(易错题)初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 和AEF 中，EAC BAF ∠=∠，EA BA =，添加下面的条件：①EAF BAC ∠=∠；②E B ∠=∠；③AF AC =；④EF BC =，其中可以得到ABC AEF ≌△△的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）
A ．EF E
B = B ．EA E
C = C ．AF CB =
D ．AF
E B ∠=∠ 3．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm 4．如图，给出下列四组条件：①AB=D
E ，BC=E
F ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ，BC=EF ；③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ．其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
5．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC全等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有丙D．只有乙
6．如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（）
A．SSS B．SAS C．SSA D．AAS
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E 作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（）
A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF
8．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
9．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：
①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④10．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD，CD并延长，分别交AC，AB于点F，E，则图中全等三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
11．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB 于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（）
A．β＝α+γB．β＝2γ﹣αC．β＝α+2γD．β＝2α﹣2γ12．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（）
A．35°B．30°C．25°D．20°
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．
14．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________
15．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,
BAD DC AB ︒∠==，
则CAD ∠=________度．
16．如图，四边形ABDC 中，对角线AD 平分BAC ∠，136ACD ∠=︒，44BCD ∠=︒，则ADB ∠的度数为_____
17．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，BD 平分ABC ∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______．
18．如图，在直角坐标系中，AD 是Rt △OAB 的角平分线，已知点D 的坐标是（0，-3），AB 的长为12，则△ABD 的面积是_____
19．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．
20．如图，ABC 中，90C ∠=，AD 平分BAC ∠，若2DC =，则点D 到线段AB 的距离等于________．
三、解答题
21．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=
（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒
（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．
22．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．
∆≅∆；
（1）求证：ABC DFE
（2）求证：点О为BF的中点．
23．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）
24．如图①，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥CA的延长线点E，由∠1+∠2=∠D+∠2=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠AED=90°，AB=AD，得
△ABC≌△DAE进而得到AC=DE，BC=AE，我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型．
请应用上述“一线三等角”模型，解决下列问题：
（1）如图②，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC、DE，且BC⊥AH于点H，DE 与直线AH交于点G，求证：点G是DE的中点．
（2）如图③，在平面直角坐标系中，点A为平面内任意一点，点B的坐标为（4，1），若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标．
25．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝______．（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC 的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．
26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠＝∠（等式性质）
∴EF∥
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝
∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠，经推到得EAF BAC ∠=∠；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵EAC BAF ∠=∠，EAF EAC CAF ∠=∠+∠，BAC BAF CAF ∠=∠+∠ ∴EAF BAC ∠=∠
E B ∠=∠，即E B EA
F BAC EA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()ASA ，故②符合题意；
AF AC =，即AF AC EAF BAC EA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC AEF ≌△△()SAS ，故③符合题意；
①和④不构成三角形全等的条件，故错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
2．D
解析：D
【分析】
根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．
【详解】
解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，
∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠EAF=∠BCE ．
A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中
AEF CEB EA EC
EAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；
