高考理科数学二轮周测卷(8)离散型随机变量、古典几何概型(含答案)

衡水万卷周测（八）理科数学
失散型随机变量、古典几何概型
考试时间： 120 分钟
姓名： __________班级： __________考号： __________
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求
的）
1.（ 2015湖北高考真题）在区间[0, 1] 上随机取两个数x, y ，记p1为事件“x y 1
”的概率， p2为事件“ | x y | 1 ”22
的概率，p3为事件“ xy
1 ”的概率，则（）
2
A ． p1p2p3B． p2p3p1C． p3p1p2D． p3p2p1
2.（ 2015?陕西一模）周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预预计做对第一道题的概率为0.80，做对两道
题的概率为0.60，则预预计做对第二道题的概率为（）
A ． 0.80
B ． 0.75
C ． 0.60
D ． 0.48
3.某次数学摸底考试共有10 道选择题，每道题四个选项中有且只有一个选项是正确的；张三同学每道题都任意地从中
选了一个答案，记该同学起码答对9 道题的概率为P，则以下数据中与P 的值最靠近的是
A. 3 104
B. 310 5
C. 3 106
D.3 107
4.甲乙两人一同去游“世博会”，他们商定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行旅行，每个景点观光 1 小时，则
最后一小时他们同在一个景点的概率是
A ．1151
B ．
9
C．D．
36366
经查数，落在正方形中的豆子的总数为 N
5.一次实验：向以下图所示的正方形中随机撒一大把豆子，
粒，此中 m(m＜ N ) 粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此预计圆周率为8.一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行，某时辰此蚂蚁距三角形三个项点的距离均超出
A. 1
3
B.13
C.
3
D.3
12241224
9.某五所大学进行自主招生，同时向一所要点中学的五位学习成绩优异，并在某些方面有专
知单 .若这五名学生都愿意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所校各选一所不一样大学）的概率是（）
1249648
A. B. C. D.
5125125125
10.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外面
汤圆，则每种汤圆都起码取到 1 个的概率为（）
A.
8
B.
25
C.
48
D.
60
91919191
11.某机械加工部件由两道工序构成，第一道的废品率为a，第二道的废品率为b，假
那么产品的合格率为（）
A. ab a b 1
B. 1 a b
C.1ab
D. 1 2ab
12.先后投掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，
则 log 2X Y ＝ 1 的概率为 ().
A.
1
B.
5
C.
1
D.
1
636122
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共20 分）
13.（ 2015 福建高考真题）如图，点A的坐标为1,0 ，点 C的坐标为 2,4，函
m2m3m 4 m
A. B. C. D.
N N N N
1 / 10
2 / 10
6.在 15 个乡村中有
7 个乡村交通不方便，现从中任意选
入被录取的概率为
_
10 个乡村，用 X 表示这 10 个乡村中交通不方便的乡村数，下
a
4
6
列概率中等于
C 7
C 8
10的是()
C 15
A ． P(X ＝2)
B ． P(X ≤ 2)
C ． P(X ＝ 4)
D ．P(X ≤ 4)
7.已知甲盒中仅有
1 个球且为红球，乙盒中有
m 个红球和 n 个篮球 m 3,n
3 ，从乙盒中随机抽取
i i 1,2 个球放
入甲盒中 .（ a ）放入 i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 i
i 1,2
（ b ）放入 i 个球后，从甲盒中取
1 个球是红球的概率记为
p i i
1,2
A. p 1 p 2 , E 1E 2
B. p 1 p 2 , E
1
E
3 / 10
16.某射手射击所得环数
的散布列以下：
；
7
8 9 10
.则
P
x
0.1 0.3
y
已知
的希望 E( )=8.9，则 y 的值为。

2
三、解答题（本大题共6 小题，第一题10 分，剩下五题12 分，共 70 分）
C. p 1
p 2 , E 1 E 2
D. p 1
p 2 , E
1
E
2
17.（ 2015?陕西一模）有一种密码，明文是由三个字母构成，密码是由明文的这是哪个灯谜对应的五个数字构成，编码
21.随机将1,2,,2 n n N , n 2 这2n个连续正整数分红
规则以下表，明文由表中每一排取一个字母构成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第
三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按同样序次摆列构成；（如：明文取的是三个字母为AFP ，
则与他对应的五个数字（密码）就为11223．） B 组最小数为b1，最大数为b2，记a2 a1 ,
（ 1）当n
（ 2）令 C 表示事件
（ 3）对（ 2）中的事件
4 / 10
5 / 10
（Ⅰ）假定明文是
BGN ，求这个明文对应的密码；
（Ⅱ）设随机变量 ξ表示密码中不一样数字的个数， ①求 P （ ξ=2）；
②求 ξ的概率散布列和它的数学希望．
18.某种商品本来每件售价为
25 元，年销售 8 万件．
(1) 据市场检查，若价钱每提升 1 元，销售量将相应减少
2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定
价最多为多少元？
(2) 为了扩大该商品的影响力，提升年销售量．企业决定明年对该商品进行全面技术改革和营销策略改革，并提升
22. 乒乓球台面被球网分红甲、乙两部分
.如图，甲上有两个不订交的地区
A, B ，乙
某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球 .规定：回球一次，落点在
状况记 0 分。

对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为
1
，
2
的来球， 小明回球的落点在
C 上的概率为 1
，在 D 上的概率为
3
.假定共有两次来
5
5
两次回球互不影响 .求：
（ I ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（ II ）两次回球结束后，小明得分之和的散布列与数学希望 .
