北师大版七年级数学上册第二章《有理数及其运算》练习题含答案解析 (7)

一、选择题
1.下列说法正确的是
① 0是绝对值最小的有理数
②相反数大于本身的数是负数
③数轴上原点两侧的数互为相反数
④两个数比较，绝对值大的反而小．
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
2.20182019的个位上的数字是( )
A．2B．4C．6D．8
3.如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=
PR=1，数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若∣a∣+∣b∣=3，则原点可能是( )
A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R
4.已知a是一个正整数，记G(x)=a−x+∣x−a∣．若G(1)+G(2)+G(3)+⋯+G(2019)=90，
则a的值为( )
A．8B．9C．10D．11
5.若a，b是有理数，下列说法：①若a<b，则∣a∣<∣b∣；②若a>b，则∣a∣>∣b∣；③若
a=b，则∣a∣=∣b∣；④若a≠b，则∣a∣≠∣b∣；⑤若∣a∣<∣b∣，则a2<b2．其中正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
6.有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中：① −b>a．② ∣b∣<∣a∣．③ a−
b>a+b．④ ∣a∣+∣b∣>∣a−b∣，正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
7.如图，A，B，C，D，E分别是数轴上五个连续整数所对应的点，其中有一点是原点，数a对应
的点在B与C之间，数b对应的点在D与E之间，若∣a∣+∣b∣=3则原点可能是( )
A．A或E B．A或B C．B或C D．B或E
8.下列说法：
① −a<0；
② ∣−a∣=∣a∣；
③相反数大于它本身的数一定是负数；
④绝对值等于它本身的数一定是正数．
其中正确的序号为( )
A．①②B．②③C．①③D．③④
9.下列图案是用四种基本图形按照一定规律拼成的，第10个图案中的最下面一行从
左至右的第2个基本图形应是
A．B．C．D．
10.已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，① b>a；② a+b>0；③ a−
>0；正确的是( )
b>0；④ ab<0；⑤ b
a
A．①②⑤B．③④C．③⑤D．②④
二、填空题
11.已知实数x，y满足y=√x−3+√3−x+2，则(y−x)2011的值为．
12.√5−2的倒数是．
13.已知有理数a在数轴上的位置如图，则a+∣a−1∣=．
14.如图，从左到右，在每个小格子中都填入一个整数，使其中任意三个相邻格中所填整数之和都相
等，则c=，第200个格子中的数为．
15.在有理数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“∗”如下：当a≥b时，a∗b=b2；当a<b
时，a∗b=a，当x=2时，(1∗x)x−(3∗x)=．
16.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则(a+b)2019−(−cd)2020=．
17.如图，在一条数轴上有若干个点，任意两个相邻点间的距离都为2个单位长度，其中A，B，C
三点所对应的数分别为a，b，c，若3a+c=4，则b的值为．
三、解答题
18.阅读下列材料：
根据绝对值的定义，∣x∣表示数轴上表示数x的点与原点的距离，那么，如果数轴上两点P，Q 表示的数为x1，x2时，点P与点Q之间的距离为PQ=∣x1−x2∣．
根据上述材料，解决下列问题：
如图，在数轴上，点A，B表示的数分别是−4，8（A，B两点的距离用AB表示），点M，N 是数轴上两个动点，分别表示数m，n．
(1) AB=个单位长度；若点M在A，B之间，则∣m+4∣+∣m−8∣=；
(2) 若∣m+4∣+∣m−8∣=20，求m的值；
(3) 若点M、点N既满足∣m+4∣+n=6，也满足∣n−8∣+m=28，则m=；
n=．
19.计算题．
(1) (−1
4+5
6
−2
9
)×(−36)．
(2) −12−(1−0.5)×1
3
×[3−(−3)2]
20. 计算．
(1) −1+22
3
−6.5−2