C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；
D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
不能证明AEF ≌CEB △，故不正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，
∵AB ∥CD ，
∴MN ⊥CD ，
∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，
∴OM ＝OE ＝3cm ，
∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，
∴ON ＝OE ＝3cm ，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
4．C
解析：C
【分析】
要使△ABC≌△DEF的条件必须满足SSS、SAS、ASA、AAS，可据此进行判断．
【详解】
解：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．
第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．
所以有3组能证明△ABC≌△DEF．
故符合条件的有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
【详解】
解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；
乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；
丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；
则与△ABC全等的有乙和丙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
6．D
解析：D
【分析】
求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
7．C
解析：C
【分析】
证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．
【详解】
解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；
在Rt ACB 和Rt FEC 中，
CB EC AB FC =⎧⎨=⎩
， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，
∴AC ＝EF ＝12cm ，
∵CE ＝BC ＝5cm ，
∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；
如图，记AB 与EF 交于点G ，
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
，
∵Rt ACB Rt FEC
∴∠A＝∠F，
∴∠A＋∠ACD＝∠F＋∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．8．C
解析：C
【分析】
利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
9．D
解析：D
【分析】
易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；
【详解】
∵ BD 为∠ABC 的角平分线，
∴ ∠ABD=∠CBD ，
∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，
∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；
∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，
∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴∠BCE=∠BDA ，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，
故②正确；
∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，
∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，
∴∠DCE=∠DAE ，
∴△ACE 是等腰三角形，
∴AE=EC ，
∵△ABD ≌△EBC ，
∴AD=EC ，
∴AD=AE=EC ，
故③正确；
作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：
∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，
在△BEG 和△BEF 中BE BE
EF EG =⎧⎨=⎩
∴ △BEG ≌△BEF ，
∴BG=BF ，
在△CEG 和△AFE 中EF EG
AE CE =⎧⎨=⎩
∴△CEG ≌△AFE ，
∴ AF=CG ，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF ，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；
10．C
解析：C
【分析】
认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．
【详解】
解：AD 平分BAC ∠，
BAD CAD ∴∠=∠， 在ABD ∆与ACD ∆中，
AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACD SAS ∴∆≅∆，
BD CD ∴=，B C ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，
又EDB FDC ∠=∠，
ADE ADF ∴∠=∠，
AED AFD ，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ．
AED AFD ，ABD ACD ∆≅∆，BDE CDF ∆≅∆，∆≅∆ABF ACE ，共4对． 故选：C ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟悉相关判定定理是解题的关键． 11．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得到∠B=∠EFC=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD ，根据∠ADC 是△BDC 的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD ，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB ，
于是得到结果．
【详解】
解：∵EF∥AB，∠EFC=β，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．
【详解】
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB，
∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=25°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
二、填空题
13．2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE⊥AB∴△AED和△ACD都是直角三角形在Rt△AED 和Rt△ACD中DE=DCAD=AD
解析：2
【分析】
先证明△AED ≌△ACD 得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】
解：∵∠C =90°，DE ⊥AB ，
∴△AED 和△ACD 都是直角三角形，
在Rt △AED 和Rt △ACD 中，
DE=DC,AD=AD ，
∴△AED ≌△ACD （HL ），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AC=5-3=2．
故填：2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL 证明三角形全等是解答本题的关键．