1
2
万元作为技改花费， 投入 50 万元作为固定宣传花费， 投入
1
订价到 x 元．企业拟投入 (x － 600)
x 万元作为浮动宣传
6
5 花费． 试问： 当该商品明年的销售量 a 起码应达到多少万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总收入之 和？并求出此时商品的每件订价．
D
A
19.（ 12 分） (2011 皖·南八校联考 )某电视台为了宣传安徽沿 江城市经济兴起的状况，特举办了一期有奖知识问答
活动，
活动对 18～ 48 岁的人群随机抽取 n 人回答以下问题 “沿江城市带包含哪几个城市 ”，统计数据结果以下表：
组数 分组 回答正确的人数
占本组的频次
第 1 组 [18,28) 240 x 第 2 组 [28,38) 300 0.6 第 3 组
[38,48]
a
0.4
(1) 分别 求出 n ， a ， x 的值；
(2) 若以表中的频次近似看作各年纪组正确回答以下问题的概率， 规定年纪在 [38,48] 内回答正确的得奖金 200 元，年纪在
[18,28) 内回答正确的得奖金
100 元．主持人随机请一家庭的两个成员 (父亲 46 岁，孩子 21 岁 )回答以下问题，求该家庭 获取奖金 ξ的散布列及数学希望 (两个回答以下问题正确与否互相独立
)．
20.甲乙两人进行围棋竞赛，商定先连胜两局者直接博得竞赛，若赛完
5 局仍未出现连胜，则判断获胜局数多者博得比
赛，假定每局甲获胜的概率为
2
，乙获胜的概率为
1
，各局竞赛结果互相独立。

3
3
（Ⅰ）求甲在 4 局之内（含 4 局）博得竞赛的概率；
（Ⅱ）记 为竞赛决出输赢时的总局数，求
的散布列和均值（数学希望）。

C
B
6 / 10
0.衡水万卷周测（八）答案分析
一、选择题
1.【答案】 B
【分析】试题剖析：因为
x ， y [0 ，1], 对事件“ x-y
1
”如图（ 1）暗影部分 s 1
1
”，如图（ 2）暗影部分 s 2 ，
2
对事件“ x
y
1
2
对事件“ xy
”,如图（ 3）暗影部分 s 3 ，
2
由图知，暗影部分的面积从下到大挨次是 s 2 < s 3 < s 1 ,正方形的面积为 1 1=1，
依据几何概型公式可得
p 2 p 3 p 1 .
（1）
（2）
（ 3）
考点：几何概型 .
2.【考点】：
互相独立事件的概率乘法公式．
【专题】： 概率与统计． 【剖析】： 设事件 A i （ i=1 ， 2）表示 “做对第 i 道题 ”， A 1， A 2 互相独立，由已知条件联合互相独立事件的概率乘
法公式得 P （A 1A 2） =P （ A 1）P （ A 2） =0.8P （A 2） =0.6，由此能求出做对第二道题的概率．
【分析】：
解：设事件 A i （i=1 ， 2）表示 “做对第 i 道题 ”， A 1，A 2 互相独立，
由已知得 P （A 1） =0.8， P （ A 1A 2） =0.6，
∴ P （A 1A 2 ）=P （ A 1） P （A 2） =0.8P （ A 2）=0.6， 解得 P （ A 2）= =0.75 ．
应选： B ．
【评论】： 此题考察概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意互相独立事件概率乘法公式的合理运用．
3.【答案】 B
分析：由题意知此题是一个独立重复试验，试验发生的次数是
10，选题正确的概率是
1
，该同学起码
4
答对 9 道题包含答对 9 道题或答对 10 道题，
1 9
1 10
依据独立重复试验的公式获取该同学起码答对
9 道题的概率为
P C
9
3 C 10
3 ﹣5
．
4
4
4 10
10
10
应选 B
【思路点拨】由题意知此题是一个独立重复试验，试验发生的次数是
10，选题正确的概率是
1
，该同学起码答对
4
9 道题包含答对 9 道题或答对 10 道题，依据独立重复试验的公式获取概率．
4.D
5.【答案】 D
【分析】设圆的半径为
1．则正方形的边长为
2，依据几何概型的概率公式能够获取
【思路点拨】依据几何概型的概率公式，即能够进行预计，获取结论．
6.C
7.A 8.B 9.D 10.C
11.A
12.C
二、填空题
5 13.【答案】
12
【分析】
7
5
2
2
试题剖析：由已知得暗影部分面积为
4
x dx
4
．所以此点取自暗影
1
3
3
考点：几何概型．
14.【答案】
5
分析：某单位从 4 名应聘者甲、乙、丙、丁中招聘
2 人，
6
∵这 4 名应聘者被录取的时机均等，∴甲、乙两人都不被录取的概率为
1
2
=
C 4
∴甲、乙两人中起码有
1 人被录取的概率
p = 1-
1 5 5
= ；故答案为：.