3
；
(2) −14−∣0.5−1∣÷3×[2−(−3)2]．
21. 计算：
(1) −3+8+(−15)÷3
2−6．
(2) (−34)×(−112)÷(−21
4)． (3) (−1
2+3
4−1
3)÷(−1
24
)．
(4) (−6)÷(−13)2
−72+2×(−3)3．
22. 如图 A 在数轴上所对应的数为 −2．
(1) 点 B 在点 A 右边距 A 点 4 个单位长度，求点 B 所对应的数是 ；
(2) 在（1）的条件下，点 A 以每秒 2 个单位长度沿数轴向左运动，点 B 以每秒 2 个单位长
度沿数轴向右运动，当点 A 运动到 −6 所在的点处时，求 A ，B 两点间距离；
(3) 在（2）的条件下，现点 A 在 −6 时静止不动，点 B 继续以每秒 2 个单位长度沿数轴向左
运动，经过多长时间 A ，B 两点相距 4 个单位长度．
23. 给出如下定义：如果两个不相等的有理数 a ，b 满足等式 a −b =ab ．那么称 a ，b 是“关联有
理数对”，记作 (a,b )．如：因为 3−3
4=
124
−34=94，3×34=94．所以数对 (3,3
4
) 是“关联有理数对”．
(1) 在数对① (1,1
2)，② (−1,0)，③ (52,5
7) 中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）； (2) 若 (m,n ) 是“关联有理数对”，则 (−m,−n ) “关联有理数对”（填“是”或“不是”）； (3) 如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是 5，求另一个有理数．
24. 已知：△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，a 是最小的合数，b ，c 满足等式：∣b −5∣
+(c −6)2=0，点 P 是 △ABC 的边上一动点，点 P 从点 B 开始沿着 △ABC 的边按 BA →AC →CB 顺序顺时针移动一周，回到点 B 后停止，移动的路程为 S ，如图 1 所示．
(1) 试求出△ABC的周长；
(2) 当点P移动到AC边上时，化简：∣S−4∣+∣3S−6∣+∣4S−45∣．
25.计算．
(1) −7−11+4−(−2)．
(2) (−2)×(−5)÷(−5)+9．
(3) (1
2−5
9
+5
6
−7
12
)×(−36)．
(4) −14−2
3×[−2−(−3)]2÷5
9
．
答案
一、选择题
1. 【答案】A
【知识点】数轴、利用绝对值比较数的大小、相反数
2. 【答案】A
【解析】∵20181，20182，20183，20184，20185，20186个位数字是按8，4，2，6循环的；
∴2019÷4=504⋯3，即20182019的个位数字是第505组第3个数，为2．
【知识点】有理数的乘方
3. 【答案】A
【解析】∵MN=NP=PR=1，
∴∣MN∣=∣NP∣=∣PR∣=1，
∴∣MR∣=3；
①当原点在N或P点时，∣a∣+∣b∣<3，
又因为∣a∣+∣b∣=3，
所以，原点不可能在N或P点；
②当原点在M，R时且∣Ma∣=∣bR∣时，∣a∣+∣b∣=3；
综上所述，此原点应是在M或R点．
【知识点】绝对值的几何意义
4. 【答案】C
【解析】∵当x≥a时，G(x)=0；
当x<a时，G(x)=a−x+∣x−a∣=2(a−x)；
当a=9时，x≥9时，G(x)=0；
当x<9时，G(x)=a−x+∣x−a∣=2(a−x)=2(9−x)，
∴ G(1)+G(2)+G(3)+⋯+G(2019)
=G(1)+G(2)+G(3)+⋯+G(9)
=2(9−1)+2(9−2)+2(9−3)+⋯+2(9−8)
=2(8+7+6+⋯+1)
=72,
不符合题意；
当a=10时，x≥10时，G(x)=0，
当x<10时，G(x)=a−x+∣x−a∣=2(a−x)=2(10−x)，
∴ G(1)+G(2)+G(3)+⋯+G(2019)
=G(1)+G(2)+G(3)+⋯+G(10)
=2(10−1)+2(10−2)+2(10−3)+⋯+2(10−9)
=2(9+8+7+6+⋯+1)
=90,
∴a=10．
【知识点】有理数的乘法、绝对值的化简、有理数的加法法则及计算
5. 【答案】B
【解析】①若a<b，则∣a∣不一定小于∣b∣，如−2<0，∣−2∣>∣0∣，故①错误；
②若a>b，则∣a∣不一定大于∣b∣，如1>−2，∣1∣<∣−2∣，故②错误；
③若a=b，则∣a∣=∣b∣，故③正确；
