七年级数学下册 第4章 相交线与平行线 4.5 垂线课件 湘教下册数学课件
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第三十八页，共四十六页。
解:(1)因为(yīn wèi)∠COE1 = ∠BOD,
5
所以设∠COE=x,则∠BOD=5x, 因为OD⊥OE,所以∠DOE=90°, 所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-90°, 因为OC⊥AB,所以∠BOC=90°,
第三十九页，共四十六页。
所以(suǒyǐ)∠COE+∠BOE=90°, 所以x+5x-90°=90°,解得x=30°, 所以∠COE=30°, 所以∠BOD=5x=150°, 所以∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°.
学号
第十九页，共四十六页。
★★3.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.
世纪金榜导学号
(1) ∠AOC等于∠BOD吗?请说明(shuōmíng)理由. (2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.
第二十页，共四十六页。
解:(1)∠AOC=∠BOD.理由如下(rúxià): 因为OA⊥OB,OC⊥OD, 所以∠AOB=∠COD=90°, 所以∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 即∠AOC=∠BOD.
第二十八页，共四十六页。
【题组训练】
1.(2019·建邺区期末)若直线l外一点P与直线l上四点
的连线段长分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,则点P到直
线l的距离(jùlí)最接近
A(
)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第二十九页，共四十六页。
★2.如图所示,能表示点到直线(zhíxiàn)(线段)的距离的线段
线垂直
D.垂线段最短
第三十二页，共四十六页。
★★4.如图所示,建筑工人用“铅垂线”可检查所砌的墙面
是否与水平线垂直,你知道其中(qízhōng)道理吗?
世纪金
榜导学号
第三十三页，共四十六页。
解:铅垂线总是垂直于水平面,建筑工人用铅垂线看所砌墙面是 否与铅垂线重合来判断(pànduàn)所砌墙面是否与水平线垂直.
第十页，共四十六页。
2.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数(dù 是 shu) ( A ) A.35° B.45° C.55° D.65°
第十一页，共四十六页。
3.体育课上,老师(lǎoshī)测量跳远成绩的依据是 ( C ) A.两直线间的距离 B.两点之间,线段最短 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线
第二十三页，共四十六页。
第二十四页，共四十六页。
【思路点拨】根据点到直线的距离(jùlí)定义和垂线段最短分 析得出结论.
第二十五页，共四十六页。
【自主解答】因为在直角三角形POM中,PM>PO, 所以这两种方案沿PO修路(xiū lù)更经济些, 它不是最佳方案,过点P作PN⊥OB于点N, 因为OP>PN,PN是点P到OB上的最短路线, 所以此方案是最佳方案.
第三十四页，共四十六页。
【火眼金睛】 如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5 cm,BC=3 cm,则BD长度(chángdù) 的取值范围是 ( )
第三十五页，共四十六页。
A.大于3 cm B.小于5 cm C.大于3 cm或小于5 cm D.大于3 cm且小于5 cm
第三十六页，共四十六页。
第十六页，共四十六页。
【学霸提醒】
垂直的两层意义
(1)位置关系(guān xì):垂直是两直线相交的特殊位置关系. (2)数量关系:垂直说明某些角的度数是90°,为计算角的度数 提供了数量关系.
第十七页，共四十六页。
【题组训练】
1.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角(zhíjiǎo);②两条
第二十一页，共四十六页。
(2)因为(yīn wèi)OA⊥OB, 所以∠AOB=90°, 所以∠AOE=90°-∠BOD=58°.
第二十二页，共四十六页。
知识点二 垂线的性质及其应用(P100做一做T2拓展) 【典例2】如图,AOB为一条在O处拐弯的河,要修一条从村庄P 通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是 沿PO修路.如果不考虑其他因素(yīn sù),这两种方案哪一个经济一 些?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳的方案, 并简要说明理由.
12/9/2021
第四十六页，共四十六页。
( C) A.2条
B.3条
C.4条 D.5条
第三十页，共四十六页。
★3.如图所示,已知ON⊥L,OM⊥L,所以OM与ON重合,其
理由是(
)C
A.过两点有且只有一条直线
B.过一点(yī diǎn)只能作一条直线
第三十一页，共四十六页。
C.在同一平面内,经过(jīngguò)一点有且只有一条直线与已知直
第三页，共四十六页。
2.两条重要结论
(1)在同一平面内,如图,a⊥m,b⊥m,
所以 ∠1=∠2=_______9_0_°(垂直的定义), 所以____a_∥__b__(同位角相等,两直线(zhíxiàn)平行). 归纳:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线
_________. 平行(píngxíng)
4.如图,设PO⊥AB于O,线段PO叫做点P到
直线AB的____垂___线段.PA,PB,PC,PD叫做_______线斜段.
