示，△ABC中BC＝8cm，BC边上 (biān shànɡ)的高AD＝6cm，试用斜二测画 法画出其直观图．
• B．两条相交直线的直观图可能是平行直线
• C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相 垂直
• D．平行四边形的直观图仍是平行四边形
• [答案(dáàn)] D
• [解析] 选项A错，水平放置的正方形的直观 图是平行四边形；选项B错，两条相交直线的 直观图是两条相交直线；选项C错，互相垂 直的两条直线的直观图夹角为45°；选项D
A． 23a2
B. 415a2
C． 26a2
D． 6a2
第三十七页，共42页。
[错解] B 原三角形 ABC 的边中平行于 x 轴的长度不变 仍为 a.另两条边的长应伸长为原来的 2 倍，即 2a.由等腰三角形 的边的关系知，底边上的高应为 2a2－a22 ＝ 215a.故△ ABC 的面积 S＝12× 215×a·a＝ 415a2.故选 B.
• [答案] 2.5 • [解析] 由于在直观图中，∠A′C′B′＝45°，
则在原图形中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC ＝4，斜边AB＝5，第故三十五页，斜共42页。边AB上的中线长为
易错疑难辨析
第三十六页，共42页。
已知△ABC 的平面直观图△A′B′C′是边长
为 a 的正三角形，那么原三角形 ABC 的面积为( )
第二十七页，共42页。
• 用斜二测画法画长、宽、高分别(fēnbié)是 4cm、3cm、2cm的长方体ABCD－A′B′C′D 的直观图．
• [解析] 画法：(1)画轴．如图所示，画x′轴、 y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ 45°，∠x′O′z′＝90°.
第二十八页，共42页。
别在两个图中计算．
(2)一般地，若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面
积为
S′，则有
S′＝
2 4S
或
S＝2
2S′.利用这一公式可由原
图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
第三十四页，共42页。
• 水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知 A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上(biān shànɡ)的 中线的实际长度为________．
第二十四页，共42页。
• [规范解答(jiědá)] 画法如图所示：
第二十五页，共42页。
• (1)画轴：画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝ 45°，∠x′O′z′＝90°.
• (2)画底面：按x′轴、y′轴画正六边形的直观图 ABCDEF，按比例尺，取边长等于5÷5＝ 1cm，并使正六边形的中心(zhōngxīn)对应于 点O′.
平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面．平行
平(p行ín(pgínxgxíínngg)性)于和长z轴度 的线段，在直观图中
_________________都不变．
• 3．画直观图的原理
平行投影
• 用斜二测画法画的平直行(观pín图gxín是g)根据
___________的原理画出的图形，图中的投
影线互相________．
第八页，共42页。
• 1．关于(guānyú)直观图画法的说法中，不正 确的是( )
• A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平 行于x′轴，其长度不变
• B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平 行于y′轴，其长度不变
• C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时， ∠x′O′y′可等于45°
• (3)画高线：在z′轴上取O′S＝11.5÷5＝ 2.3cm.
• (4)成图：连接SA，SB，SC，SD，SE，SF， 并加以整理，擦去辅助线，得到正六棱锥的
第二十六页，共42页。
• [规律总结] 画空间几何体的直观图时，一般 是先按照画平面图形直观图的方法与步骤， 画出其底面的直观图，然后再画出z轴，在z 轴上，确定该几何体的顶点或另一个底面的 直观图所需坐标系的原点，从而(cóng ér)作 出另一个底面的直观图，最后得到整个几何 体的直观图．画几何体的底面时，实际上就 是画底面这个平面图形的直观图，在本例中 如果把底面画成一个正六边形，那就错 了．成图后要去掉辅助线，辅助线包括x′轴、 y′轴、z′轴和引进的其他辅助线．
立体几何(lìtǐjǐhé)初步
第一章
第一页，共42页。
§2 直观图
第一章
第二页，共42页。
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课后强化作业
第三页，共42页。
课前自主预习
第四页，共42页。
• “一口叙说千古事，双手对舞百万兵”的皮影 戏，是深受群众喜爱的一种民间艺术，它最 早流传于鲁南、苏北、浙江、河北一带，后 来逐渐扩散到全国各地．皮影戏的表演是借 助一面影窗，利用灯光照射原理和平面映象， 将纸
• (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段保，持原在长直度 不观的变图线段中；分别画成_________原_来__的_12_________
• (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图
第七页，共42页。
• 2．立体图形的特点
• 立体图形与平面图形相比多一个z轴，其直观
图中对应于z轴的是z′轴，平面x′O′y′表示水平
第三十八页，共42页。
[辨析] 还原图形的过程，是画直观图的逆过程，它主要 包括平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为 原来的 2 倍．本题中变为 2a 的两条边并不和 y 轴平行．因而将 其变为 2a 是错误的．
第十一页，共42页。
• 3．如图所示为水平放置的平面图形的直观图， ABCD所表示的实际图形是( )
• A．任意梯形 • B．直角梯形 • C．任意四边形 • D．平行四边形 • [答案] B • [解析] ∵AB∥y轴，AD∥x轴，又x，y轴互相
(hù xiāng)垂直，故AB⊥AD.又AD∥BC，故 ABCD的原图形为直角梯形．
(3)连接 A′B′，B′C′，C′A′，得到△A′B′C′， 即为△ABC 的直观图．
第二十三页，共42页。
• 空间图形(kōngjiān túxíng)的直观 图
画一个底面边长为 5cm，高为 11.5cm 的正六棱 锥的直观图，比例尺为 1∶5.