6 6
6
【思路点拨】先利用摆列组织知识求出甲、乙两人都不被录取的概率，再用间接法求出甲录取的概率．
4
15.、
9
x 0.1 0.3 y 1
,即
x y 0.6
,由此解得 y=0.4
16.分析 :0.4 依题意得 0.8 2.7 10 y
7x 10y 5.4
7x 8.9
三、解答题
17.【考点】： 失散型随机变量的希望与方差；进行简单的合情推理．
【专题】： 概率与统计．
【剖析】： （Ⅰ）由明文是 BGN ，且 B 对应的数字是 12， G 对应的数字是 23
BGN 对应的密码．
（Ⅱ）① ξ=2表示密码中只有两个不一样的数字， 进而只好
数字作密码， 由此能求出 P （ ξ=2）
②由已知得 ξ的可能取值为 2， 3，分别求出 P （ ξ=2）， P （ ξ=3），由此能求出
【分析】： 解：（Ⅰ）∵明文是 BGN ，且 B 对应的数字是
12，G 对应的数字是
∴明文 BGN 对应的密码是
12232．
（Ⅱ）①∵ξ=2，∴密码中只有两个不一样的数字，
7 / 10
8 / 10
注意到密码的第一、二列只有数字
1， 2，
故只好取表格的第一、二列中的数字作密码，
∴ P （ξ=2） = = ．
②由已知得 ξ的可能取值为 2， 3，
P （ ξ =2） = = ，
P （ ξ =3） =1﹣ = ，
∴ ξ的散布列为：
ξ 2 3
P
E ξ=
= ．
【评论】： 此题考察概率的求法， 考察失散型随机变量的散布列和数学希望的求法， 是中档题， 解题时要仔细审题，
在历年高考取都是必考题型之一．
t －25
18.；解： (1)设每件订价为 t 元，依题意得 8－ 1 ×0.2 t ≥ 25×8，整理得 tt ＋ 1 000 ≤0，
解得 25≤t ≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件订价最多为
40 元．
1 1
(2) 依题意知当 x ＞ 25 时，
不等式 ax ≥ 25×8＋50＋ 6(x)＋ 5x 有解，
150 1 1
等价于 x ＞ 25 时， a ≥
x ＋ x ＋
有解．
6
5
因为
150 1 150 1 150 x
，即 x ＝30 时等号建立，所以 a ≥10.2.
x
＋ x ≥ 2
x × x ＝10，当且仅当
＝ 6
6
6
x
当该商品明年的销售量
a 起码达到 10.2 万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商
品的每件订价为
30 元.
19. (1) 由频次表中第 2 组数据可知，第 2 组总人数为
300
＝ 500，再联合频次散布直方图可知
0.6
500
n ＝0.05 ×10＝1000 ，所以 a ＝ 1000×0.02 ×10×0.4＝ 80，
240
x ＝
1000 ×0.03 ×10＝ 0.8.
(2) 由题意知 ξ可能的取值为 0,100,200,300，父亲回答正确的概率为 0.4，孩子回答正确的概率为 0.8，且 P( ξ＝ 0)＝
0.6 ×0.2＝ 0.12，P(ξ＝ 100)＝ 0.6 ×0.8＝0.48， P( ξ＝ 200)＝ 0.4 ×0.2＝ 0.08， P(ξ＝ 300)＝ 0.4 ×0.8＝0.32，
所以该家庭获取奖金 ξ的散布列为
ξ
0 100 200 300 P
0.12
0.48
0.08
0.32
故 E ξ＝ 0×0.12＋ 100×0.48＋ 200×0.08＋ 300×0.32＝160.
