第一章 弹性波动(1)

表示物体受到剪切 力作用时,剪切应力 与剪切应变之比.
泊松比 (ν)
沿Z轴施加压力 (σzz) ,
纵向应变: 纵向应变:
ezz =L/L
横向应变: 横向应变:
err = W/W
泊松比: 泊松比:
ν= - (err / ezz)
σ表示介质横向缩短与纵向伸长之比.在简单的拉 伸(或挤压应力作用下,物体的拉伸(或缩短)总是伴 随着垂直于应变方向的收缩(或膨胀).
[B]相互垂直的谐振动: 一个质点同时参与两个不同方向的振动,其位移是矢量合,其振动轨迹和形 状由T,A,φ来决定.有两个互相垂直的振动,位移方程分别为:
x = A1 cos( ω t + φ 1 )
y = A 2 cos( ω t + φ 2 )
消去参数 t ,得到质点轨迹的直角坐标方程:
一般来说这个方程是个椭圆型方程,椭圆性质 φ 2 φ1 由有关. 当 = 0,π 时,质点的运动轨迹是一条通过坐标园点的直线.
E表示圆型和多角形柱 表示圆型和多角形柱 体拉伸和压缩时, 体拉伸和压缩时,应 力与应变之比. 力与应变之比.
剪切模量( 剪切模量()及胡克定律
拉伸应力: 拉伸应力: σ =Fsinθ/A 剪切应力: 剪切应力: τ = Fcosθ/Α 剪切应变: 剪切应变: γ = L/L 胡克定律: 胡克定律: τ = γ (这里 is shear modulus)
τ xy ,τ yz ,τ zx
来表
应变
定义:弹性体收到外力作用时,会产生体积和 形状的变化,这种由于受外力作用后产生的形 体变化称为应变.
应变的分类
线应变:物体的长度为L,在外力的作用下 相对于L的形变量为L,则比值叫线应变.
ε
L
l = l
面应变: 若物体长度为L,截面积为S,在外 力的作用下,相对的面积变量ΔS则比值叫面 S 应变. εS =
假设一质点当其同时参于两个(或以上)的简谐振动时,则质点的位移 是两个(或多个)振动位移的矢量和.而质点振动轨迹的形状,则由两个 简谐振动的 T,A,φ来决定. [A]最简单的是: x 1 = A1 cos( ω t + 1 ) 方向相同ω相同的谐振动: 式中A1,A2和Φ1,Φ2表示振动的振幅和初相位X1,X2表示同一直线 上的距同一平衡位置的位移.所以,合成位移X 仍然在同一条直线上,两 个位移的代数和为:
图 中 表示阻尼振动的质点位移随时间 变化的曲线.从图中可以看到,在每 一个位移极大值之后,隔一段固定时 间,出现一个较小的极大值,这一段 固定时间称为阻尼振动的周期.严格 的说,阻尼振动不能够算周期运动运 动,因为位移后,振幅不能够恢复原 值,故阻尼振动有校准周期振动
振动的合成: 振动的合成:
地震学基础第二讲
武巴特尔
主要内容
关于弹性介质的基本概念 地震学所研究的介质 应力和应变的一些概念 关于弹性模量的概念
关于弹性介质的基本概念
均匀介质 介质的连续性 各向同性 完全弹性
均匀介质
定义:是指物体内各点的弹性性质都相同 判断方法:凡速度不随空间坐标而变化的介质称 判断方法:凡速度不随空间坐标而变化的介质称 为均匀介质,反之则称为非均匀介质. 为均匀介质,反之则称为非均匀介质. 非均匀介质:在非均匀介质中,凡速度值相同的 非均匀介质:在非均匀介质中,凡速度值相同的 点可以构成一个区域,每个区域内介质都可以看 成是均匀的.速度不同的介质所在区域的分界处 成是均匀的.速度不同的介质所在区域的分界处 叫界面. 叫界面. 层状介质:非均匀介质中,介质的性质出现呈层 层状介质:非均匀介质中,介质的性质出现呈层 性,则称这种介质为层状介质.在层内速度是相 等的,叫层速度.
是否均匀连续
地表的土壤岩石层各点的弹性性质和连续性 都可能较差,但地震波的波长较大,在一 个波长内,都可以看成是均匀和连续的.
介质是否完全弹性
地表的土壤层和岩石,当远离震源时,仅受 到地震波的作用,质点受到的外力很小, 地动位移仅有几微米,持续时间也极短. 在此条件下,土壤和岩石层在整体上就都 显示了完全弹性.
