(人教版初中数学)九年级数学上册复习知识结构和考点剖析

九年级数学上册复习知识结构和考点剖析 山东沂源徐家庄中学 左效平 256116 一、解直角三角形1．1知识基本体系1．2解直角三角形的考点剖析考点1：求锐角三角函数这是一个非常重要的考点.这类试题从不同角度,以灵活的形式,多变的条件,激发同学们的思考热情. 正方形网格上求锐角三角函数 例1、在正方形网格中,∠α的位置如图1所示,则sin α的值为（ ）．A 、21 B 、22 C 、23 D 、33解析：根据题意要想求sin α的函数值,应该将∠α放置到某一个直角三角形中.而在正方形网格上构造一个包含∠α的直角三角形是比较容易的.如图2,我们可以构造直角三角形AOB 、直角三角形COD 、直角三角形EOF 、直角三角形GOQ 等等,通过仔细观察构造的这些直角三角形,不难发现,它们有一个共同的特点,就是这些直角三角形的两条直角边都是相等的,即这些直角三角形都是等腰直角三角形.因此,sin α的值是22,所以选B. 点评：这道题目虽然小,但是问题的背景新颖、独特.它以锐角三角函数的定义为问题求解的出发点,以构造直角三角形求解为问题解决的突破口,通过构造直角三角形的个数的多样性,来验证一个事实：一个锐角的函数值只与角度的大小有关,而与这个角所在直角三角形的直角边的长短是没有关系的. 例2、正方形网格中,AOB ∠如图3放置,则cos AOB ∠的值为（ ） Ａ．5 Ｂ．25Ｃ．12Ｄ．2解析：根据题意要想求cos AOB ∠的函数值,应该将∠AOB 放置到某一个直角三角形中.而在正方形网格上构造一个包含∠AOB 的直角三角形是比较容易的.如图4,我们可以构造直角三角形COD,通过仔细观察构造的直角三角形,不难发现,CD=2,OD=1,所以,斜边OC =√5,因此,cos AOB ∠的值等于1: √5,所以选A.变化三角形的边长求三角函数值例3、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’,那么锐角A 、A ’的余弦值的关系为（ ）．A 、cosA ＝cosA ’B 、cosA ＝3cosA ’C 、3cosA ＝cosA ’D 、不能确定 解析：把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ’B ’C ’,所以,三角形ABC 和三角形A ′B ′C ′的对应边是成比例的, 所以,Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’, 所以,∠A=∠A ′,根据锐角三角函数值的大小只与角的大小有关系的这一原则, 就得到：cos ∠A =cos ∠A ′,所以应该选择A.在平面直角坐标系中求三角函数值例4、如图5,P 是∠α的边OA 上一点,且点P 的坐标为（3,4）, 则sin α= ( )A ． 35 B ． 45 C ． 34D ．43解析：在平面直角坐标系中,根据点P 的坐标为（3,4）,我们可以求得以OP 为斜边的直角三角形的两直角边的长为3、4,并且,α的对边长是4,邻边长是3,所以,斜边OP 的长为5,所以,sin α的值为4：5.因此选B.考点2、特殊角函数值的计算例5、计算45tan 30cos 60sin -的值是 . 解析:这类问题的出发点,最明显,就是考同学们对特殊角的锐角三角函数值记忆程度.另外还渗透了互余两个角之间三角函数关系.在这里显然有sin60°=cos30°,所以, sin60°：cos30°=1,又tan45°=1,因此,原式的值为0.考点3、解直角三角形的应用以仰角、俯角、方位角为载体的应用型问题. 求物高例6、如图,在某建筑物AC上,挂着“多彩云南”的宣传条幅BC,小明站在点F 处,看条幅顶端B,测的仰角为,再往条幅方向前行20米到达点E处,看到条幅顶端B,测的仰角为,求宣传条幅BC的长,（小明的身高不计,结果精确到0.1米）解：∵∠BFC =,∠BEC =,∠BCF =∴∠EBF =∠EBC =∴BE = EF = 20在Rt⊿BCE中,答：宣传条幅BC的长是17.3米.是否有触礁危险解析：判断货船有无触礁危险的标准为：1）计算出货船向正东方向航行时,小岛C距正东航向的垂直距离；2）比较垂直距离与暗礁半径的大小：当垂直距离＞暗礁半径时,货船无触礁危险；当垂直距离＜暗礁半径时,货船有触礁危险；当垂直距离＝暗礁半径时,货船有触礁危险.例7、如图1,某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B处,此时再测得该岛在北偏东30的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险？试说明理由．解：过点C 作CD ⊥AM,垂足D, 根据题意,得： AB=24×0.5=12,∠CAB=30°,∠CBD=60°,∠CDB=90°, 因为,∠CBD 是三角形ABC 的一个外角, 所以,∠CBD=∠CAB+∠ACB, 因为,∠CAB=30°,∠CBD=60°, 所以,∠ACB=30°,所以,∠ACB=∠CAB, 所以,AB=BC=12, 在直角三角形CBD 中, CD=BC ×sin60°=12×23=63, 又因为,25.2=1.5,3＞2.25 所以,3＞25.2＞1.5, 所以,63＞625.2＞1.5×6＞9, 因为,在C 岛周围9海里的区域内有暗礁, 所以,继续向正东方向航行,该货船无触礁危险.