八年级数学上册轴对称填空选择同步单元检测(Word版 含答案)

八年级数学上册轴对称填空选择同步单元检测（Word 版 含答案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，在等腰三角形ABC 中，90ABC ∠=，D 为AD 边上中点，多D 点作DE DF ⊥，交AB 于E ，交BC 于F ，若3AE =，2CF =，则ABC ∆的面积为______．
【答案】
252
【解析】
【分析】 利用等腰直角三角形斜边中点D 证明AD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，再利用DE DF ⊥证得∠ADE=∠BDF ，由此证明△ADE ≌△BDF ，得到BC 的长度，即可求出三角形的面积.
【详解】
∵90ABC ∠=︒，AB=BC,
∴∠A=45︒，
∵D 为AC 边上中点，
∴AD=CD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，∠ADB=90︒，
∵DE DF ⊥,
∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90︒，
∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE ≌△BDF,
∴BF==AE=3，
∵CF=2，
∴AB=BC=BF+CF=5，
∴ABC ∆的面积为
212BC ⋅=252, 故答案为：
252
. 【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质.
2．如图，直角三角形ABC 与直角三角形BDE 中，点B,C,D 在同一条直线上，已知AC=AE=CD ,∠BAC 和∠ACB 的角平分线交于点F ，连DF,EF,分别交AB 、BC 于M 、N ，已知点F 到△ABC 三边距离为3，则△BMN 的周长为____________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由角平分线和三角形的内角和定理可得∠AFC=135°，由△AFC≌△DFC可得
∠DFC=∠AFC=135°，可得∠AFD=90°．同理可得∠CFE=90°，可求得∠MFN=45°，过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，由正方形的半角模型可得MN=MP+NQ，由此即可得出答案．
【详解】
解：过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥BC于点Q，过点F作FG⊥FM，交BC于点G．
∵点F是∠BAC和∠BCA的角平分线交点，
∴FP=FQ=3，
∵∠ABC=90°，
∴四边形BPFQ是正方形，
∴BP=BQ=3．
在Rt△ABC中，∠BAC+∠BCA=90°，
∵AF、CF是角平分线，
∴∠FAC+∠FCA=45°，
∴∠AFC=180°-45°=135°．
易证△AFC≌△DFC（SAS），
∴∠AFC=∠DFC=135°，
∴∠ADF=90°，
同理可得∠EFC=90°，
∴∠MFN=360°-90°-90°-135°=45°．
∵∠PFM+∠MFN=90°，∠MFN+∠QFG=90°，
∴∠PMF=∠QFG，
∵∠FPM=∠FQG=90°，FP=FQ，
∴△FPM≌△FQG（ASA），
∴PM=QG，FM=FG．
在△FMN和△FGN中
45
FM FG
MFN GFN
FN FN
=
⎧
⎪
∠=∠=
⎨
⎪=
⎩
∴△FMN≌△FGN（SAS），
∴MN=NG，
∴MN=NG=NQ+QG=PM+QN，
∴△BMN的周长为：
BM+BN+MN
= BM+BN+ PM+QN
=BP+BQ
=3+3
=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，角平分线的性质，以及全等三角形常用辅助线的作法，作出辅助线，准确的找出全等三角形是解决此题的关键．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若
∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.
【详解】
作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，
∴∠DGE=∠CFE=90°，
∵∠AEB=∠DEC=90°，
∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，
∴∠GED=∠CEF ，
又∵DE=EC ，
∴△GDE ≌△FCE ，
∴DG=CF ，
∵S △BED =
12BE•DG ，S △BED =12
AE•CF ，AE=BE ， ∴S △BED =S △BED ，
∵D 是BC 的中点， ∴S △BDE =S △EDC =
1222
⨯⨯=2， ∴S 阴影=2+2=4，
故答案为4.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.
