吉林省吉林市第一中学校1415学年度高二9月月考——数学(理)数学(理)

吉林省吉林市第一中学校
2014—2015学年度上学期9月月考
高二数学理试题
第I卷（选择题）
本试卷第一部分共有24 道试题。

一、选择题( 共24 题,共96 分)
1、如果函数y=(a 2 -4) x 在定义域内是减函数,则a的取值范围是( )
a.|a|＞2
b.|a|＞
c.|a|＜
d.2＜|a|＜
2、春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
a.10天
b.15天
c.19天
d.20天
3、若定义在(-1,0)上的函数f(x)=log 2a (x+1)满足f(x)＞0,则a的取值范围是( )
a.(0,)
b.(0,)
c.(,+∞)
d.(0,+∞)
4、已知函数f(x)=则f［f()］的值是( )
a.9
b.
c.-9
d.-
5、已知m=0.9 5.1 ,n=5.1 0.9 ,p=log 0.9 5.1,则这三个数的大小关系是( )
a.m＜n＜p
b.m＜p＜n
c.p＜m＜n
d.p＜n＜m
6、已知函数f(x)=log 2 (x 2 -ax+3a)在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( )
a.(-∞,4)
b.(-4,4)
c.(-∞,-4)∪［2,+∞］
d.［-4,4)
7、农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元,其他收入为1 350元),预计该地区自2004年起的2年内,农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元,根据以上数据,2005年该地区农民人均收入介于( )
a.3 200元～3 400元
b.3 400元～3 600元
c.3 600元～3 800元
d.3 800元～4 000元
8、若函数f(x)=log a x(0＜a＜1)在区间［a,2a］上的最大值是最小值的3倍,则a等于( )
a. b. c. d.
9、函数y=lg的图象大致是( )
10、若函数f(x)= 则f(log 4 3)等于( )
a. b .3 c . d.4
11、已知m=0.9 5.1 ，n= 5.1 0.9 ，p=log 0.9 5.1，则这三个数的大小关系是( )
a.m＜n＜p
b.m＜p＜n
c.p＜m＜n
d.p＜n＜m
12、设n= ，则n的值属于下列区间中的( )
a.（-2，-1）
b.（1，2）
c.（-3，-2）
d.（2，3）
13、如图所示，在河岸ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是()．
a．c ，α ，γ b．c ，b ，α
c．c ，a ，β d．b ，α ，γ
14、从a 处望b 处的仰角为α ，从b 处望a 处的俯角为β ，则α ，β 的关系是()．a．α ＞β b．α ＝β
c．α + β ＝90° d．α + β ＝180°
15、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为()．
a．m b．m
c．m d．m
16、如图，已知两座灯塔a 和b 与海洋观测站c 的距离都等于a km，灯塔a 在观测站c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为()．
a．a km b．km c．km d．2 a km
17、在△abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边b ∶a 等于()．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
18、在△abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠c 为()．
a．60°b．45°c．120°d．30°
19、在△abc 中，已知a ＝4，b ＝6，∠c ＝120°，则sin a 的值为()．
a．b．c．d．
20、△abc 的三个内角∠a ，∠b ，∠c 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin a sin b + b cos 2 a ＝，则＝()．
a．b．c．d．
21、根据下列条件，确定△abc 有两解的是()．
a．a ＝18，b ＝20，∠a ＝120°
b．a ＝60，c ＝48，∠b ＝60°
c．a ＝3，b ＝6，∠a ＝30°
d．a ＝14，b ＝16，∠a ＝45°
22、在△abc 中，∠a ∶∠b ∶∠c ＝1∶2∶3，那么三边之比a ∶b ∶c 等于()．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶∶2 d．2∶∶1
23、在△abc 中，a ＝2，∠a ＝30°，∠c ＝45°，则s △abc ＝()．
a．b．c．d．
24、在△abc 中，∠a ，∠b ，∠c 的对边分别是a ，b ，c ．若a 2 － b 2 ＝，sin c ＝sin
b ，则∠a ＝()．
a．30°b．60°c．120°d．150°
第II卷（非选择题）
试卷第二部分共有20 道试题。

二、填空题( 共8 题,共28 分)
1、
将, ,由大到小排列为__________.