④若a≠b，则∣a∣可能等于∣b∣，如a=2，b=−2，∣2∣=∣−2∣，故④错误；
⑤若∣a∣<∣b∣，则a2<b2，故⑤正确，
∴正确的有③和⑤，一共2个．
故选B．
【知识点】利用绝对值比较数的大小
6. 【答案】B
【解析】有理数的基本概念，绝对值的意义．
① −b>a，正确．
−b与b关于原点对称，
位置如图所示，−b在a的右侧，故−b>a．
② ∣b∣<∣a∣，错误．
∣b∣表示b原点的距离，∣a∣表示a到原点的距离．由图可知b到原点的距离比a到原点的距离要远，
即∣b∣>∣a∣．
③ a−b>a+b，正确．
∵a>0，b<0，
∴a−b>0，
∵a>0，b<0，∣a∣<∣b∣，
∴a+b<0，
∴a−b>0>a+b，
∴a−b>a+b．
④ ∣a∣+∣b∣>∣a−b∣，错误．
由图可知，
∵a>0，
∴∣a∣=a，b<0，
∴∣b∣=−b．
所以左边⇒∣a∣+∣b∣=a−b，
∵a−b>0，
∴∣a−b∣=a−b．
右边⇒∣a−b∣=a−b，
所以左边=a−b，右边=a−b，左=右．
【知识点】利用数轴比较大小、绝对值的几何意义
7. 【答案】D
【解析】当A为原点时，∣a∣+∣b∣>3，
当B为原点时，∣a∣+∣b∣=3，
当C为原点时，∣a∣+∣b∣<3，
当D为原点时，∣a∣+∣b∣<3，
当E为原点时，∣a∣+∣b∣=3．
【知识点】绝对值的几何意义、数轴的概念、利用数轴比较大小
8. 【答案】B
【解析】当a为负数时，−a>0，因此①不正确；
无论a为何值，∣−a∣=∣a∣，因此②正确；
只有负数的相反数大于它本身，因此③正确；
∵∣0∣=0，0不是正数，也不是负数，因此④不正确．
【知识点】绝对值的几何意义
9. 【答案】C
【解析】观察发现所有图案的最下一行的图形按顺序依次循环，且每个图案的最下一
行的图形个数等于该图案数．
所以第十个图案最下一行有十个图形，
所以前十个图案的最下一行的图形个数之和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（个）．
55÷4=13余3．
所以第十个图案的最下一行的最后一个图形是，
由此可得第十个图案的最下一行第二个图形为．
【知识点】有理数
10. 【答案】B
【解析】根据数轴上点的位置得：b<0<a，且∣b∣>∣a∣，
<0．
∴b<a，a+b<0，a−b>0，ab<0，b
a
【知识点】绝对值的几何意义
二、填空题
11. 【答案】−1
【解析】∵√x−3与√3−x都有意义，
∴x=3，则y=2，
故(y−x)2011=−1．
故答案为：−1．
【知识点】有理数的乘方、二次根式有意义的条件
12. 【答案】√5+2
【知识点】倒数、分母有理化
13. 【答案】1
【解析】由数轴上a点的位置可知，a<0，
所以a−1<0，
所以原式=a+1−a=1．
【知识点】绝对值的几何意义
14. 【答案】3；−1
【知识点】有理数的加法法则及计算
15. 【答案】−2
【解析】原式=1×2−22=−2．
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算
16. 【答案】−1
【知识点】有理数的乘方
17. 【答案】5
2
【解析】观察图形可知c=a+10，
，
代入3a+c=4得3a+a+10=4，解得a=−3
2
．
则b=a+4=5
2
【知识点】解常规一元一次方程、数轴的概念
三、解答题
18. 【答案】
(1) 12；12
(2) 由（1）知，点M在A，B之间时，∣m+4∣+∣m−8∣=12，不符合题意；
当点M在点A左边，即m<−4时，−m−4−m+8=20，解得m=−8；
当点M在点B右边，即m>8时，m+4+m−8=20，解得m=12．综上所述，m的值为−8或12．
(3) 11；−9
【解析】
(1) ∵点A，B表示的数分别是−4，8，
∴AB=∣8−(−4)∣=12，
∵点M在A，B之间，
∴∣m+4∣+∣m−8∣=AM+BM=AB=12．
(3) ∵∣m+4∣+n=6，
∴∣m+4∣=6−n≥0，
∴n≤6，
∴∣n−8∣=8−n，
∴8−n+m=28，
∴n=m−20，
∵∣m+4∣+n=6，
∴∣m+4∣+m−20=6，即∣m+4∣+m−26=0，
当m+4≥0，即m≥−4时，m+4+m−26=0，解得：m=11，此时n=−9；
当m+4<0，即m<−4时，−m−4+m−26=0，此时m的值不存在．
综上，m=11，n=−9．
【知识点】绝对值的化简、绝对值的几何意义
19. 【答案】
(1) 原式=−1
4
×(−36)+5
6
×(−36)−2
9
×(−36) =9−30+8
=17−30
=−13.
