2012高三数学函数专题复习

2012届高考数学函数专项突破（分节）精选习题集及详解答案
第一部分函数的概念与性质
第一节函数的概念
一、选择题
1．下面哪一个图形可以作为函数的图象()
2.下列对应中是映射的是()
A．(1)、(2)、(3)B．(1)、(2)、(5)
C．(1)、(3)、(5) D．(1)、(2)、(3)、(5)
3．(2009年茂名模拟)已知f：A→B是从集合A到集合B的一个映射，∅是空集，那么下列结论可以成立的是()
A．A＝B＝∅B．A＝B≠∅
C．A、B之一为∅D．A≠B且B的元素都有原象
(x，y)|x＋y＝1，映射f：M→N，在f作用下点(x，y)的元素是(2x,2y)，则集合N＝() 4．已知集合M＝{}
(x，y)|x＋y＝2，x>0，y>0
A.{}
(x，y)|xy＝1，x>0，y>0
B.{}
(x，y)|xy＝2，x<0，y<0
C.{}
(x，y)|xy＝2，x>0，y>0
D.{}
5．现给出下列对应：
(1)A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝R －
，f ：x →y ＝ln x ； (2)A ＝{x |x ≥0}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ；
(3)A ＝{平面α内的三角形}，B ＝{平面α内的圆}，f ：三角形→该三角形的内切圆； (4)A ＝{0，π}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝sin x . 其中是从集A 到集B 的映射的个数( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题
6．(2009年珠海一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝⎛⎭
⎫12＝________.
7．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中元素(6,2)在映射f 下的元素是(3,1)，则k ，b 的值分别为________．
8．(2009年东莞模拟)集合A ＝{a ，b }，B ＝{1，－1,0}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________．从B 到A 的映射个数是________．
三、解答题
9．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，求f (72)的值．
10．集合M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－1,0,1}，映射f ：M →N 满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，那么映射f ：M →N 的个数是多少？
参考答案
1．解析：(4)中元素c 没有象，不符合映射定义中的“集A 中的任意一个元素在集B 中都有元素与之对应”；(5)中，与元素a 对应的元素有两个，不符合映射定义中的“对于集A 中的任意一个元素，在集B 中都有唯一确定的元素与之对应”；而(1)(2)(3)中的对应都符合映射定义．故本题正确答案为A.
答案：A
2．解析：A 、C 、D 中的对应法则都是“一对多”，故它们不是函数的图象，正确答案为B. 答案：B 3．B
4．解析：因为x ＋y ＝1，所以2x ·2y ＝2x ＋
y ＝2.这就是说，集合N 中的元素，其横坐标与其纵坐标之积
为常数2，又显然集合N 中横、纵坐标都是正数，故本题正确答案为D.
答案：D
5．解析：(1)的对应中，对于集A 中值0，在集合B 中，没有元素与之对应，故(1)的对应不是从A 到B 的映射；(2)的对应中，对于集A 中的任意一个非零x 的值，在集合B 中，都有两个元素与之对应(不满足唯一性)，故(2)的对应不是从A 到B 的映射；(3)、(4)的对应都满足映射的定义，故(3)、(4)的对应都是从A 到B 的映射．故选B.
答案：B 6．－1
7．解析：依题意，(3,1)→(6,2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
3k ＝61＋b ＝2，∴k ＝2，b ＝1.
答案：k ＝2，b ＝1 8．9 8
9．解析：∵f (ab )＝f (a )＋f (b )，
∴f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝f (4×2)＋f (3×3)＝ f (4)＋f (2)＋2f (3)＝f (2×2)＋f (2)＋2f (3) ＝3f (2)＋2f (3)＝3p ＋2q .
10．解析：∵f (a )∈N ，f (b )∈N ，f (c )∈N ，且 f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，
∴有0＋0＋0＝0＋1＋(－1)＝0.当f (a )＝f (b )＝f (c )＝0时，只有一个映射；当f (a )、f (b )、f (c )中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C 13·A 22＝6个映射．因此所求的映射的个数为1＋6＝7.
