韶关市普通高中2016-2017学年高二上学期数学综合测试卷09 含答案

上学期高二数学综合测试题09
一、选择题(本题共有12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.本题每小题5分，满分60分.）
1。

ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为 （ ）
A ．2
1 B ．23
C.1 D 。

3
2．在∆ABC 中,角A 、B 、C 的大小成等差数列，则sin （A+C ）= （ )
A 。

2
1-
B 。

2
3 C.
2
3-
D 。

2
1
3。

在等差数列}{n
a 中，=+++=+10752116
1211a a a a S a
，则项和若前(
）
A 。

5
B ．6
C ．4
D ．84．对于任意实数c b a ,,，给定下列命题；其中真命题．．．
的是( ）
A ．若bc ac c b a >≠>则,0,
B ．若b a >,则2
2
bc ac >
C ．3
3,b a b a >>则若 D ．b
a b a 11,<>则若 5．等比数列{}n
a 中0n
a
>，且27101=⋅a a ，则3239log log a a +=( ）
A ．9
B ．6
C ．3
D ．2
6．两灯塔A ，B 与海洋观察站C 的距离都为10 km ， 灯塔A 在C 北偏东15°，B 在C 南偏东45°，则A ，B 之间的距离为（ )公里。

A .
3
5 B. 310 C 。

315 D.
320
7。

已知函数2
2)(x x x f -=
的定义域为A ，则不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤-∈102y x y A
x 所表示的平
面区域的面积为( )
A 。

7
B ．4
C ．3
D ．2
8．ABC ∆中,下列说法正确．．
的是（ ）
A ．
B b A a sin sin =； B ．若2
22
c b a
>+,则ABC ∆为锐角
三角形
C ．若B A >，则B A sin sin >
D ．若A C B 2
sin sin sin =+,则2
a c
b =+
9．正项等比数列}{n
a 中,n
S 为其前n 项和,若33
=S
,399=S ，则6S 为（ )
A ．21
B ．18
C ．15
D ．12
10．如图，第n 个图形是由正n +2边形“扩展”而来，(n =1，2,3,…），则第n －2个图形中共有（ ）个顶点。

A ．n 2+n
B ．n 2+n -2
C ．n 2+2n
D ．n 3+n
11．已知各项均不为零的数列{}n
a ,定义向量1(,)n
n n a a +=c
，(,1)n n n =+b ，*n N ∈.
下列命题中为真命题的是 ( )
A ．若*
n N ∀∈总有//n
n c
b 成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*n N ∀∈总有//n
n c
b 成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*
n N ∀∈总有n
n ⊥c
b 成立，则数列{}n a 是等差数列
D ．若*
n N ∀∈总有n
n ⊥c
b 成立，则数列{}n a 是等比数列
12．已知二次函数()2
22
)2()(b a x a b x
x f ++--+=的图像关于y 轴对称，则此函
数的图象与y 轴交点的纵坐标的最大值为（ ）
A ．1 B
C ．2
D ．4
二、填空题（本题共有4小题．每题填对得4分，否则一律是零分．本题满分16分.）
13．在△ABC 中，若=
++=A c bc b a
则,222
_________。

14．函数)1(log 2
x x y += 的最小值为_____________。

15．已知不等式0
322
<--x x
的整数解由小到大构成数列{n
a ｝前三项，
若数列{}2
2a n
a
+的前n 项和为n
S ,则n
S =
16。

已知数列{}n
a 共有m 项，定义{}n
a 的所有项和为()1S ，第二项及以
后所有项和为()2S ,第三项及以后所有项和为()3S …，第n 项及以后所有项和为()S n ,若()S n 是首项为2，公比为12
的等比数列的前n
项和,则当m n <时，n
a =
三、解答题（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分） 已知2
0x
px q ++<的解集为11
{}23
x x -<<，若2()1f x qx px =++
（1)求不等式()0f x >的解集. (2)若()6
a f x <恒成立，求a 的取值范围
18．（本小题满分12分) 已知c
b a a
c b
S ABC ,,),(4
1222
其中的面积-+=∆分别为角C B A ,,所对的边，
（1)求角A 的大小； （2)若bc a 求,2=的最大值。

19。

(本小题满分12分）
在等比数列}{n
a 中，*)
(0N n a
n
∈>，公比1>q ，
100
2534231=++a a a a a a ， 且
4是2
a 与4
a 的等比中项，⑴求数列}{n
a 的通项公式; ⑵设n
n n
a a
b 22
log +=，
求数列}{n
b 的前n 项和n
S ,
20．(本题满分12分)
在海岸A 处，发现北偏东45°方向,距离A 处（3-1）海里的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A 处2 海里的C 处的缉私船奉命以103 海里/小时的速度追截走私船。

此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
21．（本小题满分12分)
已知函数4
4
)(++=x x x f （x ≥0)，数列{}n
a 满足：a 1=1，)
(1
n n a f a
=+，
（∈n N *）,数列1
b ，1
2
b b
-，2
3
b b
-,…,1
--n n
b b
是首项为1，公比为3
1的等比数列．
（1)求证：数列{}n
a 为等差数列； （2）若n
n n
b a c
⋅=，求数列{}n
c 的
前n 项和n
S ．
22．（本小题满分14分)
定义:若对定义域D 内的任意两个()21
2
1
,x x
x x ≠，均有()()2
121x x x f x f -≤-成立,则称函数()x f y =是D 上的“平缓函数”。

