2012年湖北省高考数学试卷文科教师版

2012年湖北省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|xx|0＜x＜5，x1．（5分）（2012?湖北）已知集合A{∈N }，则满足条件A?C?B的集合C的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先求出集合A，B由A?C?B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求
【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，
∵A?C?B，
∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选：D．
则样本数据落在区间[10，40]的频率为（）
A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65
【分析】先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．
【解答】解：由频率分布表知：
样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9，
故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45．
故选：B．
3．（5分）（2012?湖北）函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5
【分析】考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间[0，2π]上y=cos2x的零点有4个．函数y=x的零点有0，故在区间[0，2π]上y=xcos2x 的零点有5个．
【解答】解：∵y=cos2x在[0，2π]上有4个零点分别为，，，
函数y=x的零点有0
∴函数f（x）=xcos2x在区间[0，2π]上有5个零点．分别为0，，，，
故选：D．
4．（5分）（2012?湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
【分析】根据特称命题“?x∈A，p（A）”的否定是“?x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．
【解答】解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题
而特称命题的否定是全称命题，
则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数
故选：B．
22≤y+y）|x1P（1，）的直线，将圆形区域{（x，分）5．（5（2012?湖北）过点4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）
A．x+y﹣2=0B．y﹣1=0C．x﹣y=0D．x+3y﹣4=0
=2α，【分析】法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积
要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小，可求．
法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．由此能求出直线的方程．【解答】解法一：设过点P（1，1）的直线与圆分别交于点A，B，且圆被AB所分的两部分的面积分别为S，S且S≤S2121所对的圆心角∠AOB=α，劣弧﹣S=2α﹣则S，AOBAOB△△
S=4π﹣2α+S（0＜α≤π）AOB2△∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP⊥AB时，α最小
此时K=﹣1，直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣1）即x+y﹣2=0AB故选A
解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．
又已知点P（1，1），则K=1，OP故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），
由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即．x+y﹣2=0
故选：
A．
）的图象如图（x，2）上的函数y=f0分）6．（5（2012?湖北）已知定义在区间（））的图象为（（y=﹣f2﹣x所示，则
．A．B
．DC．
，）2﹣x，进而可求y=﹣f（，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x）【分析】由（0根据一次函数的性质，结合选项可可判断
＜，=x）【解答】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（＜，＜
x﹣x）=2时，当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2f（2﹣
=1﹣x）x当1≤2﹣＜2即0＜x≤1时，f（2
＜，，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项2=﹣x）∴y=﹣f（＜，＜
正确B
．故选：B
，如果）+分）7．（5（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的函数f （x保等{对于任意给定的等比数列a}，{f（）为x“}仍是等比数列，则称f（a）
nn）f+∞）上的如下函数：①（x0比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（，x2保等比数列函|x）=lnx|．则其中是“x；②f（x）=2；③f（）=；④f（=x ）（x）的序为（的数”f