是否超速例8、某段笔直的限速公路上,规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h （即503m/s ）.交通管理部门在离该公路100m 处设置了一速度监测点A,在如图3,所示的坐标系中,点A 位于y 轴上,测速路段BC 在x 轴上,点B 在点A 的北偏西60°方向上,点C 在点A 的北偏东45°方向上．（1）请在图3中画出表示北偏东45°方向的射线AC,并标出点C 的位置； （2）点B 坐标为 ,点C 坐标为 ； （3）一辆汽车从点B 行驶到点C 所用的时间为15s,请通过计算,判断该汽车在限速公路上是否超速行驶？（本小问中3取1.7）解析：判断汽车是否超速的标准为：1）计算出笔直的限速公路BC的距离；2）计算出汽车在笔直的限速公路BC的速度；3）比较汽车在笔直的限速公路BC的速度与最高行驶速度的大小：当汽车在笔直的限速公路BC的速度＞最高行驶速度时,超速；当汽车在笔直的限速公路BC的速度＝最高行驶速度时,超速；当汽车在笔直的限速公路BC的速度＜最高行驶速度时,不超速；解：（1）北偏东45°方向的射线AC,如图4所示,（2）在直角三角形AOB中,OA=100,∠OAB=60°,所以,OB=OA×tan60°=1003,点B坐标为（-1003,0）；又因为,∠CAO=45°,∠COA=90°,所以,∠ACO=45°,所以,OA=OC=100,所以,点C的坐标为（100,0）；3）由1）、2）知道,从点B到点C的距离为：（100+1003）米；并且汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s,所以,汽车的速度为：（100+1003）÷15≈18m/s,而最高速度为：50/3≈17m/s,因为,18m/s＞17m/s,所以,该汽车在限速公路上超速行驶.是否通过解析：汽车恰好能通过的标准是：轴心距所在的直线恰好在点P处相切.例9、如图5,是一个路障的纵截面和汽车越过路障时的底盘示意图,O1,O2分别是车轮的轴心,M是线段O1O2的中点（轴心距的中点）,两车轮的半径相等．经验告诉人们,只要中点M不被P点托住（俗称托底盘,对汽车很有危害！）,线段O1O2上的其它点就不会被P点托住,汽车就可顺利通过．否则,就要通过其他方式通过．（1）若某种汽车的车轮半径为50cm, 轴心距O 1O 2为400cm. 通过计算说明,当∠APB 等于多少度时,汽车恰好能通过斜坡？（精确到0.1,参考数据sin14.48º≈0.25,cos14.48º ≈0.97）（2）当∠APB =120°时,通过计算说明要使汽车安全通过,车轮半径与轴心距O 1O 2的比应符合什么条件？. 解：1）如图6,汽车恰好能通过斜坡时,点1O 、M 、P 、2O Q 恰好在一条直线上,连接1O C,则1O C ⊥PA,所以,在直角三角形1O PC 中,1O M=200,1O C=50, 所以,sin 1O MC=M O C O 11=20050=0.25, 又因为,sin14.48º≈0.25,,所以,∠1O MC =14.48º, 所以,∠APB=180°-14.48º-14.48º=151.04 º≈151 º； （2）当∠APB =120°时,要使汽车安全通过,则有∠1O MC =30º, 所以,M O C O 11= sin30º=21,所以,1O M=21O C,所以,O 1O 2=41O C, 即C O O O 121=14,所以,当∠APB =120°时,要使汽车安全通过, 车轮半径与轴心距O 1O 2的比应至少为1：4.是否穿过解析：判断MN 是否穿过文物保护区的标准为： 1）计算出C 距直线MN 的垂直距离； 2）比较垂直距离与文物保护区范围的大小：当垂直距离＞文物保护区范围时,MN 不会穿过文物保护区； 当垂直距离＜文物保护区范围时,MN 穿过文物保护区；当垂直距离＝文物保护区范围时,MN 恰好穿过文物保护区；例10、2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”．如图7,在“创卫”过程中,要在东西方向M N ，两地之间修建一条道路．已知：如图C 点周围180m 范围内为文物保护区,在MN 上点A 处测得C 在A 的北偏东60方向上,从A 向东走500m 到达B 处,测得C 在B 的北偏西45方向上．MN 是否穿过文物保护区？为什么？（参考数据：3 1.732≈）:解：如图8,所示,过C 作CH ⊥AB 于点H,设CH=xm, 则3AH x =,HB x =．AH HB AB +=,3500x x ∴+=．18318031x ∴==>+,所以,不会穿过保护区. 是否最近解析：判断轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近的标准为：1）作出C 到直线AB 的垂直距离,找到距离小岛最近的点的位置,垂足处； 2）求出点B 与垂足之间的距离,就是所要求的答案.例10、一艘轮船自西向东航行,在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C,继续向东航行60海里到达B 处,测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3°≈925,tan21.3°≈25, sin63.5°≈910,tan63.5°≈2）解：过C 作AB 的垂线,交直线AB 于点D, 得到Rt△ACD 与Rt△BCD． 