2、lg5lg8 000+3lg 2 2+lg0.06-lg6=__________.
3、函数f(x)=log a (a＞0且a≠1),f(2)=3,则f(-2)的值为_________.
4、已知函数f(x)=a x +a -x (a＞0且a≠1),f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值为___________.
5、如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在OB 位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α 角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm，AP ＝125 cm，若OA ⊥AP ，则x 等于__________(精确到0.1 cm)．
6、一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B 处，望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．
7、在△ABC 中，，，，则b ＝________.
8、在平行四边形ABCD 中，，，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.
三、解答题( 共12 题,共115 分)
1、已知+ =3,求a 2 +a -2 的值.
2、要使函数y=1+2 x +4 x ·a在(-∞,1)上y＞0恒成立,求a的取值范围.
3、已知f(x)=x(+).
(1)判断函数的奇偶性;
(2)证明f(x)＞0.
4、某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t),
(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域;
(2)画出y=f(t)(0≤t＜6)的图象;
(3)写出研究进行到n小时(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)
5、设f(x)=,若0＜a＜1,试求:
(1)f(a)+f(1-a)的值;
(2) f（）+f（）+f（）+…+f（）的值..
6、已知函数f（x）=-x+.
（1）试判断函数f（x）在定义域上的单调性并用单调性定义证明；
（2）若函数f（x）的反函数为f -1 （x），解方程f -1 （-1+log 2 x）=-1.
7、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m，BC ＝120 m，于 A 处测得水深AD ＝80 m，于 B 处测得水深BE ＝200 m，于C 处测得水深CF ＝110 m，求∠DEF 的余弦值．
8、如图，A ，B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9海里/时的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．
9、为了测定不能到达底部的铁塔的高PO ，可以有哪些方法？
10、在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，∠B ＝60°，求c 及S △ABC ．
11、在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求B ．
12、在△ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠A －∠B )＝( a 2 －b 2 )sin(∠A +∠B )，试判断△ABC 的形状．
答案解析部分(共有44 道题的解析及答案)
一、选择题
1、思路解析: ∵0＜a 2 -4＜1,∴4＜a 2 ＜.∴2＜|a|＜.
答案: D
2、思路解析: 荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2 x ,
当x=20时,长满水面,所以生长19天时,布满水面一半.故选C.
答案: C
3、思路解析: 本题考查对数函数的基本性质.
当x∈(-1,0)时,有x+1∈(0,1),此时要满足f(x)＞0,只要0＜2a＜1即可.
由此解得0＜a＜.
答案: A
4、思路解析: f()=log 3 =-2,f(-2)=3 -2 =.
答案: B
5、思路解析: 本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.
由指数函数的性质,∵0＜0.9＜1,5.1＞1,
∴0＜0.9 5.1 ＜1,即0＜m＜1.
又∵5.1＞1,0.9＞0,
∴5.1 0.9 ＞1,即n＞1.
由对数函数的性质,∵0＜0.9＜1,5.1＞1,
∴log 0 . 9 5.1＜0,即p＜0.
综合可得p＜m＜n.
答案: C
6、思路解析: 解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数. 令u(x)=x 2 -ax+3a,其对称轴x=.
由题意有解得-4＜a≤4.
答案: B
7、思路解析: 本题考查指数函数的应用.
设2005年该地区农民人均收入为y元,
则y=1 800×(1+6%) 2 +1 350+160×2≈3 686(元).
答案: C
8、思路解析: 本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在［a,2a］上的最大值与最小值. f(x)=log a x(0＜a＜1)在(0,+∞)上是减函数,
当x∈［a,2a］时,f(x) max =f(a)=1,f(x) min =f(2a)=log a 2a.
根据题意,3log a 2a=1,即log a 2a=,所以log a 2+1=,即log a 2=-.
故由=2得a=.
答案: A
9、思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成函数的图象，所以可取特殊点（2，0），（，1）.②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数.
答案：A
10、思路解析：∵log 4 3∈［0,1］,∴f(x)=4log 4 3=3.