．②④C．①③DBA．①②．③④
，一一加以判断，即可【分析】根据新定义，结合等比数列性质
得到结论．
，【解答】解：由等比数列性质知
2，故正确；（a①）=f1n+2，故不正确；a=f②）（≠1n+2=，故正确；③a）=f（1n+2，故不正确；a（）≠|||a=ln）|（）af④（falna=f 122nnnnn+++．故选：C
8．（5分）（2012?湖北）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC 为（）
D．6：5：4A．4：3：2B．5：6：7C．5：4：3
，再，由余弦定理可得cosA=﹣1、a﹣2 【分析】由题意可得三边即a、a
，a=6由此解得，从而可得=，可得由3b=20acosA，cosA=
，求得结果．c：sinC=a：b：可得三边长，根据sinA：sinB
，可设三C＞B＞c 【解答】解：由于a，b，三边的长为连续的三个正整数，且A．a﹣2边长分别为a、a﹣1、
，=由余弦定理可得cosA==
．又3b=20acosA，可得cosA==．4，，故三边分别为65，故有=，解得a=6
由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（a﹣2）=6：5：4，故选：D．
”“b，c，∈R，则“abc=1”是，（9．5分）（2012?湖北）设a +
的（）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
由abc=1，推出【分析】，代入不等式的左边，证明不等式成立．利用
特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果．
=，则解：因为【解答】abc=1，所以
．cba=≤++
，1abc=6显然成立，但是≠时，b=2a=3当，c=1，
”的充分条件但“是所以设a，b，c，∈R，则“abc=1”
+
不是必要条件．
故选：A．
10．（5分）（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
．DA．C．B．
2OC，把下面的阴影部分平均分成了【分析】求出阴影部分的面积即可，连接部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积．AOB的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形
，OAB的面积为【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形
部分，然后利用位移割补的方法，分2OC，把下面的阴影部分平均分成了连接，﹣别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：
．∴此点取自阴影部分的概率是
．故选：C
分．请将答案填在答题卡对5分，共357二、填空题：本大题共小题，每小题应题的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
现人．42女运动员人，56一支田径运动队有男运动员湖北）2012?（分）5（．11．用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有6人．
【分析】设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．
【解答】解：设抽到女运动员的人数为n则
=
解得n=6
故答案为：6
=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=（12．（5分）2012?湖北）若．3
，知，故bi=a=【分析】由=+
，所以．b，由此能求出a+=【解答】解：=
，=
，∵=a+bi，∴∴，
，，b=3解得a=0
∴a+b=3．
故答案为：3．
，则）（1，1）=（1，0，=2012?（13．5分）（湖北）已知向量
，；同向的单位向量的坐标表示为2（Ⅰ）与+（）．﹣（Ⅱ）向量3与向量夹角的余弦值为
，同向的单位向量+进而可求+，|2+|，而与2【分析】（I）由已知可求2
再利用坐标表示即可
，代入|，||，，）设（II﹣3与向量夹角θ，由已知可求可求向量的夹角公式cosθ=
）1（1，0【解答】解：（I）∵=（1，），=
||2=+11+（，1）=（3，），=∴2+（2，0）
，同向的单位向量的坐标表示=+∴与2
θ夹角3与向量（II）设﹣
，1）0），=（1，∵=（1，
，，，，∴
，|=1=||=﹣2∴，|
cosθ===则
；，故答案为：
满足约束条件y5分）（2012?湖北）若变量x，．则目标函数14（z=2x+3y的最小值是2．
，y=先作出不等式组表示的平面区域，由于z=2x+3y，则可得【分析】
则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小，结合图形可求z的最小值
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
，则表示直线2x+3y﹣z=0y=，+z=2x，+：作直线L2x3y=0由于3y则可得
在y轴上的截距，当z最小时，截距最小
结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小
由可得B（1，0），此时Z=2
2故答案为：
湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（2012?（5分）．15．为12π
利用三视图3个圆柱体组成的几何体，由题意三视图可知，【分析】几何体是有的数据，求出几何体的体积即可．
的圆柱与一个底1解：由题意可知几何体是有两个底面半径为【解答】2，高为的圆柱组成的几何体，4面半径为1，高为
22．×4=12π112V=2所以几何体的条件为×π×+π
．故答案为：12π
16．（5分）（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．
