转化与化归思想精品PPT课件高考数学二轮专题复习
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第三部分
思想篇•素养升华
第4讲 转化与化归思想
1 思想方法 • 解读 2 思想方法 • 应用
• 转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段 将问题通过变换使之等价转化，进而成为解决问题的一种思想．其 应用包括以下三个方面：
• (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
• (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．
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【解析】 (1)∵(a，b)是不等式 mx2－2x＋1＜0 的解集， ∴a，b 是方程 mx2－2x＋1＝0 的两个实数根且 m＞0， ∴a＋b＝m2 ，ab＝m1 ， ∴a＋ abb＝1a＋1b＝2；且 a>0，b>0； ∴3a＋2b＝12·(3a＋2b)·1a＋1b＝21·5＋2ab＋3ba≥215＋2 2ab·3ba ＝12(5＋2 6)，
• (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
应用一 特殊与一般的转化
典例1 (2020·葫芦岛模拟)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝
3，点 M 在对角线 AC 上，点 N 在边 CD 上，且A→M＝41A→C，D→N＝13D→C，
则M→N·A→C＝
( C)
A．12
B．4
C．73
D．136
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a≤－e2， 所以a≤ln x－xmin. 令 g(x)＝ln x－x1e≤x≤e2，所以 g′(x)＝1－x x， 所以函数 g(x)在1e，1上是增函数， 在[1，e2]上是减函数，所以 g(x)min＝g(e2)＝2－e2， 所以 a≤2－e2． 综上知 a≤－e2．
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• 函数、方程与不等式相互转化的应用 • 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式 的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助， 因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为 简，一般可将不等关系问题转化为函数最值(值域)问题，从而求出参 变量的范围．
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【解析】 M→N＝A→N－A→M＝A→D＋13A→B－14(A→B＋A→D)＝43A→D＋112A→B， ∴M→N·A→C＝34A→D＋112A→B·(A→B＋A→D) ＝112A→B2＋43A→D2＋112＋34A→B·A→D ＝112＋49＝37. 故选 C．
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应用二 函数、方程、不等式之间的转化
典例2 (1)(2020·河南模拟)已知区间(a，b)是关于 x 的一元二
次不等式 mx2－2x＋1＜0 的解集，则 3a＋2b 的最小值是
( C)
A．3＋22 2
B．5＋2 6C．52＋来自6D．3(2)(2019·烟台二模)已知函数 f(x)＝ln x．若不等式 mf(x)≥a＋x 对所有
m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立，则实数 a 的取值范围为___(_－__∞__，__－__e_2]__.
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当且仅当 2b＝ 3a 时“＝”成立； ∴3a＋2b 的最小值为12(5＋2 6)＝52＋ 6. 故选 C．
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(2)由题意得，a≤mln x－x 对所有的 m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立， 令 H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]， x∈1e，e2是关于 m 的一次函数， 因为 x∈1e，e2，所以－1≤ln x≤2， 所以llnnxx··01－－xx≥≥aa， 所以aa≤≤－ln xx，－x，
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• 化一般为特殊的应用 • (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、 特殊角、特殊位置等． • (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行 探求，可快捷得到答案． • (3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗 示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得 到答案．
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应用三 正难则反的转化
典例3 (2019·大连二模)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3
思想篇•素养升华
第4讲 转化与化归思想
1 思想方法 • 解读 2 思想方法 • 应用
• 转化与化归思想是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段 将问题通过变换使之等价转化，进而成为解决问题的一种思想．其 应用包括以下三个方面：
• (1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
• (2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．
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【解析】 (1)∵(a，b)是不等式 mx2－2x＋1＜0 的解集， ∴a，b 是方程 mx2－2x＋1＝0 的两个实数根且 m＞0， ∴a＋b＝m2 ，ab＝m1 ， ∴a＋ abb＝1a＋1b＝2；且 a>0，b>0； ∴3a＋2b＝12·(3a＋2b)·1a＋1b＝21·5＋2ab＋3ba≥215＋2 2ab·3ba ＝12(5＋2 6)，
• (3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
应用一 特殊与一般的转化
典例1 (2020·葫芦岛模拟)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝
3，点 M 在对角线 AC 上，点 N 在边 CD 上，且A→M＝41A→C，D→N＝13D→C，
则M→N·A→C＝
( C)
A．12
B．4
C．73
D．136
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a≤－e2， 所以a≤ln x－xmin. 令 g(x)＝ln x－x1e≤x≤e2，所以 g′(x)＝1－x x， 所以函数 g(x)在1e，1上是增函数， 在[1，e2]上是减函数，所以 g(x)min＝g(e2)＝2－e2， 所以 a≤2－e2． 综上知 a≤－e2．
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• 函数、方程与不等式相互转化的应用 • 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式 的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助， 因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为 简，一般可将不等关系问题转化为函数最值(值域)问题，从而求出参 变量的范围．
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【解析】 M→N＝A→N－A→M＝A→D＋13A→B－14(A→B＋A→D)＝43A→D＋112A→B， ∴M→N·A→C＝34A→D＋112A→B·(A→B＋A→D) ＝112A→B2＋43A→D2＋112＋34A→B·A→D ＝112＋49＝37. 故选 C．
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应用二 函数、方程、不等式之间的转化
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次不等式 mx2－2x＋1＜0 的解集，则 3a＋2b 的最小值是
( C)
A．3＋22 2
B．5＋2 6C．52＋来自6D．3(2)(2019·烟台二模)已知函数 f(x)＝ln x．若不等式 mf(x)≥a＋x 对所有
m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立，则实数 a 的取值范围为___(_－__∞__，__－__e_2]__.
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当且仅当 2b＝ 3a 时“＝”成立； ∴3a＋2b 的最小值为12(5＋2 6)＝52＋ 6. 故选 C．
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(2)由题意得，a≤mln x－x 对所有的 m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立， 令 H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]， x∈1e，e2是关于 m 的一次函数， 因为 x∈1e，e2，所以－1≤ln x≤2， 所以llnnxx··01－－xx≥≥aa， 所以aa≤≤－ln xx，－x，
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• 化一般为特殊的应用 • (1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、 特殊角、特殊位置等． • (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行 探求，可快捷得到答案． • (3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗 示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得 到答案．
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应用三 正难则反的转化
典例3 (2019·大连二模)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3