第二部分 函数的解析式与定义域
一、选择题
1．函数f (x )＝3x 2
1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )
A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞
B.⎝⎛⎭⎫－1
3，1 C.⎝⎛⎭⎫－13，13 D.⎝
⎛⎭⎫－∞，－13
2．已知f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－x 1＋x ＝1－x 2
1＋x 2
，则f (x )的解析式可取为( )
A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2
3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，
则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值为( )
A.1516 B ．－27
16 C.8
9
D ．18 5．(2009年北京卷)若函数f (x )＝⎩⎨
⎧
1
x
，x ＜0⎝⎛⎭
⎫13x
，x ≥0则不等式|f (x )|≥1
3
的解集为( )
A ．(－3,1)
B ．[－1,3]
C ．(－1,3]
D ．[－3,1] 二、填空题
6．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1的定义域为A,2∉A ，则a 的取值范围是____________． 7．如果f [f (x )]＝2x －1，则一次函数f (x )＝_____________.
8．(2009年潮州模拟)为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文
已知加密为y ＝a x －2(x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是_______．
三、解答题 9．如右图所示，
在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A
点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．
(1)求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求y 的最大值．
10．(2009年汕头模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a <0)不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x >03x ＋1>0⇒－1
3<x <1，故选B.
答案：B
2．解析：令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t
1＋t ，
∴f (t )＝2t t 2＋1，∴f (x )＝2x
x 2＋1.
答案：C 3．A 4.A
5．解析：(1)由|f (x )|≥1
3⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜0⎪⎪⎪⎪1x ≥13
⇒－3≤x ＜0.
(2)由|f (x )|≥13⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0
⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x ≥1
3
⇒⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0⎝⎛⎭⎫13x ≥13
⇒ 0≤x ≤1.
∴不等式|f (x )|≥1
3的解集为{x |－3≤x ≤1}．
答案：D
6．解析：∵2∉A ，∴4－4a ＋a 2－1<0，即a 2－4a ＋3<0，
解得1<a <3. 答案：1<a <3
7．解析：设f (x )＝kx ＋b ，则f [f (x )]＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b . 由于该函数与y ＝2x －1是同一个函数， ∴k 2＝2且kb ＋b ＝－1，∴k ＝±2. 当k ＝2时，b ＝1－2； 当k ＝－2时，b ＝1＋ 2.
答案：2x ＋1－2或－2x ＋1＋ 2 8．4
9．解析：(1)这个函数的定义域为(0,12)， 当0＜x ≤4时，S ＝f (x )＝1
2·4·x ＝2x ；
当4＜x ≤8时，S ＝f (x )＝8；
当8＜x ＜12时，S ＝f (x )＝1
2
·4·(12－x )＝24－2x .
∴这个函数的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ， x ∈(0，4]，8， x ∈(4，8]，
24－2x ， x ∈(8，12).
(2)其图形如右，由图知， [f (x )]max ＝8.
10．解析：(1)∵不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)， ∴x ＝1和x ＝3是方程ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＝0(a <0)的两根， ∴⎩⎨⎧
b ＋2
a
＝－4c a ＝3
，∴b ＝－4a －2，c ＝3a ，
又方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根．
∴Δ＝b 2－4a (c ＋6a )＝0，∴4(2a ＋1)2－4a ×9a ＝0. ∴(5a ＋1)(1－a )＝0，∴a ＝－1
5
或a ＝1(舍)．
∴a ＝－15，b ＝－65，c ＝－3
5，
∴f (x )＝－15x 2－65x －3
5
.