答案：B
11、思路解析：本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴0＜0.9 5.1 ＜1，即0＜m＜1.又∵5.1＞1，0.9＞0，∴ 5.1 0.9 ＞1，即n＞1.由对数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5.1＞1，∴log 0.9 5.1＜0，即p＜0.综合可得p ＜m＜n.
答案：C
12、思路解析：n= + = =log 3 10.
∵log 3 9＜log 3 10＜log 3 27,
∴n∈(2,3).
答案：D
13、D
解析：本题中的 c ， a ，β不好直接测量．
15、B
解析：如图所示，则AE ＝DE ＝AB ＝20 m，
∴CE ＝AE tan 60°＝m，
∴CD ＝CE + ED ＝m.
16、B
17、B
18、A
19、A
解析：由余弦定理可求得，再由正弦定理得.
20、D
21、D
解析：，又 b ＞ a ，∴∠B 有两解．故△ABC 有两解．
22、C
解析：易知∠A ＝，∠B ＝，∠C ＝，
∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶∶2.
23、C
解析：由得，∠B ＝105°，
S △ABC ＝ac sin B ＝.
24、A
解析：利用正弦定理，sin C ＝sin B 可化为．
∴，
即 a 2 ＝7 b 2 ，．
在△ABC 中，，∴∠A ＝30°.
二、填空题
1、
思路解析: 本题考查指数函数与幂函数的综合运用.
注意到＜0,而＞0,＞0;
又因为=,且y=在［0,+∞）上是增函数,所以＜.
综合得＞＞.
答案:＞＞.
2、解析: 原式=lg5(3+3lg2)+3lg 2 2+lg =3(1-lg2)(1+lg2)+3lg 2 2-2=3-2=1.
答案: 1
3、解析: ∵f(-x)=log a =-log a =-f(x),
∴函数为奇函数.∴f(-2)=-f(2)=-3.
答案: -3
4、解析: f(0)=a 0 +a 0 =2,f(1)=a+a -1 =3,f(2)=a 2 +a -2 =(a+a -1 ) 2 -2=9-2=7.
∴f(0)+f(1)+f(2)=12.
答案: 12
5、22.5 cm
解析：x ＝PQ ＝OA + AP －OP ＝25+125－≈22.5(cm)．
6、海里
解析：如图，
在△ABP 中，AB ＝4，∠BAP ＝60°，∠ABP ＝45°，
∴∠APB ＝75°.由正弦定理得．
又在△ABQ 中，∠ABQ ＝45°+45°＝90°，∠PAB ＝60°，∴AQ ＝2 AB ＝8，于是PQ
＝AQ －AP ＝，
∴两灯塔间距离为海里．
7、
＝ab sin C ＝，即，∴.
解析：∵，∴，S
△ABC
8、
解析：BC 2 ＝AB 2 + AC 2 －2 AB ·AC ·cos∠BAC ＝48，
∴，∴.
三、解答题
1、解:本题考查指数的运算.
从已知条件中解出a的值,再代入求值的方法不可取,应该设法从整体寻求结果与条件+ =3的联系进而整体代入求值.
将+ =3两边平方得a 1 +a -1 +2=9,
即a 1 +a -1 =7.再将其平方,
有a 2 +a -2 +2=49,从而得到a 2 +a -2 =47.
2、思路分析:把1+2 x +4 x ·a＞0在(-∞,1)上恒成立问题,分离参数后等价转化为a＞-() x -() x 在(-∞,1)上恒成立,而-() x -() x 为增函数,其最大值为-,可得a＞-.
解:由1+2 x +4 x ·a＞0在x∈(-∞,1)上恒成立,即a＞- =-() x -() x 在(-∞,1)上恒成立. 又g(x)=-() x -() x 在(-∞,1)上的值域为(-∞,-),∴a＞-.
评述:(1)分离参数构造函数问题是数学中解决问题的通性通法.
(2)恒成立问题可化归为研究函数的最大(或最小)值问题.
3、(1)解:函数的定义域为{x|x≠0}.
f(-x)=-x·=-x·=x·=f(x).
∴函数为偶函数.