4．如图，ABC ∆中，090,,102ACB AC BC AB ∠===，点G 为AC 中点，连接BG ，CE BG ⊥于F ，交AB 于E ，连接GE ，点H 为AB 中点，连接FH ，以下结论：①ACE ABG ∠=∠；②5CF =
；③AGE CGB ∠=∠；④FH 平分BFE ∠。

其中
正确的结论的序号为___________。

【答案】③④
【解析】
【分析】
作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．构造全等三角形，证明△CAP ≌△BCG （ASA ），△EAG ≌△EAP （SAS ），即可分步判断①②③，利用四点共圆可以证明④正确．
【详解】
解：如图，作AP ⊥AC 交CE 的延长线于P ，连接CH ．
∵CE ⊥BG ，
∴∠CFB=∠ACB=90°，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠CBG+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBG ，
∵BG 是△ABC 的中线，AB ＞BC ，
∴∠ABG≠∠CBG ，
∴∠ACE≠∠ABG ，故①错误，
∵∠ACP=∠CBG ，AC=BC ，∠CAP=∠BCG=90°，
∴△CAP ≌△BCG （ASA ），
∴CG=PA=AG ，∠BGC=∠P ，
∵AG=AP ，∠EAG=∠EAP=45°，AE=AE ，
∴△EAG ≌△EAP （SAS ），
∴∠AGE=∠P ，
∴∠AGE=∠CGB ，故③正确， ∵90,,102ACB AC BC AB ∠===，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC=BC=10，
∴AG=CG=5， ∴2251055BG =+=， ∵••12•12
CG CB CF = ， ∴25CF =
∵CA=CB ，∠ACB=90°，AH=HB ，
∴∠BCH=∠ACH=45°，
∵∠CFB=∠CHB=90°，
∴C ，F ，H ，B 四点共圆，
∴∠HFB=∠BCH=45°，
∴∠EFH=∠HFB=45°，
∴FH 平分∠BFE ，故④正确，
综上所述，正确的只有③④.
故答案为：③④
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，熟悉各项性质是解题的关键．
5．在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，∠C ＜90°，若∠B 满足条件：______________，则△ABC ≌△DEF ．
【答案】∠B≥∠A ．
【解析】
【分析】
虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件．
【详解】
解：需分三种情况讨论：
第一种情况：当∠B 是直角时：
如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；
第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ．
∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．
∴180°-∠B=180°-∠E ，
即∠CBG=∠FEH ．
在△CBG 和△FEH 中，
CBG FEH G H
BC EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），
∴CG=FH ，
在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，
AC DF CG FH
⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），
∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，
A D
B E
AC DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝
∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；
第三种情况：当∠B是锐角时：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，小明在△ABC中（如图③）以点C为圆心，以AC长为半径画弧交AB于点D，假设E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC符号已知条件，但是△AEF与△ABC一定不全等，
所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
故答案为：∠B≥∠A．
【点
睛】
本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
6．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，点D为BC中点．∠MDN＝90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形；
②AE＝CF；
③△BDE≌△ADF；
④BE+CF＝EF；
⑤S四边形AEDF＝1
4
AD2，
其中正确结论是_____（填序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE＝CF，DE＝FD；再由全等三角形的性质得到BE+CF＝AB，由勾股定理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判定④的正误；先得出S四边形
AEDF ＝S △ADC ＝12
AD 2，从而判定⑤的正误． 【详解】
解：∵Rt △ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 中点，
∴∠C ＝∠BAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，
∵∠MDN ＝90°，
∴∠ADE +∠ADF ＝∠ADF +∠CDF ＝90°，
∴∠ADE ＝∠CDF ．
在△AED 与△CFD 中，
EAD C AD CD
ADE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD （ASA ），
∴AE ＝CF ，ED ＝FD ．故①②正确；
又∵△ABD ≌△ACD ，
∴△BDE ≌△ADF ．故③正确；
∵△AED ≌△CFD ，
∴AE ＝CF ，ED ＝FD ，
∴BE +CF ＝BE +AE ＝AB
BD ，
∵EF
ED ，BD ＞ED ，
∴BE +CF ＞EF ．故④错误；
∵△AED ≌△CFD ，△BDE ≌△ADF ，
∴S 四边形AEDF ＝S △ADC ＝12
AD 2．故⑤错误． 综上所述，正确结论是①②③．
故答案是：①②③．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．
7．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________
【答案】23或43.