14．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度
【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共
解析：10
【分析】
过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．
【详解】
解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．
∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，
∴OM OE ON 5===，
又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，
∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，
∴M ，O ，N 三点共线，
∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．
15．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出
【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接
AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4
解析：66
【分析】
在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅
△AEC 即可求出． 【详解】
在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，
∵CE =BD ，
∴BE =CD ，
∵AB =CD ，
∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，
∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，
∴△ADB ≅△AEC ，
∴∠BAD =∠CAE =18°，
∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．
故答案为：66．
【点睛】
本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．
16．【分析】先添加辅助线过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过点作于点根据角平分线的判定性质定义以及三角形外角的性质邻补角的定义角的和差等可求得【详解】解：过点作交的延长线于点过点作交的延长线于点过 解析：46︒
【分析】
先添加辅助线“过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ”，根据角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等可求得
()1462
ADB CBE BAC ∠=
∠-∠=︒． 【详解】
解：过点D 作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，过点D 作DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，过点D 作DG BC ⊥于点G ，如图：
∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥ ∴12
BAD BAC ∠=
∠，DE DF = ∵136ACD ∠=︒ ∴18044DCF ACD ∠=︒-∠=︒
∵44BCD ∠=︒，92ACB ACD BCD ∠=∠-∠=︒
∴CD 平分BCF ∠
∵DF AC ⊥，DG BC ⊥
∴DF DG =
∴DE DG =
∵DE AB ⊥，DG BC ⊥
∴BD 平分CBE ∠ ∴12
DBE CBE ∠=
∠ ∴ADB DBE BAD ∠=∠-∠
1122CBE BAC =∠-∠ ()12CBE BAC =
∠-∠ 12
BCA =∠ 46=︒．
故答案是：46︒
【点睛】
本题考查了角平分线的判定、性质、定义以及三角形外角的性质、邻补角的定义、角的和差等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
17．3【分析】过D 作DE ⊥BC 于EDE 即为DP 长的最小值由题意可以得到
△BAD≌△BED从而得到DE的长度【详解】解：如图过D作DE⊥BC于EDE即为DP长的最小值由题意知在△BAD和△BED中∴△BA
解析：3
【分析】
过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，由题意可以得到△BAD≌△BED，从而得到DE的长度．
【详解】
解：如图，过D作DE⊥BC于E，DE即为DP 长的最小值，
由题意知在△BAD和△BED中，
A DEB
ABD EBD BD BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△BED，
∴ED=AD=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
18．18【分析】过点D作DE⊥AB于点E由角平分线的性质可得出DE的长再根据三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E∵D （0-3）∴OD=3∵AD是Rt△OAB的角平分线OD⊥O
解析：18
【分析】
过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵D（0，-3）
∴OD=3，
∵AD是Rt△OAB的角平分线，OD⊥OA，DE⊥AB，∴DE=OD=3，
∴S△ABD=1
2AB•DE=
1
2
×12×3=18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
19．30【分析】根据∠ACB＝∠DCE＝90°可得∠ACD＝∠BCE利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE则BE＝AD∠DAC＝∠EBC再证明∠DBE＝90°根据三角形面积计算公式便可求得结果【详解】
解析：30
【分析】
根据∠ACB＝∠DCE＝90°，可得∠ACD＝∠BCE，利用三角形全等判定可得△ACD≌△BCE，则BE＝AD，∠DAC＝∠EBC，再证明∠DBE＝90°，根据三角形面积计算公式便可求得结果．
【详解】
解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB．
即∠ACD＝∠BCE．
∵AC＝BC，∠ADC＝∠BEC，
∴△ACD≌△BCE．
∴BE＝AD，∠DAC＝∠EBC．
∵∠DAC＋∠ABC＝90°，
∴∠EBC＋∠ABC＝90°．
∴△BDE为直角三角形．
∵AB＝17，BD＝5，
∴AD＝AB－BD＝12．
∴S △BDE ＝12
BD ⋅BE ＝30． 故答案为：30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，通过分析题意找出三角形全等的条件并能结合全等性质解决相应的计算问题是解题的关键．
20．【分析】过D 作DE ⊥AB 于E 根据角平分线的性质得出DE=DC 即可求出答案【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ∵∠C=90°AD 平分∠BACDC=2∴DE=DC=2即点D 到线段AB 的距离等于2故答案为：2
解析：【分析】
过D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得出DE=DC ，即可求出答案．
【详解】
解：过D 作DE ⊥AB 于E ，
∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DC=2， ∴DE=DC=2，
即点D 到线段AB 的距离等于2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了考查了角平分线的性质，能根据角平分线的性质得出DE=DC 是解此题的关键．
三、解答题
21．（1）图形见解析，60；（2）144︒
【分析】
（1）根据尺规作图，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于C 、D ，然后再分别以C 、D 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧；即可得到点M ，连接OM ，BOP ∠的角平分线同理可得，由已知条件120AOB ∠=︒，然后根据角平分线的性质即可求得MON ∠的度数；