(2)证明:由函数解析式,当x＞0时,f(x)＞0.
又f(x)是偶函数,当x＜0时,-x＞0.
∴当x＜0时,f(x)=f(-x)＞0,即对于x≠0的任何实数x,均有f(x)＞0.
评述:本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性,并利用函数的奇偶性证明不等式.
4、解:(1)y=f(t)定义域为t∈［0,+∞),
值域为{y|y=2 n ,n∈N * }.
(2)0≤t＜6时,为一分段函数y=
图象如图2-1.
图2-1
(3)n为偶数时,y=;n为奇数时,y=.∴y=
5、解:（1）f（a）+f（1-a）= + = + = +
= + = =1.
（2）f（）+f（）+f（）+…+f（）
=［f（）+f（）］+［f（）+f（）］+…+［f（）+f（）］=500×1=500.
6、解：（1）令＞0，解得函数f（x）的定义域为{x|-2＜x＜1}.
令-2＜x 1 ＜x 2 ＜1，则f（x 1 ）-f（x 2 ）=-x 1 +x 2 + - =（x 2 -x 1 ）+.
∵-2＜x 1 ＜x 2 ＜1，
∴x 2 -x 1 ＞0，＞1，＞1.
∴·＞1.
∴log 2 （·）＞0.
∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0.
∴f（x）为定义域上的减函数.
（2）由f -1 （-1+log 2 x）=-1，f（-1）=-1+log 2 x，即1+log 2 2=-1+log 2 x，解得x=8. 经检验，x=8为原方程的解.
7、解：如图，作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .
(m)，
(m)，
(m)．
在△DEF 中，由余弦定理的变形形式，得
cos∠DEF ＝
.
8、解：设行驶t h后，甲船行驶了9 t 海里到达C 处，乙船行驶了6 t 海里到达D 处．
①当9 t ＜21，即时， C 在线段AB 上，
此时BC ＝21－9 t .
在△BCD 中，BC ＝21－9 t ，BD ＝6 t ，
∠CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD 2 ＝BC 2 + BD 2 －2 BC ·BD ·cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )·6 t ·＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.
∴当t ＝2时，CD 取得最小值.
②当时，C 与 B 重合，
则.
③当时，BC ＝9 t －21，
则CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2·(9 t －21)·6 t ·cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.
综上可知，当t ＝2时，CD 取最小值.
答：行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为海里．
9、解：方法一：在地面上引一条基线AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB 的长，用经纬仪测出角β ，γ 和 A 对塔顶P 的仰角α 的大小，则可求出铁塔PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ABO 中，由正弦定理得
，
在Rt△PAO 中，PO ＝AO ·tan α ，
∴.
方法二：在地面上引一条基线AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且AB 延长后不过点O .测出AB 的长、张角∠AOB (设为θ )及 A ，B 对塔顶P 的仰角α ，β ，则可求出铁塔PO 的高，计算方法如下：
如图所示，在Rt△POA 中，AO ＝PO ·cot α ，
在Rt△POB 中，BO ＝PO ·cot β ，
在△AOB 中，由余弦定理得OA 2 + OB 2 －2 OA ·OB ·cos θ ＝AB 2 ，
∴.
方法三：在地面上引一条基线AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ，B ，O 三点在一条直线上，测出AB 的长和A ，B 对塔顶P 的仰角α ，β ，则可求出铁塔PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△PAB 中，由正弦定理得
，
在Rt△PAO 中，PO ＝PA ·sin α ，
∴.
10、解：由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8×c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴c ＝3或5.
当 c ＝3时，；
当 c ＝5时，.
11、解：由余弦定理得a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴b ＝2 c ·cos A +2.由正弦定理得，又由已知得，∴b ＝4 c ·cos A ，由可得 b ＝4. 12、解：由已知有a 2 sin(∠A －∠B )+ b 2 sin(∠A －∠B )＝a 2 sin(∠A +∠B )－b 2 sin(∠A +∠B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴a 2 cos A sin B －b 2 sin A cos B ＝0.
由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，
即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠A ＝2∠B 或2∠A +2∠B ＝π，
∴∠A ＝∠B 或∠A +∠B ＝.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。