(2)由(1)知f (x )＝ax 2－2(2a ＋1)x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a ＋1a 2－(2a ＋1)
2
a ＋3a
＝a ⎝⎛⎭⎫x －2a ＋1a 2＋－a 2
－4a －1
a
∵a <0，
∴f (x )的最大值为－a 2－4a －1
a ，
∵f (x )的最大值为正数． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a <0－a 2
－4a －1a >0
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
a <0a 2＋4a ＋1>0 解得a <－2－3或－2＋3<a <0. ∴所求实数a 的取值范围是()－∞，－2－3∪(－2＋3，0)．
第三部分 函数的值域与最值
一、选择题
1．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3} D ．{y |0≤y ≤3}
2．(2008年中山模拟)函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是( ) A ．(－∞，－1] B ．[3，＋∞)
C ．[－1,3]
D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
3．(2009年郑州模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
， ||x ≥1
x ， ||x <1
，g (x )是二次函数，若f (g (x ))的值域是[)0，＋∞，则g (x )
的值域是( )
A.(]－∞，－1∪[)1，＋∞
B.(]－∞，－1∪[)0，＋∞ C ．[0，＋∞) D.[)1，＋∞
4．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1，x >01，x <0，则(a ＋b )－(a －b )f (a －b )
2(a ≠b )的值是( )
A ．a
B ．b
C ．a ，b 中较小的数
D ．a ，b 中较大的数
5．(2008年重庆卷)已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M 的值为( )
A.14
B.12
C.
22 D.32
二、填空题
6．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a ＝________.
7．若f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2对任意的非负实数x 成立，则f ⎝⎛⎭⎫12010＋f ⎝⎛⎭⎫22010＋f ⎝⎛⎭⎫32010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫20092010＝________.
8．(2009年福州模拟)对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a ，a ≥
b b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )
的最小值是
________.
三、解答题
9．若函数y ＝f (x )＝1
2x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b ]，求b 的值．
10．某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )＝5x －1
2x 2(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售
出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数； (2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
参考答案
1．A 2.D
3．解析：要f(μ)的值域是[)0，＋∞，则μ可取(－∞，－1]∪[)0，＋∞.又g(x)是二次函数，定义域连续，故g(x)不可能同时取(－∞，－1]和[)0，＋∞.结合选项只能选C .
答案：C
4．解析：按a>b ，a<b 两种情形分类讨论． 答案：D
5．C 6.2 7.2009
8．解析：由||x ＋1≥||x －2⇒()x ＋12≥()x －22⇒x ≥1
2
，
故f ()x ＝⎩
⎨⎧
||x ＋1⎝⎛⎭
⎫x ≥12||x －2⎝⎛⎭
⎫x<12，其图象如下，
则f min ()x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12＋1＝3
2.
答案：32
9．解析：∵y ＝f(x)＝12(x 2－4x ＋8)＝1
2
(x －2)2＋2，
∴其图象的对称轴是x ＝2.
因此y ＝f(x)在[2,2b]上是递增函数，且2b>2，即b>1.
又函数y ＝f(x)＝12x 2－2x ＋4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，所以有f(2b)＝2b ，即1
2
(2b)2－2×2b ＋
4＝2b ，
∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝1(舍去)，b ＝2. 10．解析：(1)利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x>5时，只能销售500台，所以
y ＝⎩⎨
⎧
5x －1
2
x 2－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)
⎝⎛⎭
⎫5×5－12×52
－(0.5＋0.25x )(x>5)
＝⎩⎪⎨⎪⎧
4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)
12－0.25x (x>5)
. (2)在0≤x ≤5时，y ＝－1
2
x 2＋4.75x －0.5，
当x ＝－b
2a
＝4.75(百台)时，y max ＝10.78125(万元)；
当x>5(百台)时，y ＜12－0.25×5＝10.75(万元)， 所以当生产475台时，利润最大． (3)要使企业不亏本，即要求 ⎩⎪⎨⎪⎧
0≤x ≤5－12
x 2＋4.75x －0.5≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
x>512－0.25x ≥0，
解得5≥x ≥4.75－21.5625≈0.1(百台)或5＜x ＜48(百台)时，即企业年产量在10台到4800台之间时，
企业不亏本．
第四部分 函数的单调性
一、选择题
1．(2009年顺德一中月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(3－a )x －4a ，x ＜1，
log a
x ， x ≥1，
是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(－∞，3) C.⎣⎡⎭⎫
35，3 D ．(1,3)
2．(2010年湖北卷)若f (x )＝－1
2x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，
＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)
