高考数学(浙江版,理科)大一轮复习：第六章+++数+列(16

常考题型强化练——不等式
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1．“|x |<2”是“x 2－x －6<0”的什么条件
( )
A ．充分而不必要
B ．必要而不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要 答案 A
解析 不等式|x |<2的解集是(－2,2)，而不等式x 2－x －6<0的解集是(－2,3)，于是当 x ∈(－2,2)时，可得x ∈(－2，3)，反之则不成立，故选A.
2． 某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各
年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)
( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
答案 C
解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元． 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋
0.2x 2＋0.2x
2
x ，
即y ＝1＋10x ＋x
10(x ∈N *)．
由基本不等式知y ≥1＋2
10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x
10
，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
3． (2013·四川)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤8，
2y －x ≤4，
x ≥0，
y ≥0，
且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，
则a －b 的值是
( )
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16
答案 C
解析 画出可行域如图阴影部分(包括边界)易解得A (4,4)， B (8,0)，C (0,2)．对目标函数令z ＝0作出直线l 0，上下平移易知 过点A (4,4)，z 最大＝16，过点B (8,0)，z 最小＝－8，即a ＝16， b ＝－8， ∴a －b ＝24.选C.
4． 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为
( )
A.⎝⎛⎭⎫1α，1β
B.⎝⎛⎭⎫－1α，－1
β C.⎝⎛⎭⎫1β，1α
D.⎝⎛⎭⎫－1β
，－1α 答案 C
解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，则a <0，α＋β＝－b a ，αβ＝c
a ，而不等式cx 2＋bx
＋a >0可化为c a x 2＋b
a x ＋1<0，即αβx 2－(α＋β)x ＋1<0，可得(αx －1)(βx －1)<0，即⎝⎛⎭⎫x －1α⎝⎛⎭⎫x －1β<0，所以其解集是⎝⎛⎭⎫
1β，1α，故选C.
5． 若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤5，2x －y ＋3≤0，
x ＋y －1≥0，
则z ＝|x |＋2y 的最大值是 ( )
A ．10
B ．11
C ．14
D ．15
答案 C
解析 依题意，当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≤5，
2x －y ＋3≤0，
x ＋y －1≥0时，
z ＝x ＋2y 的最大值是z ＝1＋2×5＝11； 当实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x <0，
y ≤5，
2x －y ＋3≤0，
x ＋y －1≥0
时，
z ＝－x ＋2y 的最大值是z ＝－(－4)＋2×5＝14. 因此，z ＝|x |＋2y 的最大值是14，选C. 二、填空题
6． 已知x >0，y >0，且2x ＋1
y
＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__________．
答案 (－
4,2)
解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋1
y ＝1，
∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2
4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x
y
， 即4y 2＝x 2，x ＝2y 时取等号，又2x ＋1
y ＝1，此时x ＝4，y ＝2，
∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立， 只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立， 即8>m 2＋2m ，解得－4<m <2.
7． 已知点P (x ，y )在曲线y ＝1
x
上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的
最小值为_______________________． 答案 2＋ 2
解析 三角形OPM 的周长为 |x |＋1|x |
＋
x 2＋1x
2≥
2·|x |·1
|x |
＋
2·x 2·1
x
2＝2＋ 2
(当且仅当|x |＝1
|x |
时，即|x |＝1时取等号)．
8． 若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >b
x
这五个式子中，
恒成立的所有不等式的序号是________． 答案 ②④
解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，
∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5. ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．
又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2
－2＝－1，
∴a y ＝b
x ，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立． 三、解答题
9． 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3.
