北航概率统计课件17

马尔可夫（Markov） 不等式
设非负随机变量 X 的期望 E( X )存在， 则对于任意实数 > 0,
证 仅证连续型随机变量的情形 x P ( X ) f ( x)dx f ( x)dx

P( X ) E( X )
0
1


xf ( x)dx E ( X )
n
据定理1，知结论成立。
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例1 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B(6000,1/6)
5000 E ( X ) 1000, D ( X ) npq 6
或
nA lim P p 1 n n
9
证 引入随机变量序列{Xk}
Xk 1, 0, 第k次试验A发生 第k次试验A 发生
设 P( X k 1) p, 则 E ( X k ) p, D( X k ) pq
X 1 , X 2 ,, X n 相互独立， n A X k
0.1875n P| X 0.75n | 0.01n 1 (0.01n) 2
令
0.1875n 1 0.90 2 (0.01n)
7
解得 n 18750
若 E(X ) = , D(X ) = 2, 类似于正态分布的3 原理，由 Chebyshev 不等式可估计
1 P| X | 3 0.1111 9 1 P| X | 2 0.25 4 由 Chebyshev 不等式，可看出 D (X) 反映了 X 偏离 E(X ) 的程度. 固定 ， 较小者，
1 X P 0.01 0.9379 6000 6
1 X 0.01 0.7685 用Chebyshev 不等式 P 6000 6
X 1 用中心极限定理 P 6000 6 0.01 0.9624
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例2 某车间有200台车床，每台独立工作，开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力

2
推论 1 设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E( |X |k)存在， 则对于任意实数 > 0, k E (| X | ) P(| X | ) k

推论 2 ——切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 > 0, D( X ) P(| X E ( X ) | ) 2
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1000, 5000 X ~ N 6 1 X P 0.01 P X 1000 60 6000 6 1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6
较小. Chebyshev 不等式对于 2 2 无实际意义
8
P| X | 2
2
大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则
0 有
nA lim P p 0 n n
1 n 1 n 有 lim P X k k 0 n n k 1 n k 1
证明：由chebyshev不等式可得。
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推论： 独立同分布时的 Chebyshev 大数定律
设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立，
且 X 1 , X 2 ,, X n 具有相同的数学期望和方差
E ( X ) 0.75 n, D( X ) 0.1875 n
0.74 X 0.76 0.90 要使 P ，求 n n
6
即 P0.74 n X 0.76 n 0.90
即 P| X 0.75n | 0.01n 0.90 由 Chebyshev 不等式， = 0.01n ,故
第六章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？
大数 定律
中心极 限定理
1
6.1 大数定律
重要不等式
机变量序列.
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Chebyshev 大数定律 设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立， (指任意给定 n > 1, X 1 , X 2 ,, X n 相互独立)，
X 1 , X 2 ,, X n , 的数学 期望与方差设为
E ( X k ) k , D( X k ) k2 2 , k 1,2,
e
x
t2 2
dt
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即对任意的 a < b, Yn np 1 lim P a b n np(1 p ) 2 Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似) 证明：事实上， 据二项分布的定义
a e
b
t2 2
dt
1 事件A发生 Yn X i 其中X i i 1 0 事件A不发生 另一方面，EYn np, Var(Yn ) npq
定理2
德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ）
Yn 是n次独立试验中事件A出现的次数，
p为A发生概率，即
Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有
Yn np 1 lim P x n 2 np(1 p )
4
实际精确计算：
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6
6000 k

1059
k 941
C
k 6000
1 6
k
5 6
0.959036
用Poisson 分布近似计算： 取 = 1000
1 X P 0.01 P940 X 1060 6000 6 k 1000 1059 1000 e 0.937934 k! k 941
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频率 近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
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定义 设 Y1 , Y2 ,, Yn , 是一系列随机变量，
a 是一常数， 若 0 有
n
lim P Yn a 0
(或
lim P Yn a 1 )
k 1
n
1 n pq 记 Yn X k , E (Yn ) p, D(Yn ) n k 1 n
由Chebyshev 不等式
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nA 0 P p n
P n Xk Xk k 1 E k 1 n n
n
则称随机变量序列 Y1 , Y2 ,, Yn , 依概率收敛 于常数 a , 记作 P Yn a
n
故
nA P p n n
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在 Bernoulli 定理的证明过程中， Y n 是相互
独立的服从 0-1分布的随机变量序列 {Xk} 的 算术平均值, Y n 依概率收敛于其数学期望 p . 结果同样适用于服从其它分布的独立随
5
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 Chebyshev 不等式估计, n 多大时, 才 能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出现的 频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)
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定理的意义：
具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列
的算术平均值依概率收敛于数学期望. 当 n 足够大时，算术平均值几乎就是一个常数, 可以用算术平均值近似地代替数学期望.
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§6.2 中心极限定理
定理1 独立同分布的中心极限定理 设随机变量序列 X 1 , X 2 ,, X n , 相互 独立，服从同一分布，且有期望和方差：
E ( X k ) , D( X k ) , k 1,2,
2
则 0 有
或
1 n lim P X k 0 n n k 1 1 n lim P X k 1 n n k 1
设 X 为200 台车床的开工数. X ~ B(200,0.6) , X ~ N (120, 48) (近似) 问题转化为求 a , 使
P (0 rX a ) 99故 a 120 0 120 r P (0 rX a ) 48 48 a 120 0 120 r 48 48 ( 17.32) 0
近似
60 60 5000 6 5000 6 60 2 1 0.9624 5000 6
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比较几个近似计算的结果
用二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590 6000 6 用Poisson 分布
k 1
n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
lim PYn x ( x)