• [思路(sīlù)分析] 先画水平放置的正六边形 的直观图作底面，再画出高，定出顶点．
第二十九页，共42页。
• (4)成图．顺次(shùncì)连接A′，B′，C′，D′并 加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为 虚线)，就得到长方体的直观图．
第三十页，共42页。
• 由直观图还原(huán yuán)平面图
一个四边形的直观图是一个底角为 45°，腰和上 底长均为 1 的等腰梯形，求原四边形的面积．
• 偶或皮偶影射出来，配合(pèihé)音乐、唱白 来表演戏剧故事．学好本节内容你就会真正 明白“两手托起千秋将，孤灯照出万古人” 的原理．
第五页，共42页。
第六页，共42页。
• 1．斜二测画法的规则
• (1)在已知图形中建立直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系xOy.画直观图时，它们分别对应x′轴 4和5°y′轴，两轴交于点O水平′，(sh使uǐp∠ínxg)′平O面′y′＝ ________，它们确定的平面表示 _平_行_(_pí_ng_x_íng_)_于_x′．轴和y′轴
第二十一页，共42页。
• [解析(jiě xī)] (1)在三角形ABC中建立如图① 所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示 的直角坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
第二十二页，共42页。
(2)在坐标系 x′O′y′中，在 x′轴上截取 O′B′＝OB， O′C′＝OC；在 y′轴上截取 O′A′，使 O′A′＝12OA.
第十八页，共42页。
(2)在 x′轴上取 O′B′＝OB，在 y′轴上取 O′D′＝12 OD，过 D′作 x′轴的平行线 l，在 l 上取点 C′使得 D′C′ ＝DC，连接 B′C′，如图(2)所示．
(3)擦去辅助线，得到直角梯形的直观图 O′B′C′D′， 如图(3)所示．
(3)
第十九页，共42页。
第十二页，共42页。
• 4．根据(gēnjù)斜二测画法的规则画直观图时， 把Ox、Oy、Oz轴画成对应的O′x′、O′y′、 O′z′，使∠x′O′y′＝_________，∠x′O′z′＝ __________；
• 在用斜二测画法作直观图时，原图中平行且 相等的线段，在直观图中对应的两条线段 __________．
[答案] 2 2
第十四页，共42页。
[解析] 如图所示，A′B′＝4，A′D′＝1，
且∠D′A′B′＝45°，
所以该四边形的高为
2 2.
所以该四边形的面积为 S＝4× 22＝2 2.
第十五页，共42页。
课堂典例讲练
第十六页，共42页。
• 平面(píngmiàn)图形的直观图
画水平放置的直角梯形的直观图．
(2)画底面．以点 O′为中点，在 x′轴上取线段 MN，使 MN＝4cm；在 y′轴上取线段 PQ，使 PQ＝32cm.分别过点 M 与 N 作 y′轴的平行线，分别过点 P 和点 Q 作 x′轴的平行线， 设它们的交点分别为 A，B，C，D.四边形 ABCD 就是长方体的 底面 ABCD.
(3)画侧棱．过 A，B，C，D 各点分别作 z′轴的平行线， 并在这些平行线上分别截取 2cm 长的线段 AA′，BB′，CC′， DD′.
• [答案] 45°(或135°) 90° 平行且相等 • [解析] 根据(gēnjù)斜二测画法的规则．
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• 5．水平放置(fàngzhì)的矩形ABCD长为4， 宽为2，以AB、AD为轴作出斜二测直观图 A′B′C′D′，则四边形A′B′C′D′的面积为 ______________．