从直线外一点到这条直线的垂线段的_________长叫度做(c点hángdù)
到直线的距离(jùlí).
垂线的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段
中,___________最短.简单说成:___________最短.
第二十六页，共四十六页。
【学பைடு நூலகம்提醒】
认识垂线及其性质的四点注意
(1)线段和射线都有垂线. (2)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是 一个图形(túxíng),对此要分清楚.
第二十七页，共四十六页。
(3)在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实 际问题转化成数学问题,再作出垂线,并求出具体数值(shùzí). (4)要分清“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.
第十二页，共四十六页。
知识点一 垂线(chuíxiàn)的概念及角的计算(P97例1拓展) 【典例1】如图,直线AB,CD相交于 点O,OM⊥AB. (1) 若∠1=∠2,求∠NOD的度数. (2) 若∠1= ∠BO1 C,求∠AOC和∠MOD的度数.
4
第十三页，共四十六页。
【尝试解答】(1) 因为(yīn wèi)OM⊥AB,∠1=∠2, 所以∠1+____∠__A_O__C_=∠2+_______∠__A_O=C_________, 90° 即∠CON=90°,………………垂直定义 所以ON⊥CD………………垂直定义 所以∠NOD=______9_0_°_………………垂直定义
第四十二页，共四十六页。
解:(1) 因为(yīn wèi)OF⊥CD, 所以∠COF=90°, 又因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠AOC=∠BOD=52°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-52°=38°.
第四十三页，共四十六页。
(2)相等.理由: ∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以(suǒyǐ)∠AOC=∠BOD=52°, 因为OE是∠AOC的平分线, 所以∠AOE= ∠1 AOC=26°, 又因为OG⊥OE2,
第二页，共四十六页。
【新知预习】阅读(yuèdú)教材P96-P100,解决以下问题:
1.垂直的定义
如图,直线AB和CD相交于点O,∠AOC=90°,
则这两条直线叫做_____互__相__(_hù__xi_ān,g记)垂做直_______A__B_⊥_,CD 其中一条直线叫做另一条直线的______垂__线_,(它chu们íxi的àn)交 点叫____垂___足__.
No 一条.。(1)位置关系:垂直是两直线相交的特殊位置关系.。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个。如果不是,请你帮助(bāngzhù)设计出最佳的方案,并简要说明
理由.。【自主解答】因为在直角三角形POM中,PM>PO,。所以此方案是最佳方案.。(4)要分清“两点
之间线段最短”和“垂线段最短”.
Image
第四十页，共四十六页。
(2)因为OF平分(píngfēn)∠BOE, 所以∠BOF= ∠1 BOE.
2
因为∠BOE=90°-∠COE=60°, 所以∠BOF=30°, 所以∠AOF=180°-∠BOF=150°.
第四十一页，共四十六页。
【母题变式】 如图,直线AB与CD相交于O,OE是∠AOC的平分线,OF⊥CD, OG⊥OE, ∠BOD=52°, (1)求∠AOF的度数. (2)∠EOF与∠BOG是否(shìfǒu)相等?请说明理由.
直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么
下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确
的有 (
A.0个
) D
B.1个
C.2个
D.3个
第十八页，共四十六页。
★2.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O, ∠EOD=50°,则∠BOC的度数(dù shu)为____1_4_0_°___.世纪金榜导
【正解】选D.由垂线(chuíxiàn)段最短可知:AB>BD>BC, 所以BD大于3 cm,小于5 cm.
第三十七页，共四十六页。
【一题多变】 如图,已知直线AB上一点(yī diǎn)O,OC⊥AB,OD⊥OE, 若∠COE= ∠1 BOD.
5
(1)求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数. (2)若OF平分∠BOE,求∠AOF的度数.
第四页，共四十六页。
(2)如图,在同一(tóngyī)平面内,如果a∥b,m⊥a,
第五页，共四十六页。
因为m⊥a,所以 ∠1=_______9_0_°, 因为a∥b,所以_______∠_1_=_∠_2_, 所以∠2=______9_0_°_,所以_______b_⊥_.m 归纳:在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行(píngxíng) 线中的一条,那么这条直线_______垂__于直另(ch一uízh条í) .
