人教版数学九年级上册24.2.1反证法教学课件(共23张PPT)

A
P C
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_°
说明这：本与_例_三_中_角__“形__的是__三_锐_个_角_内__(角_小_和_于_等__9于_0_1°_8_0_)°”_矛的盾；
所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
24.2.1 反证法
廊坊市第七中学 何静
例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上 • 求证：过A、 B、 C三点不能作圆 • 证明：假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。 • 设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分
所以假设不成立，原命题结论成立， 即 l１∥l３
甲：在十一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,10 月4号我确实 和甲在廊坊 “万达”逛街！
乙：这不可能，10月4 号上午还看见你和丙在 廊坊“万达”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从10月1号至6号或是2号至7号 在新加坡，即10月4号甲在新加坡， 这与“10月4号甲在廊坊市的万达”矛盾,
万事开头难，让我们走好第一步！
假设否“李则子甜”推不成立不出矛盾，或者不能断定推出的结果是
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.
错误的。 最多的反面是不止。
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角. 综上所述,假设不成立.
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
a不是实数
（6) a大于2。
a小于或等于２
（7）a小于2。
a大于或等于２
（8）至少有2个
没有两个
（9）最多有一个
不止有一个
（10）两条直线相交。 两直线平行
合作学习求证: :在同一平面内,如果一条直线和两条平 例2: 行线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1, l2, l3在同一平面内,且l1∥l2, l3与l1相
反证法的一般步骤:
假设
假设命题结 论反面成立
假设命题结 论不成立
推理得出 的结论
什么时候运用反证法呢？
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所证命题 成立
大家议一议！
哪些题型宜用反证法 ？
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈 述的命题；
（3）关于“唯一性”结论的命题； （4）一些不等量命题的证明； （5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等 .(如平行线的传递性的证明）
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
先假设命题的结论不成立,
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止 写出下列各结论的反面：
2、已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1 ≠ ∠2
聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？ 你会释放谁？
请与大家分享你的判断！
独立 作业
知识的升华
用反证法证明下列命题： 1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。 2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。
求证：CD ∥EF。 3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
祝你们学习进步！
合作学习:
否定不当或有所遗漏； 乙：甲没有去新加坡玩了6天.
与定理，定义，公理矛盾
证明：假（设过A2、）B、 C推三点可理以作一过个圆程。 必须完整，否则不能说明命题 的真伪性； 在证明一个命题时,人们有时
Ｅ说：这里有５个人说谎．
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件， 这与____________________________矛盾；
小故事:
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了李子.小伙伴们纷 纷去摘取李子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线 平行,那么这两条直线也互相平行.
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 p 求证： l１∥l３
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
结 出 、 （2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； 论 推理论证 矛 定 这与____________________________矛盾；
的 盾 理 这与“_______________________ _____________”矛盾.
即过同一直线上的三点不能作圆。
反 与定理，定义，公理矛盾 面 ∠B+ ∠C= 180°
线 上，又在线段BC的垂直平分线 上，
即点P为 与 的交点，而
这与我们以前学过的
“过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”相矛盾。
所以，假设不成立的。
所以，原命题成立。
即过同一直线上的三点不能作圆。
反证法定义:
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题的结论不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设不成立，是错误的, 即原命题成立.
这与____________________________矛盾；
正
反确设
（等 已） 知
、归谬
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面： （1）a//b； （2）a≥0； （3）b是正数； （4）a⊥b
a∥b a<0 b是0或负数 a不垂直于b
（5）a是实数。
试试看!
1、用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个 角大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度 Ａ
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠Ａ＿＜＿６０°， ∠Ｂ＿＜＿６０°，∠Ｃ＿＜＿６０°
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
反面有当∠两B种是情_钝__况角__，时，这则时_∠_，_B_必+__∠_须_C_分＞__1_别8_0_证° C 明能命成题 立这B 与结 ，_论 最_三__反后角__形面才__的_的能_三_每肯_个__一定内__角种命__和_情题_等_况的_于__都 结1_8_0不 论_°_矛可 一盾； 定正确∴综∠.上B所一述定,是假锐设角不.成立.
交于点P.
求证: l3与l2相交.
l3
证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._, 那么__l_3∥_l_2____.
因为已知___l_1_∥_l2___,
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即原命题成立.
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立
∴a∥b
试试看
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。 求证：PB≠PC
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（SSS) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应 B 边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾， 假设不成立. ∴PB≠PC
这种证明方法叫做反证法.
反证法的一般步骤:
假设命题结 论不成立
假设 假设命题结
论反面成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所证命题 成立
回顾与归纳
假 在证明一个命题时,人们有时 设 ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）
公 得理
所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确,
B
点拨：至少的反面是没有！ 这于＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
C
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿，
所以，所求证最的结多论 成的立．反面是不止。
试一试
2、已知：如图，直线a,b被直线c所 截，∠1 ≠ ∠2
c a
1
求证：a∥b
b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)