（2）根据题目已知条件可知120POB α∠=-︒，根据角平分线的性质可知
2AOM POM α
∠=∠=，112022
PON BON POB α-∠=∠=∠=，再根据 4BOM BON ∠=∠，120AOB ∠=︒即可求得α的值．
【详解】
（1）根据尺规作图，首先以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交AOP ∠两边于C 、D ，然后以C 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧，接着以D 为圆心，同以上步骤一
样的长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于M 点，连接顶点O 和M ，OM 即为角平分线．BOP ∠的角平分线同理可得；
∵OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠， ∴12POM AOM AOP ∠=∠=∠， 12
BON PON BOP ∠=∠=∠， ∵AOB AOP BOP ∠=∠+∠，
∵MON POM PON ∠=∠+∠，
∴11()6022
MON AOP BOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；
（2）∵AOP α∠=，120AOB ∠=︒，OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，
∴120POB α∠=-︒，2AOM POM α
∠=∠=，
112022
PON BON POB α-∠=∠=∠=， ∵4BOM BON ∠=∠，
∴)1202120
4(2αα
+=-︒，
解得：
144．
【点睛】 本题考查了尺规作图、角平分线的性质，解题的关键是找准等量关系列出方程． 22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；
（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅
ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．
【详解】
证明：（1）∵AB//DF ，
∴∠B=∠F ，
∵BE=CF ，
∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，
∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；
（2）与（1）同理有∠B=∠F ，
∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），
∴OB=OF ，
∴点O 为BF 中点 ．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 23．见解析
【分析】
利用SAS 证明ABD ≌A B D '''△，即可证得结论．
【详解】 解：已知：如图，ABC ≌
A B C '''，AD 和A D ''分别是BC 和B C ''上的中线，
求证：AD ＝A D ''．
证明：∵ABC ≌A B C '''， ∴AB ＝A B ''，∠B ＝∠B '，BC ＝B C ''，
∵AD 、A D ''是 BC 和B C ''上的中线，
∴BD ＝12
BC ，12B D B C ''''=， ∴BD ＝B D ''，
∴在ABD 与A B D '''△中 AB A B B B BD B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩
' ∴ABD ≌A B D '''△（SAS ），
∴AD ＝A D ''．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形
全等．
24．（1）见解析；（2）A(3 2
，
5
2
)或(
5
2
，-
3
2
)．
【分析】
（1）过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N．根据“K字模型”即可证明AH=DM 和AH=EN，即EN=DM，再根据全等三角形的判定和性质即可证明DG=EG，即点G是DE的中点．
（2）分情况讨论①当A点在OB的上方时，作AC垂直于y轴，BE垂直于x轴，CA和EB 的延长线交于点D．根据“K字模型”即可证明AC BD OC AD DE
===
，，再利用B点坐标即可求出A点坐标．②当A点在OB的下方时，作AP垂直于y轴，BM垂直于x轴，PA 和BM的延长线交于点Q．同理即能求出A点坐标．
【详解】
（1）如图，过点D作DM⊥AM交AG于点M，过点E作EN⊥AG于点N，则∠DMA=90°，∠ENG=90°．
∵∠BHA=90 ，
∴∠2+∠B=90°．
∵∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠1 ．
在△ABH和△DAM中1
BHA AMD
B
AB DA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABH≅△DAM（AAS），
∴AH=DM．
同理△ACH≅△EAN（AAS），
∴ AH=EN．
∴EN=DM．
在△DMG和△ENG中
MGD NGE
DMG ENG
DM EN
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DMG≅△ENG（AAS）．
∴DG=EG．
∴点G是DE的中点．
（2）根据题意可知有两种情况，A 点分别在OB 的上方和下方．
①当A 点在OB 的上方时，如图，作AC 垂直于y 轴，BE 垂直于x 轴，CA 和EB 的延长线交于点D ．
利用“K 字模型”可知ACO BDA ≅，
∴AC BD OC AD DE ===，，
设AC x =，则BD x =，
∵1DE BD BE x =+=+，
∴1OC AD DE x ===+，
又∵4CD AD AC =+=，即14x x ++=， 解得32x =， ∴32AC =，35122DE =+=． 即点A 坐标为(
32，52)．
②当A 点在OB 的下方时，如图，作AP 垂直于y 轴，BM 垂直于x 轴，PA 和BM 的延长线交于点Q ．
根据①同理可得：52AP =
，32MQ =． 即点A 坐标为(52，32
-)．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质．熟练利用三角形的判定方法是解答本题的关键．
25．（1）作图见解析，45；（2）能，45
【分析】
（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以
点H 、点G 为圆心，以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ；
（2）根据题意，得114522
COM AOC BOC ∠=∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．
【详解】
（1）作图如下
用量角器量得：∠MON ＝45
故答案为：45；
（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90° ∴()11145222
COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12
CON BOC ∠=∠ ∴11454522
MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+
∠-∠=． 【点睛】
本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，从而完成求解．
26．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F
【分析】
（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．
（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝
∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，由角平分线得出∠BCM ＝∠NCD ，即可得出结论．
（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
【点睛】
本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。