应力和应变的一些概念
体力和面力 应力 应力分类 应变
体力和面力
体力在整个固体体积内起作用,其大小与 微元体积和质量成正比.如重力. 面力作用于体积元的边界面上,是由界面 一边的物质施加到另一边物质上的原子间 作用力造成的.
应力
应力的定义: 某物体在外力的作用下,其内部过某 一点的一个小面积S上,就会产生一个相应的内力 F.假如这个内力在平面上是连续分布的,我定义
σ = lin
f df = dS S → 0 S
→
也可以记为
F σ= S
应力分类
应力是面力,不同的外力不通性质的物体,其内部 各处的应力是不同的.应力有大小和方向,是由所 受外力的性质和固体介质本身性质决定的. 应力分为两类,其一正应力即垂直面元的力叫正应 力,用 σ x , σ y , σ z 表示. 把平行于面元的力叫切应力,用 示.
2 1
x2 y2 xy + 2 2 cos( φ 2 φ 1 ) = sin 2 (φ 2 φ 1 ) A12 A2 A1 A 2
当
2 φ1 = ±
π 时,方程变为椭圆方程: x 2
2
A 12
y2 + = 1 2 A2
此时若A1=A2则合成振动轨迹为园,若A1≠A2 则合成的轨迹为椭园. 我们还把两个方向相互垂直周期T相等谐振动合成轨迹是椭园,又叫椭园 极化.若轨迹为直线又叫线性极化.
A = [ A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(φ2 φ1 )]
1 2
从 A = ?的式中可以看出,合成振动的振幅A与原来两个振动的周相 相差 φ 2
φ1 有关,已常用的两个特例加以说明.
φ2 φ2 = 2κπ
1 2
a) 相位相同或周相差
,K为零和任意整数此时
1 2
A = [ A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(φ2 φ1 )] = [A1 + A2 + 2 A1 A2 ] = A1 + A2
关于弹性模量的一些概念
定义:表示弹性体性质的一些常数通常就叫弹性 模量如杨氏模量E,剪切模量,泊松比σ,体积 模量K ,和拉梅系数λ.
五个量之间的关系
杨氏模量 (E) 与 胡克定律
拉伸应力: σ = (F/A) 拉伸应力 ε = (L /L) 拉伸应变: 拉伸应变 胡克定律: E = σ/ε 胡克定律 这里 E 是杨氏模量
x 2 = A 2 cos( ω t + 2 )
X = x1 + x 2 = A1 cos( ω t + φ1 ) + A2 cos( ω t + φ 2 )
运用简单三角恒等式的关系,可以简化为:
x = A cos( ω t + φ )
式中A及Φ值分别为
A1 sin φ1 + A2 sin φ2 tgφ = A1 cos φ1 + A2 cos φ2
简谐振动
定义:一个作直线运动的质点,如果设其平衡为置为原点,取其运动轨迹沿X 轴方向,且质点离开平衡位置的位移X随时间变化的规律,遵从余(正)弦函数,这 种直线运动叫简谐运动,式中:
2π X = A cos( t + ) 或者 X = A cos( ω t + ) T
A 表示质点离开平衡位置最大位移的绝对值,叫振幅. T 质点谐振动的周期. ω 为园频率,表示2π秒内振动的周期数量 2π 有这样的关系式:
π
2
)
dV a= = dt
dX 2 dt 2
2 = ω 2 A cos(ωt + ) 式中ω A=am 叫加速度振幅
,
简谐振动的微分表达式
: 因
a = ω x
2
dx 或 dt
2 2
dx = ω x 可有下式: dt
2
2 2
+ ω 2t = 0
此式可知,简谐振动的加速度与位移恒 成正比,而方向且相反.
.
阻尼振动: 阻尼振动
由于阻尼作用的存在,使振动系统具有的 能量在振动过程中不断减少,因振动系统 的能量阻尼振动.与振幅的平方成正比,, 所以在能量减少的同时,振幅也随时间减 能量减少的同时, 能量减少的同时 这种振动称为阻尼振动. 少.这种振动称为阻尼振动. 振动系统的能量因阻尼减少的方式有两种, 其一是由于摩擦阻力使振动系统的能量逐 渐转为热能,叫摩擦阻尼 摩擦阻尼.另一种是由于 摩擦阻尼 振动系统引起临近质点的振动,使系统的 能量逐渐向四周辐射出去,转变为波动能 量,叫辐射阻尼 辐射阻尼. 辐射阻尼
介质连续性
指弹性介质是密实而连续的,并且能在正体 形变过程中 保持其"连续性",既任意相 保持其"连续性" 邻的两点形变后仍然任意相邻,不出现断 裂或重叠的现象.
