武川县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

武川县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．24
B ．80
C ．64
D ．240 2． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
3． 在△ABC 中，已知A=30°，C=45°，a=2，则△ABC 的面积等于（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x ”的概率为（ ） A ．
14 B ．18 C ．23 D ．112
5． 下列函数中，为奇函数的是（ ） A ．y=x+1 B ．y=x 2 C ．y=2x D ．y=x|x|
6． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ） A ．y=1 B ．
y=
C ．x=1
D ．
x=
7． 已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
8． 若复数z=2﹣i （ i
为虚数单位），则=（ ） A ．4+2i B ．20+10i C ．4﹣2i D
．
9． 在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a
，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
10．“a ≠1”是“a 2≠1”的（ ） A ．充分不必条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
12．已知直线mx ﹣y+1=0交抛物线y=x 2于A 、B 两点，则△AOB （ ）
A ．为直角三角形
B ．为锐角三角形
C ．为钝角三角形
D ．前三种形状都有可能
二、填空题
13．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，6=-b a ，向量c a -，c b -的夹角为23
π，23c a -=，则a
与
c
的夹角为__________，a c ⋅的最大值为 ．
【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力.
14．已知函数y=log
（x 2
﹣ax+a ）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
15．函数f （x ）=x 2e x 在区间（a ，a+1）上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ．
16．（sinx+1）dx 的值为 ．
17．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
18．下列函数中，①；
②y=；③y=log 2x+log x 2（x ＞0且x ≠1）；
④y=3x +3﹣x ；⑤；
⑥；⑦y=log 2x 2
+2最小值为2的函数是 （只填序号）
三、解答题
19．如图，A 地到火车站共有两条路径
和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所
用时间落在个时间段内的频率如下表：
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 。

