分类讨论在一元二次方程中的应用

值 的符 号 ， 于 解 题 ． 便
例 ４ 若 实 数 ｎ ６满 足 一 ｎ ５ ０，ｚ ８ ＋ ＝ ． 、 ８ ＋ ＝ ６一 ６ ５ ０ 求
的值 ．
＋
解： 由方 程 根 的定 义 ， ｎ ｂ是 方 程 Ｘ－ ｘ ５ ０的两 个 根 ． 知 、 ２ ８＋ ＝
． ．
ｎ＋ｂ＝８． ｂ＝５． ａ ｂ－ 一１ ＝一２ ０．
的取值范 围． 解 ： ｍ ＝ 即 ｍ＝ 当 ０， ０时 ， 原 方 程 为 一 元 一 次 方 程 ＋１ ０， 实 数 根 ＝ ． ＝ 有 一１
当 ｍ ≠０， ｍ≠０时 ， 程 为 二 次 方 程 ， ｚ 即 方 由有 实 根 的 条 件 得 ，
△＝ ２ （ ｍ＋１ ４ ４ １ ）一 ｍ ＝ ｍ＋ ≥０ ，
方 程 一 ｒ ＋ ｍ２ ４ ５ ０的根 为 Ｉ５ ．＝ １ 均 为 整 数 ， ４ ｘ ４ － ｍ一 ＝ ｅ ＝ ，７ 一 ， ９ １ ２
‘
． ．
ｍ ＝ １ ．
温 馨 小提 示 ： 据 方程 的 根 是 否 为 整 数 进 行 分 类 讨 论 ． 根
例 ３ 已 知 关 于 ｚ的方 程 ｉ２ （ ２ ２ ｊ ｍ一 ） —ｍ ｇ
’
’
事 实 上 ， 设 中 的 ｎ与 ｂ是 可 以相 等 的 ． 题 当 ａ ｂ时 ， 式 ＝ ． ＝ 原 ２
综上所 述 ： 口 当 ≠ｂ时 ， 式 ： ２ ； ａ ｂ时 ， 式 ＝ ． 原 一０ 当 ＝ 原 ２ 温 馨 小提 示 ： 分 类 讨 论 的 方 法 解 题 的 一 般 步 骤 是 ： １ 明确 用 （）
， ＝１ ２ ＋
．
若 ｌ ２ ≥０， ≤０， ０ Ｘ＝ １２ 贝 一 ２ ＋ ．
’
． ．
ｌ ２ 一２． ＋ ｍ ＝０．
‘ ． ．
此 时 Ｘ＋ ｘ Ｏ ２２ ＝ ．
‘ ． ．
Ｉ ，２ ＝０ ：一２．
温 馨 小提 示 ： 据 方程 根 的 ａ 负进 行 分 类 讨 论 ， 根 Ｙ － ． 旨在 去 掉 绝 对
—
１ ２， ）＋
不论 ｍ取何值 ，（ ２ ｍ一１ ２ ０， Ａ＞ ． ）＋ ＞ 即 ０
・ ． ．
方 程 总 有 两个 相 异 的 实 根 ．
一 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 一
…
…
…
言试【
（ ’ － ｚ 一ｍ ≤０ ２）。 ‘ ＝ ２ ．
又 ／ 是 整 数 ， ｍ≠０， ７ ／ ， 且
・ ．
．
ｍ＝ １或 １ 一 ．
当 ｍ＝ 一１时 ， 程 ｍ ２４ ＋ ＝ 方 ， － ｘ ４ ０为 一７ ４ ＋ ＝ ， ｘ ．－ ｘ ４ ０ １ ２
解得 Ｘ － ￣ 、 ， 是整数根 ， ｍ： １ ＝ ２ ２／ 不 故 一 舍去 ．
当 ｍ＝ １时 ， 程 ？ ２ ４ ＋ ＝ 方 ｎ － ｘ ４ ０的根 为 Ｘ＝ ２ ２ Ｘ ｌ ＝ ．
。 ．
．
ｍ ≠ ０．
又 由于 两 个 方 程 均 有 实 根 ，
・ ．
．
Ａ１ （ ４ ４ ４ ＝ 一 ）一 ｍｘ ≥０， 得 ｍ≤ １ 解 ．
△ ＝（ ４ ４ １ （ ｍ ＿ ｍ一 ≥０ ２ 一 ｍ）一 ｘ × ４ ２ ４ ５） ，
解 ≥ ｊ・ 得ｍ 一
‘
一
・
．
ｊ≤ ≤ ・ ｍ １
责 任 编 辑 ： 二喜 王
在 数 学 中 ， 据 研 究 对 象 的性 质 差 异 ， 别 对 各 种 不 同 情 况 予 根 分
以 分 析 的方 法 叫分 类 讨 论 ． 文 以一 元 二 次 方 程 为 例 ， 谈 分 类 讨 本 谈
论 在 解 题 中 的运 用 ．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例 １ 已知 关 于 的 方 程 ｍ ＋ ２ （ ｍ＋１ ＝ ） ＋１ ０有 实 数 根 ， ｍ 求
……
… … … … … …… 一
的 可能．
例 ２ 当 ｍ 是 什 么 整 数 时 ，关 于 的 一 元 二 次 方 程 ｇ ２ ＋ ／ － ／ ｘ ， ４ ０与 ２ ４ ｘ ４ ２ ４ ５ ０的 根 都 是 整 数 ． ＝ ｒ ＋ ｍ － ｍ一 ＝ ｅ 解 ： 于 给 出 的关 于 的 方 程 是 一 元 二 次 方 程 ， 由
，
－ ． ．
１ ≤０，２ ≥０或 １ ２ ． ≥０， ≤０
若 Ｊ ２ ≤０， ≥０， ０ ＝ ＋ ． 贝 ２ 一 ｌ ２
‘ ． ．
１ ２ ２． ＋
又 ｌ ＝ｎ ， ＋ ２ ，一２
‘
．
．
ｍ ＝４．
此 时 Ｘ－ ｘ ４ ０ ２２ 一 ＝ ．
・
．
．
ｌ 一 ＝１
１
解得 Ｉ ÷． Ｔ ／ ， ≥一
Ｈ －
，
１
所以ｍ 一 且ｍ ０ ≥ 寺， ￣ ．
１
原 程 实根， 的 值范围 ≥ ÷． 方 有 ｍ 取 是ｍ 一
温 馨 小提 示 ： 里 没 有 指 明是 二 次 方 程 ， 这 故要 考 虑 是 一 次 方 程
Ｉ 童试 … … … … … … 一 … … … …
＝０．
（ ） 证 ： 论 ｍ取什么实数值 ， 个方程总有两个相异实根 ； １求 无 这 （ 若 这 个 方 程 的 两 个 实 数 根 。 ： 足 Ｉ Ｉｌ。 ２ 求 ｍ 的 值 ２） 、 满 ＝ｘ１ ， ： ＋
及 相 应 的 、 孙
解 ： １ △ 一 ｍ～ ］－ （ ） ２ ｍ （ ） ＝［ （ ２）２４ 一 ｍ２＝ （
讨 论 的 对 象 ， ２ 进 行 合 理 分 类 ， ３ 逐 类 讨 论 ， ４） 纳 并 作 出结 （） （） （ 归
论．
园 考试 －…一 … ……一 。 。 。
…………， … … 一 …