设BD ＝x 海里,在Rt△BCD 中,tan∠CBD＝CDBD,所以,CD ＝x ·tan63.5°； 在Rt△ACD 中,AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里,tan∠A＝CDAD,所以,CD ＝( 60＋x ) ·tan21.3°；所以,x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°,即()22605x x =+, 解得,x ＝15.答：轮船继续向东航行15海里,距离小岛C 最近.是否最快解析：判断最快的标准为： 1）计算出三人各自行驶的路程；2）计算出三人各自行驶的路程所用的时间； 3）所时间最少的人,就是最快的.例11、如图11,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救,便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点,再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑30O 米到离B 点最近的D 点,再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒,在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=45°,∠BCD=60°,三名救生员同时从A 点出发,请说明谁先到达营救地点B.(参考数据√2≈1.4,√3≈1.7) 解：在三角形ABD 中,因为,AD=300,∠BAD=45°,∠BDA=90°, 所以,BD=300,所以,AB=300√2≈300×1.4=420,所以,1号救生员所用的时间为：420÷2=210（秒）； 在三角形BCD 中,因为,BD=300,∠BCD=60°,∠BDA=90°, 所以,BC=300÷sin60°=200√3≈200×1.7=340, CD=1/2BC=170,所以,AC=300-170=130,所以,2号救生员所用的时间为：130÷6+340÷2≈191.7（秒）； 3号救生员所用的时间为：300÷6+300÷2=200（秒）； 因为,210＞200＞191.7, 所以,2号救生员最快.是否影响采光解析：判断A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光的标准为： 1）计算A 楼的影子在B 楼上的高度；2）比较A 楼的影子在B 楼上的高度与B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米的大小：当A 楼的影子在B 楼上的高度＞B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时,影响采光；当A 楼的影子在B 楼上的高度=B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时,不影响采光；当A 楼的影子在B 楼上的高度＜B 楼一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米时,不影响采光；例12、如图12,某居民小区内A 、B 两楼之间的距离MN=30米,两楼的高都是20米,A 楼在B 楼正南,B 楼窗户朝南.B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN=2米,窗户高CD=1.8米.当正午时刻太阳光线与地面成30角时,A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响,挡住该住户窗户多高？若不影响,请说明理由.（参考数据：2 1.414=,3 1.732=,5 2.236=）解：如图13,设光线FE 影响到B 楼的E 处,作EG FM ⊥于G ,由题知,30m EG MN ==,30FEG ∠=,所以,330tan 303010317.323FG =⨯=⨯==, 所以,2017.32 2.68MG FM GF =-=-=, 因为,2 1.8DN CD ==，,所以,2.68＞2,所以,影响B 楼的采光, 因为, 2.6820.68ED =-=,所以,A 楼影子影响到B 楼一楼采光,挡住该户窗户0.68米．测量问题：如图14,初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度,在地面的C点用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AFE=60°,再沿直线CB后退8米到D点,在D点又用测角器测得旗杆顶A点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米,求旗杆AB的高度．(3的近似值取1．7,结果保留小数)图14解：设AE为x米,在Rt△EF中,∠AFE=60°,∴EF=3x/3在Rt△AGE中,∠AGE=45° AE=GE8+3x/3=x ∴x=12+43即x≈18．8(3的近似值取1．7,结果保留小数)∴AB=AE+EB≈20．4答：旗杆高度约为20．4米二、二次函数2．1知识和结构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=--≠++=的增大而减小。