20.分析：用 A 表示“甲在
4 局之内（含 4 局）博得竞赛” ， A k 表示“第 k 局甲获胜”， B k 表示“第 k 局乙获胜” ，则
P( A k )
2 P(B k )
1
1,2,3,4,5
,
, k
3
3
（Ⅰ） P( A) P( A 1A 2) P(B 1 A 2 A 3 ) P( A 1B 2 A 3 A 4 )
P( A 1 )P( A 2 ) P( B 1) P( A 2) P( A 3) P( A 1) P(B 2 ( A 3) P( A 4)
2 2 1 2 2 2 1 2 2 56
3 3
3 3
3
3 3
3 3
81
（Ⅱ） X 的可能取值为 2,3,4,5
P( X 2) P( A 1 A 2)
P(B 1B 2 ) P( A 1 )P( A 2 ) P(B 1)P(B 2 )
5
9
P( X
3) P(B 1 A 2A 3) P(A 1B 2 B 3 ) P(B 1 )P( A 2 )P(A 3) P(A 1)P(B 2 )P(B 3 )
P( X 4) P( A 1 B 2 A 3A 4)
P(B 1 A 2B 3B 4 ) P( A 1 )P(B 2 )P(A 3)P(A 4 ) P(B 1)P( A 2 )P(B
P(X 5) 1P X(
2P)X(
P3)X (
8
4 )
故 X 的散布列为
81
X 2
3
4 5
P
5
2 10 8
9
9
81
81
∴
EX 5
2
10
5
8
224
2
3
4
81
81
9 9 81
21. 1
3 时， 全部可能值为 2,3,4,5. 将 6 个正整数均匀分红 A,B 两组，不一
（ ）当 n
的散布列为
2
3
4
5
P
1
3 3 1
5
10
10
5
E
1 3 4
3 1 7
2
3
10
5
.
5 10
5
2
（ 2） 和
恰巧相等的全部可能值为 n 1, n, n 1,
,2n 2. 又 和 恰巧相等且等于 n 1时，不一样的分组方法
有
2 种；
和 恰巧相等且等于 n 时，不一样的分组方法有 2 种；
和
恰巧相等且等于 n
k(k 1,2, ,n 2),( n 3) 时，不一样的分组方法
有
2 C 2k
所以当 n
2 时， P(C)
4 2
6
3
n
2
2(2
C k
)
当 n
3时
P(C)
k
1
2 k
C 2n n
（ 3）由（ 2）当 n
2 时， P(C)
1 P(C ),
, 所以 P(C)
3
而当 n 3时， P(C) P(C ), 原因以下：
9 / 10
n 2
P( C)
P(C ), 等价于 4(2
C 2k k ) C 2n n ①
k 1
用数学概括法来证明：
1 当 n 3时， ① 式左侧
4(2
C 21) 16, ①式右侧
C 63 20, 所以 ① 式建立
m 2
2 假定 n
m(m
3) 时 ① 式建立，即 4(2
C 2k k )
C 2m m 建立
k 1
m 1 2
m 2
那么，当 n m
1 时， ① 式左侧
4(2
k
4(2
k
m 1 m 4C m 1
C 2 k )
C 2 k )
4C
2m 2
C
2m
2m 2
k 1
k 1
(2 m)!
4 (2m 2)!
(m 1)2 (2 m)(2 m 2)!(4 m 1)
m! m! ( m 1)!(m 1)! (m 1)!( m 1)!
(m 1)2 (2 m)(2 m 2)!(4 m)
m 1 2( m 1)m
m 1
( m 1)!(m 1)!
C
2m 2
1)C
2 m 2
=① 式右侧
(2 m 1)(2m
即当 n m 1 时 ① 式也建立
综合 1 2
得，关于
n 3 的全部正整数，都有 P(C)
P(C) 建立
22.解：（ I ）设恰有一次的落点在乙上这一事件为
A
P( A)
（ II ） 的可能取值为 0，1，2，3，4，6
P(
0) 1 1
1
,P( 1) 1 1
1 3 1
6 5 30 3 5 6 5 6 P(
2)
1 3 1 , P(
3)
1 1
1 1
2
3 5 5 2 5
6 5
15
P(
4) 1 3 1 1
11
,P( 6)
1 1 1
2 5 3
5 30
2 5 10
的散布列为
1
2
3
4
6
P
1 1 1
2 11 1
30
6
5
15
30
10
其数学希望为 E( ) 0
1 1
1
2
1
3
2 4 11
6
1 91 30
6 5
15
30
10 30
10 / 10。