20．已知函数f （x ）=．
（1）求f （x ）的定义域； （2）判断并证明f （x ）的奇偶性；
（3）求证：f （）=﹣f （x ）．
21．求函数f （x ）=﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．
22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲
如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2．
（Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；
（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．
23．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？
（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？
24．（本小题满分12分）已知12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，2
(1,2
P 是椭圆上
11222|,|2|PF F F PF 成等差数列．
（1）求椭圆C 的标准方程；、
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A B 、两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得7
16
QA QB ⋅=-恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
武川县二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】 试题分析：805863
1
=⨯⨯⨯=
V ,故选B. 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 2． 【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=
，
∴圆的方程为2
=2．
故选：D ．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：因为△ABC 中，已知A=30°，C=45°，所以B=180°﹣30°﹣45°=105°．
因为a=2，也由正弦定理，c=
=
=2
．
所以△ABC 的面积，
S==
=2
=2（）=1+
． 故选：B ．
【点评】本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力．
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202
303
-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型．
5． 【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A ； 由于y=x 2
为偶函数，故排除B ；
由于y=2x
为非奇非偶函数，故排除C ；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
6．【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y2即为
y2=﹣x，
可得准线方程为x=．
故选：D．
7．【答案】A
【解析】解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，
∴条件q：x＜﹣2或x＞1
∵q是p的充分不必要条件
∴a≥1
故选A．
8．【答案】A
【解析】解：∵z=2﹣i，
∴====，
∴=10•=4+2i，
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C ． 故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
10．【答案】B
【解析】解：由a 2
≠1，解得a ≠±1．
∴“a ≠1”推不出“a 2≠1”，反之由a 2
≠1，解得a ≠1． ∴“a ≠1”是“a 2
≠1”的必要不充分条件．
故选：B ．
【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0
(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用. 12．【答案】A
【解析】解：设A （x 1，x 12），B （x 2，x 22
），
将直线与抛物线方程联立得
， 消去y 得：x 2
﹣mx ﹣1=0，
根据韦达定理得：x 1x 2=﹣1，
由=（x 1，x 12），
=（x 2，x 22），
得到=x 1x 2+（x 1x 2）2=﹣1+1=0，
则
⊥
，
∴△AOB 为直角三角形． 故选A
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有韦达定理，平面向量的数量积运算，以及两向量垂直时满足的条件，曲线与直线的交点问题，常常联立曲线与直线的方程，消去一个变量得到关于另外一个变量的一元二次方程，利用韦达定理来解决问题，本题证明垂直的方法为：根据平面向量的数量积为0，两向量互相垂直．
二、填空题
13．【答案】6
π
，18+ 【解析】
14．【答案】a≤4．
【解析】解：令t=x2﹣ax+a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，
可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，
故有，解得a≤4，
故实数a的取值范围是a≤4，
故答案为：a≤4
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．15．【答案】（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
【解析】解：函数f（x）=x2e x的导数为y′=2xe x+x2e x =xe x（x+2），
令y′=0，则x=0或﹣2，
﹣2＜x＜0上单调递减，（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，
∴0或﹣2是函数的极值点，
∵函数f（x）=x2e x在区间（a，a+1）上存在极值点，
∴a＜﹣2＜a+1或a＜0＜a+1，
∴﹣3＜a＜﹣2或﹣1＜a＜0．
故答案为：（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）．
16．【答案】2．
【解析】解：所求的值为（x﹣cosx）|﹣11
=（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1））
=2﹣cos1+cos1
=2．
故答案为：2．
17．【答案】（﹣1，1]．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
18．【答案】①③④⑥
【解析】解：①∵x与同号，故=|x|+||，由|x|＞0，||＞0
∴=|x|+||≥2=≥2，故正确；
②y==+，由＞0，＞0，
∴y=+≥2=2，故正确；
③当＜x＜1时，log2x＜0时，y=log2x+log x2≤﹣2，故错误；
④由3x＞0，3﹣x＞0，
∴y=3x+3﹣x≥2=2，故正确；
⑤当x＜0时，≤﹣6，故错误；
⑥∵＞0，＞0，
则≥=2，故正确；
⑦∵x2＞0，故y=log2x2∈（﹣∞，+∞），故y=log2x2+2∈（﹣∞，+∞），故错误；
故答案为：①③④⑥
【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得
P（A1）=0。

1+0。

2+0。

3=0。

6，P（A2）=0。

1+0。

4=0。

5，
P（A1）＞P（A2）, 甲应选择L i
P（B1）=0。

1+0。

2+0。

3+0。

2=0。

8，P（B2）=0。

1+0。

4+0。

4=0。

9，
P（B2）＞P（B1）, 乙应选择L2。

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知
,又由题意知，A,B独立，
20．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x2≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=．
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．
21．【答案】
【解析】解：∵，∴f′（x）=x2﹣4，
由f′（x）=x2﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，
∵x∈[0，3]，∴x=2，
x f′x f x
极小值
当x=0时，f（x）max=f（0）=4，
当x=2时，．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
23．【答案】
【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C42×C52=6×10=60种；
（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，
故选人种数为C41×C53+C42×C52+C43×C51=40+60+20=120．
男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，故总的选法有C32+C41×C31+C42=21，
故有120﹣21=99．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆的定义及方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量数量积等基础知识，意在考查学生逻辑思维能力、运算求解能力、探索能力，以及分类讨论思想、待定系数法、设而不求法的应用．
下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-恒成立． 当直线l 的斜率为0时，结论成立；
当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，
由1x ty =+及2
212
x y +=，得22(2)210t y ty ++-=， 所以0∆>，∴12122221,22
t y y y y t t +=-=-++． 111x ty =+，221x ty =+， ∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -⋅-=--+=2(1)t +121211()416
y y t y y -++＝ 22222211212217(1)242162(2)1616
t t t t t t t t --+-++⋅+=+=-+++． 综上所述，在x 轴上存在点5(,0)4Q 使得716
QA QB ⋅=-恒成立．。