【解析】
【分析】
过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出
∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．
【详解】
如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF2⊥BD，
∵∠ABC=60°，F1D∥BE，
∴∠F2F1D=∠ABC=60°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=1
2
∠ABC=30°，∠F2DB=90°，
∴∠F1DF2=∠ABC=60°，
∴△DF1F2是等边三角形，
∴DF1=DF2，
∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=1
2
×60°=30°，
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF2，
∵在△CDF1和△CDF2中，
12
12
DF DF
CDF CDF
CD CD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△CDF1≌△CDF2（SAS），
∴点F2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
1
2
×60°=30°，
又∵BD=6，
∴BE=
1
2
×6÷cos30°=3÷
3
2
=23，
∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，
故BF的长为23或43.
故答案为：23或43.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．
8．如图，在ABC中，ACB90,CA CB
∠==.点D在AB上，点F在CA的延长线上，连接FD并延长交BC于点E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，则ABC的面积为
______．
【答案】
25
2
【解析】
【分析】
作CD的垂直平分线交AD于M，交CD与N，根据垂直平分线的性质可得MC=MD，进而可得∠MDC=∠MCD，根据已知及外角性质可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性质
可得∠B=∠CAB=45°，根据三角形内角和定理可得∠ACM=∠BDE ，进而可证明
∠ADF=∠ACM ，进而即可证明∠FCD=∠FDC ，根据等腰三角形的性质可得CF=DF ，根据已知可求出AC 的长，根据三角形面积公式即可得答案.
【详解】
作CD 的垂直平分线交AD 于M ，交CD 与N ，
∵MN 是CD 的垂直平分线，
∴MC=MD ，
∴∠MDC=∠MCD ，
∵∠AMC=∠MDC=∠MCD ，
∴∠AMC=2∠ADC ，
∵∠BED=2∠ADC ，
∴∠AMC=∠BED ，
∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠B=∠CAB=45°，
∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC ，∠BDE=180°-∠B-∠BED ，
∴∠ACM=∠BDE ，
∵∠BDE=∠ADF ，
∴∠ADF=∠ACM ，
∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD ，即∠FCD=∠FDC ，
∴FC=FD ，
∵AF=2，FD=7，
∴AC=FC-AF=7-2=5，
∴S △ABC=12×5×5=252
.
故答案为：
252
【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等；等腰三角形的两个底角相等；熟练掌握相关的定理及性质是解题关键.
9．如图，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，AM AC ⊥，点P 和点Q 从A 点出发，分别
在射线AC 和射线AM 上运动，且Q 点运动的速度是P 点运动的速度的2倍，当点P 运动至__________时，ABC △与APQ 全等．
【答案】AC 中点或点P 与点C 重合
【解析】
分析：本题要分情况讨论：①Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP=BC=5cm ，可据此求出P 点的位置．②Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP=AC ，P 、C 重合．
详解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：
①当P 运动到AP BC =的，
∵90C QAP ∠=∠=︒，
在Rt ABC △和Rt QPA 中，
AP BC PQ AB
=⎧⎨=⎩， ∴Rt ABC △≌Rt ()QPA HL ，
即5AP BC ==，
即P 运动到AC 的中点．
②当P 运动到与C 点重合时，AP=AC ，
在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，
AP AC PQ AB =⎧⎨=⎩
∴Rt △QAP ≌Rt △BCA （HL ），
即AP=AC=10cm ，
∴当点P 与点C 重合时，△ABC 才能和△APQ 全等．
故答案为：AC 中点或点P 与点C 重合．
点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
10．如图，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：
①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．
【答案】2
【解析】
根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL 可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC ，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③⇒①，根据SAS 可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.
故答案为：2.