第十四页，共四十六页。
(2) 因为OM⊥AB,∠1= ∠BO1 C,
4
所以(suǒyǐ)∠1=_3_0_°______,∠BOC=___1_2_0_°____, ………………角度的计算 又因为∠AOC+∠BOC=_____1_8_0_°__, …………………………邻补角定义
第十五页，共四十六页。
所以∠AOC=______6_0_°_, …………角度的计算 因为(yīn wèi)∠1+∠MOD=180°,…………邻补角定义 所以∠MOD=_____1_5_0_°__.…………角度的计算
第六页，共四十六页。
3.已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线只能 画___一____条;经过直线L外一点B画直线L的垂线也只能 画____一___条. 垂线的基本事实(shìshí):在同一平面内,过一点___有__且__只__有__(_zh_ǐ_yǒu)一 条直线与已知直线垂直.
第七页，共四十六页。
第四十四页，共四十六页。
所以(suǒyǐ)∠EOG=90°, 所以∠BOG=180°-∠AOE-∠EOG=64°. 而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°, 所以∠EOF=∠BOG.
第四十五页，共四十六页。
内容(nèiróng)总结
4.5 垂 线。所以∠2=_________,所以_________.。线中的一条,那么这条直线_________于另
垂线(chuíxiàn)段
垂线段
第八页，共四十六页。
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.在同一平面(píngmiàn)内,下列语句正确的是
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
B.和一条直线垂直的直线有两条
( C)
第九页，共四十六页。
C.过一点有且只有一条(yī tiáo)直线与已知直线垂直 D.两直线相交,则一定垂直
4.5 垂 线
第一页，共四十六页。
【知识再现】 1.直角等于90°;一个平角(píngjiǎo)等于__2____个直角. 2.经过直线外一点有且______只__有__(z_hǐ_y_ǒu直)一线条平行于这条 直线. 3.连接两点间的线段的长度叫做这两点间的_________. 距离(jùlí)
解:(1)因为(yīn wèi)∠COE1 = ∠BOD,
5
所以设∠COE=x,则∠BOD=5x, 因为OD⊥OE,所以∠DOE=90°, 所以∠BOE=∠BOD-∠DOE=5x-90°, 因为OC⊥AB,所以∠BOC=90°,
第三十九页，共四十六页。
所以(suǒyǐ)∠COE+∠BOE=90°, 所以x+5x-90°=90°,解得x=30°, 所以∠COE=30°, 所以∠BOD=5x=150°, 所以∠AOE=∠AOC+∠COE=90°+30°=120°.
学号
第十九页，共四十六页。
★★3.如图,OA⊥OB,OC⊥OD,OE是OD的反向延长线.
世纪金榜导学号
(1) ∠AOC等于∠BOD吗?请说明(shuōmíng)理由. (2)若∠BOD=32°,求∠AOE的度数.
第二十页，共四十六页。
解:(1)∠AOC=∠BOD.理由如下(rúxià): 因为OA⊥OB,OC⊥OD, 所以∠AOB=∠COD=90°, 所以∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC, 即∠AOC=∠BOD.
第二十八页，共四十六页。
【题组训练】
1.(2019·建邺区期末)若直线l外一点P与直线l上四点
的连线段长分别为1 cm,2 cm,3 cm,4 cm,则点P到直
线l的距离(jùlí)最接近
A(
)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
第二十九页，共四十六页。
★2.如图所示,能表示点到直线(zhíxiàn)(线段)的距离的线段
线垂直
D.垂线段最短
第三十二页，共四十六页。
★★4.如图所示,建筑工人用“铅垂线”可检查所砌的墙面
是否与水平线垂直,你知道其中(qízhōng)道理吗?
世纪金
榜导学号
第三十三页，共四十六页。
解:铅垂线总是垂直于水平面,建筑工人用铅垂线看所砌墙面是 否与铅垂线重合来判断(pànduàn)所砌墙面是否与水平线垂直.
第十页，共四十六页。
2.如图,OA⊥OB,若∠1=55°,则∠2的度数(dù 是 shu) ( A ) A.35° B.45° C.55° D.65°
第十一页，共四十六页。
3.体育课上,老师(lǎoshī)测量跳远成绩的依据是 ( C ) A.两直线间的距离 B.两点之间,线段最短 C.垂线段最短 D.两点确定一条直线
第二十三页，共四十六页。
第二十四页，共四十六页。
【思路点拨】根据点到直线的距离(jùlí)定义和垂线段最短分 析得出结论.
第二十五页，共四十六页。
【自主解答】因为在直角三角形POM中,PM>PO, 所以这两种方案沿PO修路(xiū lù)更经济些, 它不是最佳方案,过点P作PN⊥OB于点N, 因为OP>PN,PN是点P到OB上的最短路线, 所以此方案是最佳方案.