各向同性
物体的弹性性质与考查方向无关,V 物体的弹性性质与考查方向无关,V 和方向 变化无关.
各向同性 就是指物理和化学性质不会随测 量的方向变化的特性,也就是说所测的数 值不依赖于测量的取向
合成振幅等于原来两个振幅之和,和振动振幅可以达到最大值. b)相位差相反或周相差 φ2
φ2 = (2κπ + 1)π , K = 0,±1,±2
1 2
此时cos(φ2 φ2 ) = -1
于是
A = [A1 + A2 + 2 A1 A2 ] = A1 A2
合成振幅等于原来的两个振动的振幅之差,合成振动的振幅值,可能 达到最小值.
简谐振动
定义:物体(质点)在离开平衡位置附近,作 来回往复的运动,我们称此为机械振动动. 振动周期 T : 每隔一个固定时间T运动重复 一次. 振动频率γ :每秒内振动的周期数,单位为 Hz(赫兹)T与γ互为倒数 γ=1/T,圆频率ω=2π/T.
振动中,最简单的形式为简谐振动,它是 周期性的直线运动,是研究复杂振动规律 的基础. 分类:按质点振动轨迹,简谐振动可分为 直线,曲线和曲面运动,后两者可以认为 是直线运动迭加而成. 假设在距震源距离为r1的A点观测质点振动 位随时间变化的规律,在时间图中,可以 看出该点地震波振动的以t为横坐标,质点 位移u为纵坐标的振动图.
S
体应变: 若物体的体积为V,在外力作用产 生的体积变化为V,则比值叫体应变.
εD =
V V
应变间的关系
一般来说,在纯压力(或张力)的作用下,物体内部 将形成正应力,这种正应力,将给物体造成线应 变. 而在剪切力的作用下,物体内部形成切应力,将 引起物体的角应变. . 通常物体受力后,质点间将产生正应力和切应力, 相应会引起物体的体应变. 体应变可以表示为,线段应变导致物体的线应变 和线段间的夹角引起的角应变两部分组成.
ω=
把位移X对时间t微分,可以得到质点运动速度:则有
T
= 2πγ
上式中令 Aω = Vm 叫速度振幅. 式中 (ωt+φ) 叫简谐振动的相位角,φ速度的初相位角,比位移超前π/2, 质点运动的加速度,是质点运动速度随时间的变化率记为:
dX dt
= A ω sin( ω t + ) = A ω cos(ωt + +
不可压缩性系数 (k) 或 容积模量 (B)
K表示固体受到均匀流体静压力作用时,所施 表示固体受到均匀流体静压力作用时, 表示固体受到均匀流体静压力作用时 加的静压力与体积相对变化之比. 加的静压力与体积相对变化之比.
上述五个模量又叫动弹模量,应用虎克定侓可以得到这五个弹性模量之间的 关系式: σ E
完全弹性
完全弹性介质:介质受到外力作用产生形 变,当外力消矢后介质立刻恢复到受力前 的形状,为完全弹性介质. 非弹性介质(塑性体) 非弹性介质(塑性体):介质受到外力作用产 生形变,当外力消矢后介质立形变部分或 完全保留,产生永久性形变,为非弹性介 质(塑性体). 塑性体)
地震学所研究的介质是否为弹性介质
λ =
( 1 + σ )( 1 2 σ )
E
σ
=
=
(3 λ + 2 ) λ +
λ
+ )
E = 2 (1 + σ ) 3λ +中的任何一个.均可用其余常数中的任意两 个常数来表示.
振动的一般概念
简谐振动 微分表达式 阻尼振动 简谐振动的合成
判断方法: 介质的是否各向同性 是否均匀连续 介质是否完全弹性
介质的是否各向同性
凡弹性性质与空间方向无关的介质就叫各 向同性体,反之为各向异性体. 由于沉积岩都由均匀分布的各种物质集合 体所组成,既使在横向上有变化也是极为 缓慢的,而岩石结晶和土层颗粒都是按一 定方向排列的,并有一定线度,但这个线 度与地震波的波长相比小得很多. 考虑统计结果,对于地震波的传播来说, 可以把介质看成各向同性的.