阜城中学2017-2018学年高二数学上学期第五次月考试题 理

2017学年高二年级第五次月考试题
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．方程
22
1102
x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（ ）
A ．()2,+∞
B ．()()2,66,10
C ．()2,10
D ．()2,6
2．命题“对任意x ∈R ，都有2
0x ≥"的否定为( )
A ．对任意x ∈R ，都有2
0x < B ．不存在x ∈R ,
都有2
0x <
C ．存在0x
∈R ，使得2
00x ≥
D ．存在0
x
∈R ，使
得20
0x
<
3．设x ∈R ，则“12x -<”是“2
450x x --<"的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 作x 轴
的垂线交椭圆于点P ，过P 与原点O 的直线交椭圆于另一点Q ,则1
F PQ ∆的周长为（ )
A ．4
B ．8
C ．413+
D ．213+
5．某种商品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据,用最
小二乘法得出ˆy 与x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5y x =+，则表
中的m 的值为（ )
A ．45
B ．50
C ．55
D ．60 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）
A ．310
π B ．320
π C ．3110
π- D ．3120
π
-
7．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线
28y x =-的准线分别交于,A B 两点，
O 为坐标原点，若ABO ∆的面积为43 ） A ．
7
2
B ．2
C 13
D ．4
8．执行如图的程序框图,则输出K 的值为（ )
A ．98
B ．99
C ．100
D ．101 9．如下图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．96
B ．8042π+
C ．)96421π
+
D ．()
9642
21π+
10．如下图，在三棱柱111
ABC A B C -中，底面为正三角形,
侧棱垂直底面，4AB =，1
6AA =．若,E F 分别是棱1
1
,BB CC 上
的点，且1
BE B E =,1
113
C F CC =，则异面直线1
A E 与AF 所成角
的余弦值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．2
D ．2
11．定义方程()()f x f x '=的实数根0
x 叫做函数()f x 的“新驻点",若函数()g x x =,()()ln 1h x x =+，()3
1x x
ϕ=-的“新驻点”
分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）
A ．αβγ>>
B ．βαγ>>
C ．γαβ>>
D ．βγα>>
12．设过抛物线2
4y
x =的焦点F 的直线l 交抛物线于点,A B ，若以AB 为直径的圆过点()1,2P -，且与x 轴交于
(),0M m ，(),0N n 两点，则mn =（
)
A ．3
B ．2
C ．—3
D ．—2
第Ⅱ卷(共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．如果函数()()3
24f x x ax a x =++-,()a R ∈的导函数()f x '是偶
函数,则曲线()y f x =在原点处的切线方程
是 ．
14．已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，
过1
F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于,A B 两点．若
22::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的离心率为
．
15．点P 是曲线2
ln y x
x =-上任意一点，则点P 到直线
2y x =-的距离的最小值是 ．
16．已知抛物线()2
:20C y
px p =>的焦点为F
，过点F 的直
线l 与抛物线C 及其准线分别交于,P Q 两点,3QF FP =,则直线l 的斜率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线2
45y
x =的焦点，且椭圆E 的离心率是
6
3
. （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点()1,0C -的动直线与椭圆E 相交于,A B 两点。

若线段AB 的中点的横坐标是12
-，求直线AB 的方程。

18． 如图,ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面
ABCD ,AF DE ∥，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为
60°．
（Ⅰ）求证:AC ⊥平面BDE ．
（Ⅱ）求锐二面角F BE D --的余弦值．
(Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥面BEF ，并证明你的结论． 19．
已知椭圆方程C 为:()22
221,0x y a b a b
+=>>椭圆的右焦点
为()1,0，离心率为12
e =,直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B 、两点,且3
4
OA OB
k
k ⋅=- （1)椭圆的方程 （2)求AOB ∆的面积；
20． 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，
（1）求图中x 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数;
（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X ，求X 的分布列及均值． 21．
已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为1
2，且过点
(，,A B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点。