证明 ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加，得2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(bc ＋ca ＋ab )， ∴a 2＋b 2＋c 2≥1，
∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥1＋2＝3， 又a ，b ，c ∈(0，＋∞)，
∴a ＋b ＋c ≥3(当且仅当a ＝b ＝c 取等号)．
10．在一条直线型的工艺流水线上有3个工作台，将工艺流水线用如下图所示的数轴表示，各工作
台的坐标分别为x 1，x 2，x 3，每个工作台上有若干名工人．现要在x 1与x 3之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短． (1)若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．
解 设供应站坐标为x ，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d (x )． (1)由题设，知x 1≤x ≤x 3，
所以d (x )＝x －x 1＋|x －x 2|＋x 3－x ＝|x －x 2|－x 1＋x 3， 故当x ＝x 2时，d (x )取最小值，此时供应站的位置为x ＝x 2. (2)由题设，知x 1≤x ≤x 3，
所以d (x )＝2(x －x 1)＋|x －x 2|＋3(x 3－x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－2x ＋3x 3＋x 2－2x 1，x 1≤x <x 2，3x 3－x 2－2x 1，x 2≤x ≤x 3. 因此，函数d (x )在区间[x 1，x 2]上是减函数， 在区间[x 2，x 3]上是常数．
故供应站位置位于区间[x 2，x 3]上任意一点时，均能使函数d (x )取得最小值，且最小值为3x 3－x 2－2x 1.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
1． 某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该
商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最小值为
( )
A ．18
B ．27
C ．20
D ．16
答案 A
解析 平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2
＋10t ＋16
t
＝t ＋16
t
＋10≥18.
当且仅当t ＝16
t ，即t ＝4∈(0,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
2． 某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的卡车和农用车分别为10
辆和20辆．若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，则蔬菜收购点运完全部黄瓜支出的最低运费为
( )
A ．11 280元
B ．12 480元
C ．10 280元
D ．11 480元
答案 B
解析 设租用的卡车和农用车分别为x 辆和y 辆，
运完全部黄瓜支出的运费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤10
0≤y ≤20
8x ＋2.5y ≥100
x ∈N *y ∈N
*
，
目标函数z ＝960x ＋360y ，此不等式组表示的可行域是△ABC (其中A (10,8)，B (10,20)，C (6.25,20))内横坐标和纵坐标均为整数的点．
当直线l ：z ＝960x ＋360y 经过点A (10,8)时，运费最低， 且其最低运费z min ＝960×10＋360×8＝12 480(元)，选B. 3． 如图所示，要挖一个面积为800平方米的矩形鱼池，并在鱼池的
四周留出左右宽2米，上下宽1米的小路，则占地总面积的最小 值是________平方米． 答案 968
解析 设鱼池的长EH ＝x ，则EF ＝800
x
，
占地总面积是(x ＋4)·⎝⎛⎭⎫800x ＋2＝808＋2⎝
⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥808＋2·2
x ·1 600x
＝968.
当且仅当x ＝1 600
x
，即x ＝40时，取等号．
4． 给出下列条件：①1<a <b ；②0<a <b <1；③0<a <1<b .其中，能推出log b 1b <log a 1
b
<log a b 成立的条件
的序号是________．(填上所有可能的条件的序号) 答案 ②
解析 若1<a <b ，则1b <1
a <1<
b ，
∴log a 1b <log a 1a ＝－
1＝log b 1b
，
故条件①不成立； 若0<a <b <1，则b <1<1b <1
a ，
∴log a b >log a 1b >log a 1a ＝－1＝log b 1
b ，
故条件②成立； 若0<a <1<b ，则0<1
b <1，
∴log a 1
b >0，log a b <0，
故条件③不成立．
5． 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足f (1)＝1，f (－1)＝0，且对任意实数x 都有f (x )≥x .
(1)证明：a >0，c >0；
(2)设g (x )＝f (x )－mx (m ∈R )，求m 的取值范围，使g (x )在区间[－1,1]上是单调函数．
解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f (－1)＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋
c ＝1，
a －
b ＋
c ＝0，
∴a ＋c ＝b ＝1
2
.
∵f (x )≥x 对任意实数x 都成立， 即ax 2－1
2
x ＋c ≥0恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝14－4ac ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧
ac ≥116，
a >0，∴a >0，c >0. (2)由a ＋c ≥2ac ，得ac ≤(a ＋c 2)2＝(14)2＝116.
又ac ≥116，∴ac ＝1
16
，
从而知a ＝c ＝14，f (x )＝14x 2＋12x ＋1
4，
g (x )＝1
4[x 2＋(2－4m )x ＋1]．
要使g (x )在[－1,1]上是单调函数， 必须且只需－2－4m 2≤－1或－2－4m
2≥1，
∴m ≤0或m ≥1.。