人教A版高中数学选修2-1课件空间向量的正交分解及其坐标表示

一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
OP OQ zk. OQ xi y j.
z
OP OQ zk xi y j zk.
点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每 两个坐标轴的平面叫做坐标平面.
空间向量的直角坐标系
z
给定一个空间坐标系和向
量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯
一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3
p
e3
e1
O e2
y
x
有序数组( x, y, z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐 标，记作.P=(x,y,z)
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空间向量的正交分解及其坐标表示
共线向量定理
对空间任意两个向量a、（ b b 0），a // b
的充要条件是存在实数，使a＝b．
共面向量定理 如果两个向量a, b不共线，则向 量 p与向量a, b共面的充要条件是 存在实数对x, y使 p＝xa＋yb．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k ∵{i，j，k}是一组基底， ∴i，j，k不共面，
∴故存在2λ＝2－32，32μ＝ 5132，解υ＝之－得3使结论成13立2 ．
12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i －j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k. 试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如 果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
解 假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则 有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)
若 OC 2 AB ，则C的坐标是
5
( )．
A. ( C. (
6 65
, ,
4 45
, ,8
8) 5 )
5 55
B.
(6 , 4 , 8) 555
D. (6 , 4 , 8)
555
解析 设点C坐标为(x，y，z)，
则 OC ＝(x，y，z)．
又 AB ＝(－3，－2，－4)， OC 2 AB ，
们称 xe1，ye2，ze3 为向量O→P在 e1，e2，e3 上的分向量，把_x_，__y_，__z_称作向量 p 在单
位正交基底 e1，e2，e3 下的坐标，记作 _p_＝__(_x_，__y_，__z_)_．
例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量
自学导引
2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向 量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点， 分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空 间直角坐标系O－xyz.
自学导引
(3)空间向量的坐标表示：如图，对于空间 任意一个向量 p，一定可以把它平移，使它 的起点与原点 O 重合，得到向量O→P＝p， 由空间向量基本定理可知，存在有序实数 组(x，y，z)，使得 p＝_x_e_1_＋__y_e_2＋__z_e_3__．我
表示 和
。
OA, OB, OC
OP OQ
解 : OP OM MP 1 OA 2 MN
O
2
3
M
1 OA 2 (ON 1 OA)
2
3
2
1 OA 1 OB 1 OC
A
Q
C
P
6
3
3
OQ OM MQ 1 OA 1 MN
2
3
B
N
1 OA
1 (ON
1 OA)
1 OA
1 (OB OC )
空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三 个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基 底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个 单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别以 e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z 轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空 间直角坐标系O--xyz
【变式3】 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，并且 PA＝AD＝1，求M→N的坐标． 解 作以 AD，AB，AP 为坐标轴 建立空间直角坐标系如图所示，
则 M(0，12，0)，N(12，12，12)．
∴M→N＝(12，0，12)．
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3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，
由此可知，如果 i, j, k 是空间两
两垂直的向量，那么，对空间任一
向量 pp，存在一个有序实数组
{x,y,z}使得 p pxixiyyjj zzkk..
我们称 xi, y j, zk 为向量 p 在
pP
k
iO j
y
Q
i, j, k上的分向量。
x
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c
2
3
2
3
6
1 OA 1 OB 1 OC
3
6
6
3.已知平行六面体OABC－O’A’B’C’,且 课本94页
OA a ，OC b，OO c，用a , b , c 表示如下
向量:(1) OB , BA , CA；
(2)OG（点G是侧面BB’C’C的中心）
O/
A/
B/
C/
OB '
a b c
1＝μ， ∴1＝λ， 此方程组无解．
0＝λ＋μ，
∴a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间一个基底．
规律方法 判断三个向量a，b，c能否作为基底，关键是理 解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空 间向量的一个基底．判断a，b，c三个向量是否共面，常 用反证法，即判断三个向量是否满足a＝λb＋μb，若满足 则共面，若不满足则不共面．
O
G
BA ' c b
CA'
a b c
C
1 1
A
B
OG a b c
2
2
课本94页
已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
题型一 基底的判断
【例1】 若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c ＋a}能否作为该空间的一个基底． 解 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得 a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底， ∴a，b，c不共面，
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类似的
结论吗？ 空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b,不c 共面，那么对空间任一向
量 ，p存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使 ppxaxi yby jzc. zk.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c都叫做基向量
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底
∴x＝ 6
5
答案 A
，y＝
4 5
，z＝ 8
5
.
5
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，
4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底
{i，j，k}下的坐标为
( )．
A．(12，14，10)
B．(10，12，14)
C．(14，10，12)
D．(4，2，3)
解析 8a＋6b＋4c ＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i) ＝12i＋14j＋10k ∴点A在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)． 答案 A
（1） 空间任意三个不共面向量都可以 作为空间向量的一个基底． （2）由于 0 可视为与任意一个非零向量
共线，与任意两个非零向量共面，所以，
三个向量不共面，就隐含着它们都不是 0． （3）一个基底是指一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量，二者是相 关连的不同概念．
自学导引
1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝__x_a_＋__yb_＋__z_c_，其中 {a，b，c}叫做空间的一个_基__底__，a，b，c都叫做_基__向__量__． 试一试：空间的基底是唯一的吗？ 提示 由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都 可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因 此不唯一．