（1）求椭圆C 的方程;
(2）已知直线:8l x =，且1
AA l ⊥，垂足为1
A ，1
BB l ⊥，垂足
为1
B ，若()3,0D ，且11
A B D ∆的面积是ABD ∆面积的5倍，求
ABD ∆面积的最大值.
22．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
1
2
F F 、，椭圆C
过点1,
2P ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，直线1PF 交y 轴于Q ，且22PF QO =，O 为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆C 于,A B 两点，设这两条直线的斜率分别为1
2
,k k ，
且1
22k
k +=，证明：直线AB 过定点．
2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案 一、选择题
1-5:DDACD 6—10：DBCCD 11、12:CC 二、填空题
13．4
y x
=-14
15
．
16
．
三、解答题
17．解：（1）由题知椭圆E的焦点在x
轴上，且a=
又c ea===
，故b==，
故椭圆E的方程为221
5
5
3
x y
+=，即2235
x y
+=.
（2）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程
为()1
y k x
=+，将其代入2235
x y
+=，
消去y，整理得()
2222
316350
k x k x k
+++-=.
设,A B两点坐标分别为()
11
,x y,()
22
,x y.
则
()()
422
2
122
36431350,*
6
31
k k k
k
x x
k
⎧∆=-⋅+⋅->
⎪
⎨
+=-
⎪
+
⎩
由线段AB中点的横坐标是1
2
-，得2
12
2
31
2312
x x k
k
+
=-=-
+
,
解得
3
k=±，符合(＊）式.
所以直线AB
的方程为10
x+=
或10
x+=.
18．解析：（Ⅰ)证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴DE AC
⊥，
又∵ABCD是正方形,∴AC BD
⊥，
∵BD DE D =，∴AC⊥平面BDE．
(Ⅱ）∵,,DA DC DE 两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系D xyz -,
∵BE 与平面ABCD 所成角为60°,即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB
=
，
由3AD =，可知：36DE =，6AF =．
则()3,0,0A ，()3,0,6F ,()0,0,36E ,()3,3,0B ，()0,3,0C , ∴()0,3,6BE =-，()3,0,26EF =-，
设平面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则
n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即3603260y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令6z =，则()4,2,6n =．
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量,∴
()3,3,0CA =-,
所以613
cos
,13
3226n CA n CA n CA
⋅=
=
=
⨯．因为二面角为锐角, 故二面角F BE D --的余弦值为
13
13
．
(Ⅲ）依题意得，设()(),,00M t t t >，则()3,,0AM t t =-，
∵AM ∥平面BEF ，∴0AM n ⋅=，即()4020t t -+=，解得：2t =，
∴点M 的坐标为()2,2,0，
此时23
DM DB =，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点．
19．解：(1）由已知11,2
c c a
==，∴2a =，∴2
223b
a c =-=
椭圆方程为:22
143
x y +=
（2)设()11,A x y ,()22,B x y ，则,A B 的坐标满足22
1
4
3x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 化简得，()2
2
23484120k x
kmx m +++-=，122
834km
x x k +=-
+
2122
412
034m x x k
-=->+，得22430k m -+> ()()1212y y kx m kx m =++=()21212k x x km x x m +++, 2222
2
2224128312343434m km m k k km m k k k --⎛⎫=+-+= ⎪+++⎝⎭。

3
4OA OB K K ⋅=-
，121234
y y x x -=，即121234y y x x -= ∴22222
312341234434m k m k k ---=++ 22243m k -=，
AB =
=
==O 到直线y
kx m =+的距离d =
∴
12AOB
S
d AB ∆===
==. 20．解:（1）∵小矩形的面积等于频率， ∴除[)35,40外的频率和为0。

70， ∴10.700.065
x -==.
故500名志愿者中，年龄在[)35,40岁的人数为
0.065500150⨯⨯=(人）．
（2)用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．
故X 的可能取值为0，1，2，3，
()3832014
0285C P X C ===
，()1
212832028195C C P X C ===， ()2112832044295C C P X C ===
，()312
32011357
C P X C ===，
故X 的分布列为
∴()14012328595955795
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。

