高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》真题汇编含解析

数学《复数》复习知识点
一、选择题
1．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹.
【详解】 2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.
因此，点Z 的轨迹为线段.
故选：D.
【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.
【详解】
由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，
∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．
∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，
∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，
故选B.
【点睛】
本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.
3．
若1+是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）
A ．2,3b c ==
B ．2,1b c ==-
C ．2,1b c =-=-
D ．2,3b c =-=
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意，将根代入实系数方程x 2+bx +c ＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ，b
的方程组100b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩
，解方程得出a ，b 的值即可选出正确选项 【详解】
由题意
1是关于x 的实系数方程x 2+bx +c ＝0
∴
﹣2+
b bi +
c ＝0
，即()
10b c i -+++=
∴100
b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得b ＝﹣2，c ＝3 故选：D ．
【点睛】
本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题
4．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）
A ．1
B ．i
C ．1-
D ．i -
【答案】A
【解析】 ()12i z i +=22(1)112
i i i z i i -⇒=
==++，所以z 的虚部是1，选A. 5．若43i z =+，则z z
=（ ） A ．1
B ．1-
C ．4355i +
D ．4355i - 【答案】D
【解析】
【详解】
由题意可得
：5z ==，且：43z i =-， 据此有：4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
6．已知(,)a bi a b R +∈是
11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12-
C ．12
D ．1 【答案】A
【解析】
【分析】 先利用复数的除法运算法则求出
11i i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．
【详解】 ()()21(1)21112
i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，
∴a ＝0，b ＝﹣1，
∴a +b ＝﹣1，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ）
A ．13i +
B ．2i +
C ．12i +
D ．12i -
【答案】C
【解析】
【分析】 根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.
【详解】
由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.
故选：C
【点睛】
此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.
8．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ）
A ．11
88i + B ．11
88i -+ C ．11
88i -- D ．1188
i -
【解析】
【分析】 计算得到18
i z --=
，再计算共轭复数得到答案. 【详解】 21111(12)1,,44888i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B .
【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
9．已知
2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i -=+，再利用复数相等列方程求出,a b 的值，从而可得结果.
【详解】 因为2
2222a i ai i ai b i i i
+--==-=+- ，,a b ∈R ， 所以2211
b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
10．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若
231z i i =+-，则4z i +=（ ）
A ．6
B ．50
C ．
D 【答案】C
【解析】
【分析】
计算5z i =-，再代入计算得到答案.
由231z i i
=+-，得()()2315z i i i =+-=-，则45455z i i i i +=++=+= 故选：C ．
【点睛】
本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
11．复数
12i 2i +=-（ ）． A ．i
B ．1i +
C ．i -
D ．1i -
【答案】A
【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5
i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
12．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
【详解】 由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()
10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
13．复数z 满足(2)1i z i -=+，那么||z =（ ）
A ．5
B ．15
C ．25 D
【解析】
【分析】 化简得到1355
z i =
+，再计算复数模得到答案. 【详解】
(2)1i z i -=+，∴1(1)(2)13255i i i i z i ++++=
==-，∴1355z i =+，∴||5
z =. 故选：D .
【点睛】 本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.
14．已知复数z 满足21zi z i +=-，则z =
A ．12i +
B ．12i -
C ．1i +
D ．1i - 【答案】C
【解析】
【分析】
设出复数z ，根据复数相等求得结果.
【详解】
设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故()()()()22221zi z a bi i a bi b a a b i i +=++-=-++-=-，
故2121b a a b -+=⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
. 所以1z i =+.
故选：C .
【点睛】
本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.
15．已知复数122i z i +=
- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．i
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则，和复数的定义即可得到答案．
【详解】
复数()()()()1221252225
i i i i z i i i i +++====--+，所以复数z 的虚部为1，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算法则和复数的概念，其中解答中熟记复数的基本运算法则和复数的概念及分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．设复数z a bi =+（i 为虚数单位，,a b ∈R ），若,a b 满足关系式2a b t =-，且z 在复平面上的轨迹经过三个象限，则t 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C ．(0,1)(1,)⋃+∞
D ．(1,)-+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据复数的几何意义得到z 的轨迹方程2x y t =-，再根据指数函数的图象，得到关于t 的不等式，求解.
【详解】
由复数的几何意义可知，设复数对应的复平面内的点为(),x y ，
2a x a y b t
=⎧⎨==-⎩ ，即2x y t =- ， 因为z 在复平面上的轨迹经过三个象限，
则当0x =时，11t -< 且10t -≠ ，
解得0t >且1t ≠ ，
即t 的取值范围是()()0,11,+∞U .
故选：C
【点睛】
本题考查复数的几何意义，以及轨迹方程，函数图象，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
17．设复数21i x i
=
-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x +++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．1i +
B ．i -
C ．i
D ．0 【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果．
【详解】
解：复数2(1i x i i
=-是虚数单位）， 而1122332020202020202020
202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2
121(1)111(1)(1)
i i i i x i i i i i -++++====--+-， 故11223320202020202020202020
202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
18．已知复数134z i
=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3
B ．复数z 的虚部为425i
C ．复数z 的共轭复数为
342525i + D ．复数的模为1
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用复数的基本概念得选项.
【详解】 1343434252525
i z i i -===-+， 所以z 的实部为
325，虚部为425- ，
z 的共轭复数为342525i +15=， 故选C.
【点睛】
该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.
19．复数3
21
i i -（i 为虚数单位）的共轭复数是 （ ） A ．2155i -+ B ．2133i + C ．2155i -- D ．2133
i - 【答案】C
【解析】
试题分析：由题；
3(21)221
21(21)(21)555
i i i i
i
i i i
-+-
===-+
--+-
，则共轭复数为：
21
55
i
--．
考点：复数的运算及共轭复数的概念.
20．若复数z满足22
iz i
=-（i为虚数单位)，则z的共轭复数z在复平面内对应的点所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z的共轭复数，即可得到z在复平面内对应的点所在的象限．
详解：由题意，
()()
()
22
22
22,
i i
i
z i
i i i
-⋅-
-
===--
⋅-
Q
22,
z i
∴=-+则z的共轭复数z对应的点在第二象限.
故选B.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．。