时退出循环，的值，得到n=3S【分析】用列举法，通过循环过程直接得出与n 即可．
，，a=5次判断后循环，n=2，s=4【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1
次判断退出循环，，第3s=9，a=7第2次判断并循环n=3，
．S=9输出
．9故答案为：
湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面2012?5分）（17．（画
点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
整除的三角形数按从小到，将可被5{…记为数列a}3将三角形数1，，6，10，n，可以推测：b}大的顺序组成一个新数列{n项；中的第5030是数列（Ⅰ）b{a}n2012
表示）k．（用=（Ⅱ）b12k﹣
，由此递推式可以得出数列）1=a+a【分析】（Ⅰ）由题设条件及图可得出n（+nn1+ {a}的通项为，a=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，nn 28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b在数列{a}中的n2012位置；
（II）由（I）中的结论即可得出b═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=．12k﹣
【解答】解：（I）由题设条件可以归纳出a=a+（n+1），故a=（a﹣a）+（a nn1nn1nn ﹣+﹣a）+…+（a﹣a）+a=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）12n112﹣﹣
由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…
由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，
由于b是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{a}按五个一段分组的n2012第1006组的最后一个数，由此知，b是数列{a}中的第1006×5=5030个n2012数故答案为5030
（II）由于2k﹣1是奇数，由（I）知，第2k﹣1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{a}中的第k×5﹣1=5k﹣1项，所以b═（5k﹣1）12kn﹣（5k﹣1+1）=
故答案为
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22ωx+λcos（x）=sinωx+2sinωx?cosωx﹣x2012?（18．12分）（湖北）设函数f（
∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
，，求函数f（）的图象经过点（）若（2y=fx x）的值域．
【分析】（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin （ωx+φ）+k型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
22ωx+λsinωx?cosωxx）=sin﹣ωx+2cosf【解答】解：（
sin2ωx﹣=cos2ωx+λ
=2sin（2ωx﹣）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
令k=1时，ω=符合要求
∴函数f（x）的最小正周期为=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××﹣）+λ=0
λ=﹣∴
﹣）﹣=2sin（x∴f（x）
]，2[﹣2﹣﹣故函数f（x）的取值范围为
19．（12分）（2012?湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD﹣ABCD，其上1111是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣ABCD．2222（1）证明：直线BD⊥平面ACCA；2121（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，AB=20，AA=30，AA=131211（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
，由线面垂直的判定定理可证直D⊥B⊥BD，AA【分析】（1）依题意易证AC11121；A⊥平面ACC线BD2121，四SD的表面积（除去下底面的面积）﹣ABC（2）需计算上面四棱柱ABCD12222即可．的表面积（除去下底面的面积）SDBC﹣ABCD棱台A21111的侧面是全等的矩形，CDABCD﹣AB【解答】解：（1）∵四棱柱2222，∩AD=AAD，又AB，∴AA⊥ABAA⊥22，．连接BDAA⊥平面ABCD∴2，平面ABCD∵BD?
是正方形，ABCD，又底面AA⊥BD∴2共面，DBD与B∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，11∩平DBBDD∩平面ABCD=BD，平面D又平面ABCD∥平面ABCD，且平面BB11111111，DD=B面ABC111111，DB，AC⊥BD，可得AA⊥BDDBD∥∴BDBD，于是由AA⊥，AC⊥BD，B∥1111111212，AC=A又AA∩2；AD⊥平面ACC∴B2112的底面是正方形，侧面是全等的矩形，CBD）∵四棱柱ABCD﹣A（22222S=S+∴S1四棱柱侧面四棱柱下底面4AB?AA+=223010×=10×+4
2）cm=1300（
上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，﹣ABCDDB又∵四棱台AC1111S+=SS ∴2四棱台侧面四棱柱下底面．
+4×（AB+=AB）?h11等腰梯形的高