21．解：(1）依题意2
2222123
1,,
a b a b c ⎧+=⎪⎨
⎪=+⎩解得4,2,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
故椭圆C 的方程为22
11612
x y +=。

(2）设直线AB 与x 轴相交于点(),0R r
1
32
ABD A B S r y y ∆=
-⋅-，11111
52
A B D
A B S
y y ∆=
⨯⨯-，
由于115A B D
ABD S
S ∆∆=且11A B A B
y y y y -=-，
得553r =⨯-，4r =（舍去)或2r =， 即直线AB 经过点()2,0F ,
设()1
1
,A x y ，()2
2
,B x y ，AB 的直线方程为：2x my =+,
由222,3448,
x my x y =+⎧⎨+=⎩即()223412360m y my ++-=,
1221234m y y m -+=+，122
36
34
y y m -=+，
1212ABD
S y y ∆=-==
311
m =++
， 令1t =
≥，所以21212
1
313ABD t S t t t
∆=
=
++， 因为11
333t t t t ⎛⎫
⎪+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭
，所以13t t
+在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，所以在[)1,t ∈+∞上单调递增， 所以134t t
+≥，所以3ABD
S
∆≤(当且仅当1t ==，即0m =时“=”成立）， 故ABD
S
∆的最大值为3。

22．解:（1
）∵椭圆C 过点1,2P ⎛ ⎝
⎭
，∴221112a b +=①， ∵2
2PF
QO =,∴212PF F F ⊥，则1c =,∴221a b -=②，
由①②得2
2a
=,21b =，
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2）当直线AB 的斜率不存在时，设()0
,A x y ，则()0
,B x y -,
由122k
k +=得
0000
11
2y y x x ---+= 得0
1x
=-，
当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y kx m m =+≠，
()11,A x y ,()22,B x y ，
()2
2221
122
x y k x y kx m ⎧+=⎪⇒+⎨⎪=+⎩
24220kmx m ++-=， 得122412km x x k -+=+,2122
22
12m x x k -⋅=+,
12121211
22y y k k x x --+=⇒
+=()()211221
112kx m x kx m x x x +-++-⇒=, 即()()()21
2
1221k x x m x
x -=-+⇒()()()()2222214k m m km --=--，
由1m ≠,()()111k m km k m -+=-⇒=+， 即()1y kx m m x m =+=++()1m x y x ⇒+=-． 故直线AB 过定点()1,1--．
2017学年高二年级第五次月考理科数学试题参考答案
一、选择题
123456789101112 D D A C D D B C C D C C
二、填空题
13、4
=-14、13
y x
15、216、15
±
三、解答题
17、解析：（1)由题知椭圆E的焦点在x轴上,且a＝5,
又c ＝ea ＝错误!×错误!＝错误!,故b ＝错误!＝错误!＝错误!， 故椭圆E 的方程为错误!＋错误!＝1，即x 2＋3y 2＝5。

18、解析：（Ⅰ)证明：∵DE ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥，
又∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥， ∵BD
DE D
=，∴AC ⊥平面BDE ．
（Ⅱ）∵DA ，DC ，DE 两两垂直,所以建立如图空间直角坐标系D xyz -，
∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，
∴3ED
DB
由3AD =，可知：36DE =,6AF 则(3,0,0)A ，(3,0,
6)
F ，(0,0,36)E ,(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，
∴(0,BF =-
，(3,0,EF =-，
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =，则
00
n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即
30
30
y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，
令z (4,2,
6)
n =．
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量， ∴
(3,3,0)
CA =-，
所以cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅=
=
．因为二面角为锐角，
故二面角F BE D --．
（Ⅲ）依题意得，设(,,0)(0)M t t t >，则(3,,0)AM t t =-,
∵AM ∥平面BEF ,∴0AM n ⋅=，即4(0)20t t -+=，解得：2t =， ∴点M 的坐标为(2,2,0)，
此时2
3
DM DB =，∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点． 19、【解析】（1）由已知11,2
c c a
== 2a ∴= 2
223b
a c ∴=-=
∴椭圆方程为：
22
143
x y += (2)设A （1
1
,)x y ，B ()22,x y ,则A ，
B 的坐标满足22
1
{ 43
x y y kx m
+==+ 消去y 化简得， ()2
2
23484120k x
kmx m +++-=， 122
834km
x x k +=-
+
2122
41234m x x k -=+，
0>得22430k m -+>
()()()212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++, 2222
2
2224128312343434m km m k k km m k k k --⎛⎫=+-+= ⎪+++⎝⎭。