点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∠1=∠2，AD =AB
，则下列结论不正确的是
A ．BF =DF
B ．∠1=∠EFD
C ．BF >EF
D ．FD ∥BC
【答案】B
【解析】
【分析】 根据余角的性质得到∠C =∠ABE ，∠EBC =∠BAC ．根据SAS 推出△ABF ≌△ADF ，根据全等三角形的性质得到BF =DF ，故A 正确；由全等三角形的性质得到∠ABE =∠ADF ，等量代换得到∠ADF =∠C ，根据平行线的判定得到DF ∥BC ，故D 正确；根据直角三角形的性质得到DF ＞EF ，等量代换得到BF ＞EF ；故C 正确；根据平行线的性质得到
∠EFD =∠EBC =∠BAC =2∠1，故B 错误．
【详解】
∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠C +∠BAC =∠ABE +∠BAC =90°，∴∠C =∠ABE ．同
理：∠EBC =∠BAC ．
在△ABF 与△ADF 中，∵12AD AB AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ABF ≌△ADF ，∴BF =DF ，故A 正确， ∵△ABF ≌△ADF ，∴∠ABE =∠ADF ，∴∠ADF =∠C ，∴DF ∥BC ，故D 正确；
∵∠FED =90°，∴DF ＞EF ，∴BF ＞EF ；故C 正确；
∵DF ∥BC ，∴∠EFD =∠EBC ．∵∠EBC =∠BAC =∠BAC =2∠1，∴∠EFD =2∠1，故B 错误． 故选B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，证得△ABF ≌△ADF 是解题的关键．
12．如图，已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，AB=AC=4，∠BAC=∠EAD=90°，D 是射线BC 上任意一点，连接EC ．下列结论：①△AEC △ADB ；② EC ⊥BC ； ③以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积为8；④当BD=
时，四边形AECB 的周长为10524++;⑤ 当BD=32
B 时,ED=5AB ；其中正确的有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3 个
D ．2个
【答案】B
【解析】解：
∵∠BAC =∠EAD =90°，∴∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△AEC ≌△ADB ，故①正确； ∵△AEC ≌△ADB ，∴∠ACE =∠ABD =45°，∵∠ACB =45°，∴J IAO ECB =90°，∴EC ⊥BC ，故②正确； ∵四边形ADCE 的面积=△ADC 的面积+△ACE 的面积=△ADC 的面积+△ABD 的面积=△ABC 的面积=4×4÷2=8．故③正确；
∵BD =
2，∴EC =2，DC =BC -BD =422=32，∴DE 2=DC 2+EC 2，=(2222+=20，∴DE =25，∴AD =AE =
252=10.∴AECB 的周长=AB +DC +CE +AE =442210+45210+，故④正确；
当BD =32BC 时，CD =12BC ，∴DE 22
1322BC BC ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
102BC =52AB ．故⑤错误． 故选B ．
点睛：此题是全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解答此题的关键．
13．如图，已知，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ．下面结论：①△ABD ≌△EBC ；②AC=2CD ；③AD=AE=EC ；
④∠BCE+∠BCD=180°．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】C
【解析】 已知BD 为△ABC 的角平分线，根据角平分线的定义可得∠ABD =∠CBD ，在△AB D 和△EB C 中，BD ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ，BE ＝BA ，由SAS 可判定△ABD ≌△EBC ，即可得①正确；根据已知条件，无法证明AC =2CD ，②错误； 已知BD 为△ABC 的角平分线，
BD=BC ，BE=BA ，可得∠BCD =∠BDC =∠BAE =∠BEA ， 再由
∠BCE =∠BDA ，∠BCE =∠BCD +∠DCE ，∠BDA =∠DAE +∠BEA ，∠BCD =∠BEA ，可得∠DCE =∠DAE ，所以AE =EC ；再由△ABD ≌△EBC ，可得AD=EC ，所以AD=AE=EC ，即③正确；由△ABD ≌△EBC ，可得∠BCE =∠BDA ，所以∠BCE +∠BCD =∠BDA +∠BDC =180°，④正确.故选C.