2?10+20）=20+4×（
2）cm，=1120（
2）cm，+1120=2420（于是该实心零部件的表面积S=S+S=130021故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．
20．（13分）（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n （1）求等差数列{a}的通项公式；n（2）若a，a，a成等比数列，求数列{|a|}的前n项和．n123，【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，解方程可求a，d，进而可求通项1（II）由（I）的通项可求满足条件a，a，a成等比的通项为a=3n﹣7，则|a|=|3n n321n，，，根据等差数列的求和公式可求=7|﹣，
【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a=a+d，a=a+2d1312由题意可得，
或解得
由等差数列的通项公式可得，a=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a=﹣4+3（n﹣1）=3n nn ﹣7
（II）当a=﹣3n+5时，a，a，a分别为﹣1，﹣4，2不成等比1n32当a=3n﹣7时，a，a，a分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件12n3，，=3n﹣7|a 故||=|n，
设数列{|a|}的前n项和为S nn当n=1时，S=4，当n=2时，S=521当n≥3时，
S=|a|+|a|+…+|a|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）n1n2
=5+=，当n=2时，满足此式
，综上可得，
22=1上的任意一点，l是过点AA是单位圆x与+yx21．（14分）（2012?湖北）设轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；
（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（I）设M（x，y），A（x，y），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之00根的方程；在圆上运动即得所求曲线Cy|，利用点A间的关系x=x，|y|=|00
，分类讨论，可确定焦点坐标；+∞）1）∪（1，据m∈（0，
，0），N（y），则Q（﹣x，﹣y，x?∈（0，1），设P（x，y）H（x，（Ⅱ）1112112，从而可得可得上，可得H两点在椭圆Cy），利用P，1
．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得
结论．
【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x，y）00∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x，|y|=m|y|00①y||=|，∴x=x|y00
②∵点A在圆上运动，∴
，＞的方程为①代入②即得所求曲线C
∵m∈（0，1）∪（1，+∞），
，）（，轴上的椭圆，曲线m∴0＜＜1时，C是焦点在x两焦点坐标分别为，
，），（两焦点坐标分别为轴上的椭圆，y是焦点在C曲线时，1＞m
，
（Ⅱ）如图2、3，?x∈（0，1），设P（x，y），H（x，y），则Q（﹣x，﹣112121y），N（0，y），11上，∴P，H两点在椭圆C∵
③①﹣②可得，∴k=k∵Q，N，H三点共线，∴QHQN
=?kk∴PHPQ
1k?k=﹣∵PQ⊥PH，∴PHPQ∴
0，∴∵m＞
上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH，故存在使得在其对应的椭圆
n为正整数，，n＞0）﹣x）+b（=ax分）22．（14（2012?湖北）设函数f（x）x（1y=1+））处的切线方程为x1，f（1）在（a，b为常数，曲线y=f（x
的值；ba，（Ⅰ）求
）的最大值；xf（（Ⅱ）求函数
．）＜（Ⅲ）证明：f（x
，故可y=1）处的切线方程为x+1）在（，f（1）y=f【分析】（Ⅰ）由题意曲线（x 根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；1nn﹣，利用导数）+（）（，可求x1=xxf（Ⅱ）由于（）（﹣）f′x=n1xx（﹣）
研究函数的单调性，即可求出函数的最大值；
n）1﹣f=）（）（欲证（fx）＜（．由于函数fx）的最大值（（Ⅲ）结合（Ⅱ），，对此不等式=，故此不等式证明问题可转化为证明＜
两边求以e为底的对数发现，可构造函数φ（t）=lnt﹣1+，借助函数的最值
辅助证明不等式．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0．
n1n﹣，所以f′（1）x=﹣a．﹣a（n+1）x因为f′（）=anx
又因为切线x+y=1的斜率为﹣1，所以﹣a=﹣1，即a=1，故a=1，b=0．
1nn﹣﹣x）（）=（n+1）x，=x（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）（1﹣x），则有f′（x
x=，解得）=0令f′（x在（0，）上，导数为正，故函数f（x）是增函数；在（，+∞）上导数
为负，故函数f（x）是减函数；
n，）（1﹣）==fx）在（0，+∞）上的最大值为（f）（故函数（
（Ⅲ）令φ（t）=lnt﹣1+，则φ′（t）=﹣=（t＞0）
在（0，1）上，φ′（t）＜0，故φ（t）单调减；在（1，+∞），φ′（t）＞0，
故φ（t）单调增；
故φ（t）在（0，+∞）上的最小值为φ（1）=0，所以φ（t）＞0（t＞1）
则lnt＞1﹣，（t＞1），
n1+令t=1+，得ln（1+）＞，即ln（1+）＞lne
1n+＜，即＞所以（1+）e
，）≤＜xf由（Ⅱ）知，（
故所证不等式成立．。