(1) x
x x h -=2)(是否为R 上的“平缓函数”,并说明理由;
(2)试证明对R k ∈∀,1)(2
++=kx x x f 都不是区间)1 , 1(-上的平缓函数；
(3
）
若数列
}
{n x 中
，*
n N ∀∈总有
4
1
:,sin ,)12(1112
1<
-=+≤-++y y x y n x x n n n 求证为“平缓函数”若。

参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
答案
B
B
C
C
C
B
B
C D A A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
∴-
2
1，
3
1是方程x 2+px+q=0的两实数
根， ………2分
由根与系数的关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-⨯-=-q p )21(3
121
31,∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-==6161q p , (4)
分
()0f x >∴不等式
qx 2+px+1＞0可化为-016
1
6
12
>++
x x ，
即x 2-x —6＜0，∴—2＜x ＜3,
∴不等式qx 2+px+1＞0的解集为｛x ｜-2＜x ＜3｝. ………6分
接的
254
a >
(12)
分
18。

解：(1）
4,1tan ,cos 2sin )(41
sin 21222222π=
==-+=-+=•=
A A A bc a c b A a c b A bc S 从而有，则有依题意，………6分
(2）由（1)22
2
)42(42)(42222-=-≥-+=bc bc a c b bc ………9分
∴2242)2
2
1(+≤⇒≤-
bc bc ，即224+的最大值为bc ………12分
19。

解:（1）设等比数列{}n
a 的公比为q ，则11n n
a
a q -=，由已知得
⎩⎨⎧====∴>=+-∴===+>=+=++8
2,8,2101610164,10,0,100)(23
114224224242242534231q a q a a a q x x a a a a a a a a a a a a a a a n 即的两根，为方程、，又则又 ……………… 4分
解得1
1
2
a
q =⎧⎨
=⎩ 12n n
a
-∴=。

…………………………… 7分
（2）由(1）知，2
12log 4(1)n n
n n b
a a n -=+=+-
21(1444)(1231)
(1)
41 32
n n n T n n n -∴=+++
+++++
+---=+
…………………………… 12分
20．解: 若要最快追上走私船则两船所用时间相等，假设在D 处相遇
设缉私船用t h 在D 处追上走私船,则有CD=103
t ，
BD=10t 。

………2分
在△ABC 中，∵AB=3—1，AC=2，∠BAC=120°，
∴由余弦定理，
得BC 2=AB 2+AC 2—2AB·AC·cos∠BAC
=（3-1)2+22—2×（3—1）×2×cos120°=6， ………5分
∴∠BCD=30°.
即缉私船北偏东60°方向能最快追上走私船。

………12分 21．解：（Ⅰ)∵ )(x f 2
)2(+=x （x ≥0)，
∴)(1
n n a f a
=+2
)2(+=n a ，即
2
1=-+n n a a （∈n N ＊）．
∴数列{
}n
a 是以
11=a 为首项，公差为
2的等差数列．………4分
（Ⅱ)由（Ⅰ）得:12)1(21-=-+=n n a n ，即2)12(-=n a
n
(∈
n N ＊)．………5分
b 1=1,当n ≥2时，1
1
31--⎪⎭
⎫
⎝⎛=-n n n
b b
,∴)()()(123121--++-+-+=n n n
b b b b b b b b
1
2
3131311-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
n 31123因而⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
n n
b
31123，∈n N *．………7分
n n n b a c ⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅-=n n 31123)12(,
则=
n
T
3
11
4
3
2
3
123
323
53
33
1+-+
-+
++
+
n n
n n ②………9分
①-②，得 =n T 32
132312)313131(231+--++++n n n 113
12)311(3131+----+=n n n ………10分
∴
n
n n T 3
1
1+-=．又2)12(531n n =-++++ ．………11分
∴)3
11(232n n
n n S
++-=
．………12分
22解：（1)取1
x =3、1
2
=x
则|
|4|)()(|2121
x x x
h x h ->=-，因此x
x
x h -=2
)(不是R 上的
“平缓函数” ……3分 （2）1
x ∀、)
1 , 1(2
-∈x
，|
||||)()(|2121
2
1
x x k x x
x f x f -⨯++=-……4分.
若0≥k ，则当1
x 、)1 , 2
1
(2
∈x
时,1
21
>++k x x
……5分，
从而|
||)()(|2121
x x x
f x f ->-……7分；
若0<k ，则当1
x 、)2
1
, 1(2
--∈x
时,121
-<++k x x
，1||21>++k x x (4)
分，从而
|
||)()(|2121x x x f x f ->-，所以对任意常数k ，1
)(2
++=kx x
x f 都不是区间)1 , 1(-上
的平缓函数……9分．
（3）因为y=sinx 是R 上的“平缓函数”,
所以)1
11(41441)12(122
111
+-=
+<
+≤
-≤-++n n n
n n x x y y
n n n ……12分
)]
2
1
1()111()111[(41121111-++--++-<-++-+-=--++ n n n n y y y y y y y y n n n n n 则 因此，
4
1
)111(4111<+-<
-+n y y n ……14分。