点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的的性质、三角形外角的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
14．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：
①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，
∴AP BQ =．
在ACP △和ABQ △中，
60AP BQ CAP ABQ AC BA =⎧⎪∠==︒⎨⎪=⎩
， ∴ACP △≌BAQ △，故②正确．
则AQC CPB ∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．
∴60AMP B ∠=∠=︒．
则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．
∵APM ∠不一定等于60︒．
∴AP AM ≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
15．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：
①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】
分析：根据三角形内角和等于180
°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出
∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60BAC ∠=︒，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴12EBC ABC ∠=∠，12
ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴AD 为BAC ∠的平分线，
∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，
又∵120BDC ∠=︒，
∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．
∴BDF CDG ∠=∠，
∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴BDF ≌()CDG ASA ，
∴DB CD =，
∴1(180120)302
DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，
∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，1302
BAE BAC ∠=
∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，
∴DEB DBE ∠=∠，
∴DB DE =，故②正确．
∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，
∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
16．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 为AC 上一点，点D 在CB 的延长线上，且BD=AP ，连接PD 交AB 于点E ，PE ⊥AB 于点F ，则线段EF 的长为（ ）
A ．6
B ．5
C ．4.5
D ．与AP 的长度有关
【答案】A
【解析】
【分析】 作DQ ⊥AB ，交直线AB 的延长线于点Q ，连接DE ，PQ ，根据全等三角形的判定定理得出△APE ≌△BDQ ，再由AE=BQ ，PE=QD 且PE ∥QD ，可知四边形PEDQ 是平行四边形，进而可得出EF=12
AB ，由等边△ABC 的边长为12可得出DE=6．
【详解】
解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠BQD=∠AEP=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，
在△APE和△BDQ中，
A DBQ
AEP BQD
AP BD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△APE≌△BDQ（AAS），
∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，
∴四边形PEDQ是平行四边形，
∴EF=1
2
EQ，
∵EB+AE=BE+BQ=AB，
∴EF=1
2
AB，
又∵等边△ABC的边长为12，
∴EF=6．
故选：A.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE⊥AB作辅助线构成全等的三角形.
17．如图，在Rt△ABC中，AB AC
=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将
△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：
①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE
+=
其中正确的是( )
A．②④B．①④C．②③D．①③
【答案】D
【解析】
解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90 后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；
②无法证明，故②错误；
③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FA E=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；
④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．
故选D．
18．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60º，则下列结论：①∠ABP=30º；②∠APC=60º；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．根据角平分线的性质定理可证得PN=PM，再根据角平分线的判定定理可得PB平分∠ABC，即可判定①；证明△PAN≌△PAH，△PCM≌△PCH，根据全等三角形的性质可得∠APN=∠APH，∠CPM=∠CPH，由此即可判定②；在Rt△PBN 中，∠PBN=30°，根据30°角直角三角形的性质即可判定③；由∠BPN=∠CPA=60°即可判定④.
【详解】
如图，作PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．
∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ，
∴PN=PH ，同理PM=PH ，
∴PN=PM ，
∴PB 平分∠ABC ，
∴∠ABP=
12
∠ABC=30°，故①正确， ∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中， PA PA PN PH =⎧⎨=⎩
， ∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ，
∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ，
∵∠MPN=180°-∠ABC=120°，
∴∠APC=
12
∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确，
∵∠BPN=∠CPA=60°，
∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确．
综上，正确的结论为①②③④.
故选D.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质及30°角直角三角形的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.
19．下列四组条件中，能够判定△ABC 和△DEF 全等的是（ ）
A ．AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D
B ．AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D
C ．∠A=∠
D ，∠B=∠
E ，∠C=∠F
D ．AC=DF ，BC=D
E ，∠C=∠D
【答案】D
【解析】
根据三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，逐一判断：
A 、AB=DE ，BC=EF ，∠A=∠D ，不符合“SAS ”定理，不能判断全等；
B 、AC=EF ，∠C=∠F ，∠A=∠D ， 不符合“ASA”定理，不能判断全等；
C 、∠A=∠
D ，∠B=∠
E ，∠C=∠
F ，“AAA ”不能判定全等；
不符合“SAS ”定理，不对应，不能判断全等；
D 、AC=DF ，BC=D
E ，∠C=∠D ，可利用“SAS ”判断全等；
故选：D ．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．如图，在等腰△ABC 中，90ACB ︒∠=，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =,连接DE 、DF 、EF 在此运动变化的过程中，下列结论：(1)DEF 是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE 不可能为正方形，（3）DE 长度的最小值为4；（4）连接CF ，CF 恰好把四边形CDFE 的面积分成1：2两部分，则CE =13或143
其中正确的结论个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】 连接CF ，证明△ADF ≌△CEF ，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．
【详解】
连接CF ，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45 ，CF=AF=FB ；
∵AD=CE ，
∴△ADF ≌△CEF(SAS)；
∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘，
又∵EF=DF
∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确).