第三十四页，共四十六页。
【火眼金睛】 如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=5 cm,BC=3 cm,则BD长度(chángdù) 的取值范围是 ( )
第三十五页，共四十六页。
A.大于3 cm B.小于5 cm C.大于3 cm或小于5 cm D.大于3 cm且小于5 cm
第三十六页，共四十六页。
第十六页，共四十六页。
【学霸提醒】
垂直的两层意义
(1)位置关系(guān xì):垂直是两直线相交的特殊位置关系. (2)数量关系:垂直说明某些角的度数是90°,为计算角的度数 提供了数量关系.
第十七页，共四十六页。
【题组训练】
1.已知在同一平面内:①两条直线相交成直角(zhíjiǎo);②两条
第二十一页，共四十六页。
(2)因为(yīn wèi)OA⊥OB, 所以∠AOB=90°, 所以∠AOE=90°-∠BOD=58°.
第二十二页，共四十六页。
知识点二 垂线的性质及其应用(P100做一做T2拓展) 【典例2】如图,AOB为一条在O处拐弯的河,要修一条从村庄P 通向这条河的道路,现在有两种设计方案:一是沿PM修路,二是 沿PO修路.如果不考虑其他因素(yīn sù),这两种方案哪一个经济一 些?它是不是最佳方案?如果不是,请你帮助设计出最佳的方案, 并简要说明理由.
12/9/2021
第四十六页，共四十六页。
( C) A.2条
B.3条
C.4条 D.5条
第三十页，共四十六页。
★3.如图所示,已知ON⊥L,OM⊥L,所以OM与ON重合,其
理由是(
)C
A.过两点有且只有一条直线
B.过一点(yī diǎn)只能作一条直线
第三十一页，共四十六页。
C.在同一平面内,经过(jīngguò)一点有且只有一条直线与已知直
第三页，共四十六页。
2.两条重要结论
(1)在同一平面内,如图,a⊥m,b⊥m,
所以 ∠1=∠2=_______9_0_°(垂直的定义), 所以____a_∥__b__(同位角相等,两直线(zhíxiàn)平行). 归纳:在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线
_________. 平行(píngxíng)
4.如图,设PO⊥AB于O,线段PO叫做点P到
直线AB的____垂___线段.PA,PB,PC,PD叫做_______线斜段.
从直线外一点到这条直线的垂线段的_________长叫度做(c点hángdù)
到直线的距离(jùlí).
垂线的性质:直线外一点与直线上各点连接的所有线段
中,___________最短.简单说成:___________最短.
第二十六页，共四十六页。
【学பைடு நூலகம்提醒】
认识垂线及其性质的四点注意
(1)线段和射线都有垂线. (2)点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数值,而垂线段是 一个图形(túxíng),对此要分清楚.
第二十七页，共四十六页。
(3)在实际问题中,确定路径最短或最短距离问题时,首先将实 际问题转化成数学问题,再作出垂线,并求出具体数值(shùzí). (4)要分清“两点之间线段最短”和“垂线段最短”.
第十二页，共四十六页。
知识点一 垂线(chuíxiàn)的概念及角的计算(P97例1拓展) 【典例1】如图,直线AB,CD相交于 点O,OM⊥AB. (1) 若∠1=∠2,求∠NOD的度数. (2) 若∠1= ∠BO1 C,求∠AOC和∠MOD的度数.
4
第十三页，共四十六页。
【尝试解答】(1) 因为(yīn wèi)OM⊥AB,∠1=∠2, 所以∠1+____∠__A_O__C_=∠2+_______∠__A_O=C_________, 90° 即∠CON=90°,………………垂直定义 所以ON⊥CD………………垂直定义 所以∠NOD=______9_0_°_………………垂直定义
第四十二页，共四十六页。
解:(1) 因为(yīn wèi)OF⊥CD, 所以∠COF=90°, 又因为∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以∠AOC=∠BOD=52°, 所以∠AOF=∠COF-∠AOC=90°-52°=38°.
第四十三页，共四十六页。
(2)相等.理由: ∠AOC与∠BOD是对顶角, 所以(suǒyǐ)∠AOC=∠BOD=52°, 因为OE是∠AOC的平分线, 所以∠AOE= ∠1 AOC=26°, 又因为OG⊥OE2,
第二页，共四十六页。
【新知预习】阅读(yuèdú)教材P96-P100,解决以下问题:
1.垂直的定义
如图,直线AB和CD相交于点O,∠AOC=90°,
则这两条直线叫做_____互__相__(_hù__xi_ān,g记)垂做直_______A__B_⊥_,CD 其中一条直线叫做另一条直线的______垂__线_,(它chu们íxi的àn)交 点叫____垂___足__.