3
4OA OB K K ⋅=-
， 121234
y y x x -=，即121234y y x x -= 22222
3123412
34434m k m k k ---∴=
++即
22243
m k -=，(
)
()(
)
()
()
2
22
2
2
12122
24843
AB 14134k m k
x x x x k
k -+⎡⎤=
++-=
+⎣⎦
+=
)
22
342k +=
O 到直线y kx m =+的距离d =
(
22
2
2411234AOB
k S
d AB k +∴===+
22
24
34k
==+
20、【解析】 (1）∵小矩形的面积等于频率,∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴x ＝错误!＝0.06。

故500名志愿者中，年龄在［35，40)岁的人数为0。

06×5×500＝150（人）．
(2）用分层抽样的方法，从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁"的人有8名．
故X 的可能取值为0,1，2，3，
P （X ＝0）＝C 3，8
C 320
＝错误!，P （X ＝1）＝错误!＝错误!，
P （X ＝2）＝错误!＝错误!，P （X ＝3)＝错误!＝错误!，
故X 的分布列为
∴E （X ）＝0×错误!＋1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＝
错误!.
(1)依题意
222221,2123
{1, ,
c a a b
a b c =+==+解得4,
{ 2,
a b c === 故椭圆C 的方程为22
11612
x y +=.
（2）设直线AB 与x 轴相交于点(),0R r
1
32
ABD A B S r y y ∆=
-⋅-，
11111
52
A B D A B S y y ∆=
⨯⨯-，
由于115A B D
ABD S
S ∆∆=且11A B A B
y y y y -=-，得553r =⨯-,
4r =（舍去）
或2r =，
即直线AB 经过点()2,0F ， 设()11,A x y ， ()22,B x y ， AB 的直线方程为： 2x my =+，
由
22
2,
{
3448,
x my x y =++=即()
2
23412360
m
y my ++-=，
1221234
m y y m -+=
+，
12236
34
y y m -=
+，
()212121211422ABD S y y y y y y ∆=-=+- ()2221
1234m m +=+ ()
22112311m m +=++， 令211t m =+≥，所以212121313ABD t S t t t
∆==++, 因为11333t t t t ⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以13t t +在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，所以在[)1,t ∈+∞上单调递增, 所以134t t +≥，所以3ABD S ∆≤（当且仅当211t m =+=,即0m =时“=”成立)，
故ABD S ∆的最大值为3。

22。

试题解析：（1）∵椭圆C 过点21,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，∴221112a b +=① ， ∵22PF
QO =，∴212PF F F ⊥，则1c =，∴221a b -=②，由①②得222,1a b ==，
∴椭圆C 的方程为2212
x y +=
得2121222
422,?1212km m x x x x k k --+==++，
()()2112
12121221
111
1222kx m x kx m x y y k k x x x x +-++---+=⇒+=⇒=,
即()()()()()()()22121221222214k x x m x x k m m km -=-+⇒--=--， 由()()1,111m k m km k m ≠-+=-⇒=+， 即()()11y kx m m x m m x y x =+=++⇒+=-． 故直线AB 过定点()1,1--．。