当D. E分别为AC、BC中点时,四边形CDFE是正方形(故(2)错误).由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时,DE最小,此时
1
4
2
DF BC
== .
∴242
DE DF
== (故(3)错误).
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC,
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分∴S△CEF：S△CDF=1:2 或S△CEF：S△CDF=2:1
即S△ADF：S△CDF=1:2 或S△ADF：S△CDF=2:1
当S△ADF：S△CDF=1:2时，S△ADF=1
3
S△ACF=
1116
84
323
⨯⨯⨯=
又∵S△ADF=1
42
2
AD AD ⨯⨯=
∴2AD=16 3
∴AD=8
3
(故(4)错误).
故选：A.
【点睛】
本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键.
21．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）
A．8对B．7对C．6对D．5对
【答案】B
【解析】
【分析】
易证△ABC是关于AF对称的图形，其中的小三角形也关于AF对称，共可找出7对三角形.【详解】
全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；
④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB
证明①△AFB≌△AFC
∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC 又∵1122
ABC S AB CE AC BD == ∴CE=BD
∴在Rt△BCE 和Rt△CBD 中
BC BC CE BD =⎧⎨=⎩
∴△BCE≌△CBD
∴BE=CD，∴AE=AD
在Rt△AEO 和Rt△ADO 中
AE AD AO AO =⎧⎨=⎩
∴△AEO≌△ADO
∴∠EOD=∠DOA
在△BA F 和△CAF 中
AB AC BAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BAF≌△CAF，得证
其余全等证明过程类似
故选：B
【点睛】
本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备
22．下列命题中的假命题是（ ）
A ．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等
B ．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等
C ．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等
D ．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.
【详解】
解：A 、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正
确，是真命题；
B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；
D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，
故答案为D．
【点睛】
本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
45
APE CPF
AP PC
EAP C
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠︒
⎩
＝
＝
＝＝
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②正确；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=1
2
S△ABC．故④正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．
24．具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是( ).
A．一边和这一边上的高对应相等B．两边和第三边上的中线对应相等
C．两边和其中一边的对角对应相等D．直角三角形的斜边对应相等
【答案】B
【解析】
【分析】
根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析．【详解】
解：A、一边和这边上的高对应相等，无法得出它们全等，故此选项错误；
B、两边和第三边上的中线对应相等，通过如图所示方式（倍长中线法）可以证明它们全等（△ABC≌△A′B′C′），故此选项正确.
．
C、两边和其中一边的对角对应相等，无法利用ASS得出它们全等，故此选项错误；
D、直角三角形的斜边对应相等,无法得出它们全等，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（）
A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF
【答案】A
【解析】
【分析】
通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解．
【详解】
解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC，
∴∠CAB＝∠ABD＝45°，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴CE＝BE＝1
2
BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC，
∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°，
∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°，
∴△ADF≌△BDC（AAS）
∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意，
∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5°
∴∠AHG＝67.5°，
∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，
∴DH＝DF，故选项D不符合题意，
连接BH，
∵AG＝BG，DG⊥AB，
∴AH＝BH，
∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°，
∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC，
∴∠EHB＝∠EBH＝45°，
∴HE＝BE，
故选项B不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点.
26．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（）
A．3 B．5 C．4 D．不确定
【答案】C
【解析】
根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E，再利用“角角边”证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=4．
故选：C．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
27．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④B E=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）
A．2种B．3种C．4种D．6种
【答案】C
【解析】
【分析】
①②：求出OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可的等腰三角形；①③：证
△EBO≌△DCO，得出∠EBO=∠DCO，求出∠ACB=∠ABC即可；②④：证
△EBO≌△DCO，推出OB=OC，求出∠ABC=∠ACB即可；③④：证△EBO≌△DCO，推出∠EBO=∠DCO，OB=OC，求出∠OBC=∠OCB，推出∠ACB=∠ABC即可．
【详解】
解：有①②，①③，②④，③④，共4种，①②，
理由是：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；
①③，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC OB OC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，
∵∠OBC=∠OCB（已证），
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
即AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
③④，
理由是：∵在△EBO和△DCO中
BEO CDO
EOB DOC BE CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△EBO≌△DCO，
∴∠EBO=∠DCO，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，。