雨花台区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

雨花台区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，0）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（0，2）
2．在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＜1的概率是（）
A．0 B．C．D．
3．设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
4．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，则f（2）+g（2）=（）
A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣8
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）
A．0°B．45°C．60°D．90°
6．函数f（x）=Asin（ωx+θ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值为（）
A．B．0 C．D．
7．在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是（）
A ．＜，乙比甲成绩稳定
B ．＜，甲比乙成绩稳定
C ．＞，甲比乙成绩稳定
D ．
＞
，乙比甲成绩稳定
8． （+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为（ ）
A ．120
B ．210
C ．252
D ．45
9． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
10．在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．下列说法中正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面
C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
12．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）
A ．3y x =
B ． 21y x =-+
C ．||1y x =+
D ．2x y -=
二、填空题
13．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 14．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}2
2sin
cos []1x x +=的实数解为6π-；
③若3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为2
3
1
22n n -；
④当0100x ≤≤时，函数{}22
()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13
x
g x x x =⋅-
-的
零点个数为n ，则100m n +=.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

15．若命题“∃x ∈R ，x 2﹣2x+m ≤0”是假命题，则m 的取值范围是 ．
16．命题“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0”的逆否命题是 （填“真命题”或“假命题”．）
17．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数是偶函数
③
是函数
的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β
其中正确命题的序号是 ．
18．已知函数32
()39f x x ax x =++-，3x =-是函数()f x 的一个极值点，则实数a = ．
三、解答题
19．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=
，g （x ）=
，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
20．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点A （1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的
距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
21．已知F1，F2分别是椭圆=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，
且|PF1|=4，PF1⊥PF2．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求点P的坐标．
22．已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3），其中0＜a＜1．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
23．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各
10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
24．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
0.005
0.02
频率组距
O
千克
雨花台区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
2．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P（x，y）满足x2+y2＜1的概率是=；
故选C．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．
3．【答案】A
【解析】解：令f（x）=x3﹣，
∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，
∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
4．【答案】B
【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，
∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．
即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．
5．【答案】C
【解析】解：连结A1D、BD、A1B，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，
∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，
∵A1D=A1B=BD，
∴∠DA1B=60°．
∴CD1与EF所成角为60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，=﹣（﹣），解得T=π，ω==2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣，
故f（x）=sin（2x﹣），
故f（）=sin（﹣）=sin=，
故选：C．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则＜，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
8．【答案】
B
【解析】 【专题】二项式定理．
【分析】由已知得到展开式的通项，得到第6项系数，根据二项展开式的系数性质得到n ，可求常数项．
【解答】解：由已知（
+
）2n （n ∈N *
）展开式中只有第6项系数为
最大，
所以展开式有11项，所以2n=10，即n=5，
又展开式的通项为=
，
令5﹣
=0解得k=6，
所以展开式的常数项为=210；
故选：B
【点评】本题考查了二项展开式的系数以及求特征项；解得本题的关键是求出n ，利用通项求特征项．
9． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 10．【答案】D
【解析】解：双曲线
（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A （，），B （，﹣），
设直线x=与x 轴交于点D ∵F 为双曲线的右焦点，∴F （C ，0）
∵△ABF 为钝角三角形，且AF=BF ，∴∠AFB ＞90°，∴∠AFD ＞45°，即DF ＜DA
∴c ﹣
＜
，b ＜a ，c 2﹣a 2＜a 2∴c 2＜2a 2，e 2
＜2，e ＜
又∵e ＞1
∴离心率的取值范围是1＜e ＜
故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a ，c 的齐次式，再解不等式．
11．【答案】D
【解析】解：对A ，当三点共线时，平面不确定，故A 错误； 对B ，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B 错误；
对C ，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C 错误； 对D ，由C 可知D 正确． 故选：D ．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：函数3y x =为奇函数，不合题意；函数21y x =-+是偶函数，但是在区间()0,+∞上单调递减，不合题意；函数2x
y -=为非奇非偶函数。

故选C 。

考点：1.函数的单调性；2.函数的奇偶性。

二、填空题
13．【答案】：2x ﹣y ﹣1=0
解：∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点， ∴圆心与点P 确定的直线斜率为=﹣，
∴弦MN 所在直线的斜率为2，
则弦MN 所在直线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0． 故答案为：2x ﹣y ﹣1=0 14．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然1[]x x x -<≤，①是真命题；对于②，由{}2
2sin
cos []1x x +=得，
{}22sin 1cos []x x =-，即{}22sin sin []x x =.当12x << 时，011x <-<，0sin(1)sin1x <-<，此时
{}22sin sin []x x =化为22sin (1)sin 1x -=，方程无解；当23x ≤< 时，021x ≤-<，0sin(2)sin1x ≤-<，此时{}2
2sin
sin []x x =化为sin(2)sin 2x -=，所以22x -=或22x π-+=，即4x =或x π=，所以原方
程无解.故②是假命题；对于③，∵3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），∴1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，3313a ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
，4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，…，31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦，33[]3n n a n n ⎡⎤
===⎢⎥⎣⎦
，所以数列{}n a 的前3n 项之和为3[12(1)]n n +++-+=231
22
n n -，故③是真命题；对于④，由
15．【答案】m＞1．
【解析】解：若命题“∃x∈R，x2﹣2x+m≤0”是假命题，则命题“∀x∈R，x2﹣2x+m＞0”是真命题，
即判别式△=4﹣4m＜0，
解得m＞1，
故答案为：m＞1
16．【答案】真命题
【解析】解：若a＞0，b＞0，则ab＞0成立，即原命题为真命题，
则命题的逆否命题也为真命题，
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据逆否命题的真假性相同是解决本题的关键．
17．【答案】②③．
【解析】解：①∵sinαcosα=sin2α∈[，]，∵＞，∴存在实数α，使错误，故①错误，
②函数=cosx是偶函数，故②正确，
③当时，=cos（2×+）=cosπ=﹣1是函数的最小值，则是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=，β=，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sinα=sinβ，即sinα＜sinβ不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
18．【答案】5
【解析】
试题分析：'2'
=++∴-=∴=．
()323,(3)0,5
f x x ax f a
考点：导数与极值．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
20．【答案】
【解析】解：（I）将（1，﹣2）代入抛物线方程y2=2px，
得4=2p，p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x，其准线方程为x=﹣1
（II）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，
由得y2+2y﹣2t=0，
∵直线l与抛物线有公共点，
∴△=4+8t≥0，解得t≥﹣
又∵直线OA与L的距离d==，求得t=±1
∵t≥﹣
∴t=1
∴符合题意的直线l存在，方程为2x+y﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，
在△PF1F2中，由勾股定理得，，
即4c2=20，解得c2=5．
∴m=9﹣5=4；
（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，，，
∵，，
∴，解得．
∴P（）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）要使函数有意义：则有，解得﹣3＜x ＜1，
所以函数f （x ）的定义域为（﹣3，1）．
（2）f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x+3）=log a （1﹣x ）（x+3）==
，
∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x+1）2
+4≤4，
∵0＜a ＜1，∴
≥log a 4，即f （x ）min =log a 4；
由log a 4=﹣4，得a ﹣4
=4，
∴a==．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．
23．【答案】（１） 7a =；（２） 3
10
P =． 【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310
P =．1 考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有
时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比
较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好． 24．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分）。