(2) 原式=−1−1
2
×1
3
×(3−9)
=−1−1
2
×1
3
×(−6)
=−1+1
=0.
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、乘法分配律20. 【答案】
(1) 原式=−1−6.5+2
=−5.5.
(2) 原式=−1−1
2
×1
3
×(−7)
=−1+7
6
=1
6
.
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算
21. 【答案】
(1)
−3+8+(−15)÷3
2
−6 =5−10−6
=−11.
(2)
(−3
4
)×(−11
2
)÷(−21
4
)
=9
8
÷(−21
4
)
=−1
2
.
(3)
(−1
2
+3
4
−1
3
)÷(−1
24
)
=(−1
2
)×(−24)+3
4
×(−24)−1
3
×(−24) =12−18+8
= 2.
(4)
(−6)÷(−1
3
)
2
−72+2×(−3)3
=(−6)÷1
9
−49+2×(−27)
=−54−49−54
=−157.
【知识点】有理数的乘法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的除法
22. 【答案】
(1) 2
(2) S B=[−2−(−6)]÷2×2=4，
2+4=6，6−(−6)=12
故A，B之间的距离是12．
(3) 点A在点B左侧时：t=6−(−2)÷2=4（秒）
点A在点B右侧时：t=6−(−10)÷2=8（秒）
【知识点】绝对值的几何意义
23. 【答案】
(1) ①③
(2) 不是
(3) 设a=5，(a,b)是“关联有理数对”，
所以a−b=ab，即5−b=5b，
解得b=5
6
，
设b=5，(a,b)是“关联有理数对”，
所以a−b=ab，即a−5=5a，
解得a=−5
4
，
所以另一个有理数是5
6或−5
4
．
【解析】
(1) ①因为1−1
2=1
2
，1×1
2
=1
2
，
所以数对(1,1
2
)是“关联有理数对”；
②因为−1−0=−1，−1×0=0，
所以数对(−1,0)不是“关联有理数对”；
③因为5
2−5
7
=35
14
−10
14
=25
14
，5
2
×5
7
=25
14
，
所以数对(5
2,5
7
)是“关联有理数对”．
(2) 理由：因为(m,n)是“关联有理数对”，
所以m−n=mn，
因为−m−(−n)=n−m，−m⋅(−n)=mn=m−n，所以(−m,−n)不是“关联有理数对”．
【知识点】有理数的减法法则及计算、有理数的乘法
24. 【答案】
(1) 由题意得a=4，b=5，c=6，
所以，C=15．
(2) 由题意得6≤S≤11，
原式=S−4+3S−6+45−4S=35．
【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简、绝对值的性质25. 【答案】
(1)
−7−11+4−(−2) =−18+4+2
=−18+6
=−12.
(2)
(−2)×(−5)÷(−5)+9 =−2+9
=7.
(3)
(1
2
−5
9
+5
6
−7
12
)×(−36)
=1
2
×(−36)−5
9
×(−36)+5
6
×(−36)−7
12
×(−36) =−18+20−30+21
=2−9
=−7.
(4)
−14−2
3
×[−2−(−3)]2÷5
9 =−1−2
3
×(−2+3)2×9
5
=−1−6
5
×12
=−1−6
5
=−11
5
.
【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减混合运算。