No 一条.。(1)位置关系:垂直是两直线相交的特殊位置关系.。A.0个
B.1个
C.2个
D.3个。如果不是,请你帮助(bāngzhù)设计出最佳的方案,并简要说明
理由.。【自主解答】因为在直角三角形POM中,PM>PO,。所以此方案是最佳方案.。(4)要分清“两点
之间线段最短”和“垂线段最短”.
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第四十页，共四十六页。
(2)因为OF平分(píngfēn)∠BOE, 所以∠BOF= ∠1 BOE.
2
因为∠BOE=90°-∠COE=60°, 所以∠BOF=30°, 所以∠AOF=180°-∠BOF=150°.
第四十一页，共四十六页。
【母题变式】 如图,直线AB与CD相交于O,OE是∠AOC的平分线,OF⊥CD, OG⊥OE, ∠BOD=52°, (1)求∠AOF的度数. (2)∠EOF与∠BOG是否(shìfǒu)相等?请说明理由.
直线互相垂直;③一条直线是另一条直线的垂线.那么
下列因果关系:①→②③;②→①③;③→①②中,正确
的有 (
A.0个
) D
B.1个
C.2个
D.3个
第十八页，共四十六页。
★2.如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O, ∠EOD=50°,则∠BOC的度数(dù shu)为____1_4_0_°___.世纪金榜导
【正解】选D.由垂线(chuíxiàn)段最短可知:AB>BD>BC, 所以BD大于3 cm,小于5 cm.
第三十七页，共四十六页。
【一题多变】 如图,已知直线AB上一点(yī diǎn)O,OC⊥AB,OD⊥OE, 若∠COE= ∠1 BOD.
5
(1)求∠COE,∠BOD,∠AOE的度数. (2)若OF平分∠BOE,求∠AOF的度数.
第四页，共四十六页。
(2)如图,在同一(tóngyī)平面内,如果a∥b,m⊥a,
第五页，共四十六页。
因为m⊥a,所以 ∠1=_______9_0_°, 因为a∥b,所以_______∠_1_=_∠_2_, 所以∠2=______9_0_°_,所以_______b_⊥_.m 归纳:在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行(píngxíng) 线中的一条,那么这条直线_______垂__于直另(ch一uízh条í) .
第十四页，共四十六页。
(2) 因为OM⊥AB,∠1= ∠BO1 C,
4
所以(suǒyǐ)∠1=_3_0_°______,∠BOC=___1_2_0_°____, ………………角度的计算 又因为∠AOC+∠BOC=_____1_8_0_°__, …………………………邻补角定义
第十五页，共四十六页。
所以∠AOC=______6_0_°_, …………角度的计算 因为(yīn wèi)∠1+∠MOD=180°,…………邻补角定义 所以∠MOD=_____1_5_0_°__.…………角度的计算
第六页，共四十六页。
3.已知直线L和直线上一点A,过点A画直线L的垂线只能 画___一____条;经过直线L外一点B画直线L的垂线也只能 画____一___条. 垂线的基本事实(shìshí):在同一平面内,过一点___有__且__只__有__(_zh_ǐ_yǒu)一 条直线与已知直线垂直.
第七页，共四十六页。
第四十四页，共四十六页。
所以(suǒyǐ)∠EOG=90°, 所以∠BOG=180°-∠AOE-∠EOG=64°. 而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°, 所以∠EOF=∠BOG.
第四十五页，共四十六页。
内容(nèiróng)总结
4.5 垂 线。所以∠2=_________,所以_________.。线中的一条,那么这条直线_________于另
垂线(chuíxiàn)段
垂线段
第八页，共四十六页。
【基础小练】
请自我检测一下预习的效果吧!
1.在同一平面(píngmiàn)内,下列语句正确的是
A.过一点有无数条直线与已知直线垂直
B.和一条直线垂直的直线有两条
( C)
第九页，共四十六页。
C.过一点有且只有一条(yī tiáo)直线与已知直线垂直 D.两直线相交,则一定垂直
4.5 垂 线
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【知识再现】 1.直角等于90°;一个平角(píngjiǎo)等于__2____个直角. 2.经过直线外一点有且______只__有__(z_hǐ_y_ǒu直)一线条平行于这条 直线. 3.连接两点间的线段的长度叫做这两点间的_________. 距离(jùlí)