3．(2010年辽宁卷)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时f (x )是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x
之和为( )
A ．－3
B ．3
C ．－8
D ．8
4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，1
2成立，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2，＋∞) C.⎣⎡⎭
⎫－5
2，＋∞ D ．(－3，＋∞) 5．(2009年浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋a
x (a ∈R )，则下列结论正确的是( )
A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数
B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数
C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数
D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 二、填空题
6．函数y ＝x 2＋2x －3的递减区间是________．
7．如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1,0)上是增函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫13，f ⎝⎛⎭⎫
23，f (1)从小到大的排列是________．
8．(2010年湖南卷)已知函数f (x )＝
3－ax
a －1
(a ≠1)． (1)若a ＞0，则f (x )的定义域是________；
(2)若f (x )在区间(]0，1上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
三、解答题
9．已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，当且仅当0<x <1时f (x )<0，且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy ，试证明：
(1)f (x )为奇函数；
(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．
10．(2009年珠海模拟)已知α，β是方程4x 2－4tx －1＝0(t ∈R )的两个实数根，函数f (x )＝2x －t
x 2＋1的定义
域为[α，β]．
(1)判断f (x )在[α，β]上的单调性，并证明你的结论；
(2)设g (t )＝max f (x )－min f (x )，求函数g (t )的最小值．
参考答案
1．解析：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，(3－a)x －4a<3－5a ，当x ≥1时，log a x ≥0，
所以3－5a ≤0解得a ≥3
5
，所以1<a<3，故选D .
答案：D 2．C 3.C
4．解析：设f(x)＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝－a
2
.
若－a 2≥12，即a ≤－1时，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，12上是减函数，应有f ⎝⎛⎭⎫12≥0⇒－5
2≤a ≤－1； 若－a
2
≤0，即a ≥0时，则f(x)在⎣⎡⎦⎤0，12上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a ≥0； 若0<－a 2<1
2，即－1<a<0，则应有
f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24－a 22＋1＝1－a 24
≥0恒成立，故－1<a<0.
综上有a ≥－5
2
.故选C .
答案：C
5．解析：因为f ′(x)＝2x －a x 2＝2x 3
－a
x 2，对∀a ∈R ，f ′(x )在(0，＋∞)正、负不确定，故A 、B 错误，
而对C ，当a ＝0时，f (x )＝x 2
，显然成立，故选C.
答案：C
6．(－∞，－3)
7．解析：∵f (x )为R 上的奇函数，
∴f ⎝⎛⎭⎫13＝－f ⎝⎛⎭⎫－13，f ⎝⎛⎭⎫23＝－f ⎝⎛⎭⎫－23，f (1)＝－f (－1)，又f (x )在[]－1，0上是增函数且－13>－23>－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫－13>f ⎝⎛⎭⎫－2
3>f (－1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫23＜f (1)．
答案：f ⎝⎛⎭⎫13＜f ⎝⎛⎭⎫
23＜f (1)
8．(1)⎝
⎛⎦⎤－∞，3
a (2)()－∞，0∪(]1，3 9．证明：(1)由f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋y 1＋xy ，令x ＝y ＝0，得f (0)＝0，
令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0.
∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数． (2)先证f (x )在(0,1)上单调递减．
令0<x 1<x 2<1，
则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1) ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2， ∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0， ∴x 2－x 11－x 2x 1
>0， 又∵(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0， ∴x 2－x 1<1－x 2x 1，
∴0<x 2－x 11－x 2x 1<1，由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2<0， 即f (x 2)<f (x 1)．
∴f (x )在(0,1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)＝0， ∴f (x )在(－1,1)上为减函数．
10．解析：(1)f (x )在[α，β]上为增函数
∵f (x )＝2x －t x 2＋1，∴f ′(x )＝－2x 2＋2tx ＋2
(x 2＋1)2
，
∵ 当x ∈(α，β)时，4x 2－4tx －1<0，
∴ 当x ∈(α，β)时，－2x 2＋2tx ＋1
2
>0，
∴当x ∈(α，β)时，－2x 2
＋2tx ＋2>0, ∴f ′(x )>0，∴f (x )在[α，β]上单增．
(2)由题意及(1)可知，f (x )max ＝f (β)，f (x )min ＝f (α)，
∴g (t )＝f (β)－f (α)＝2β－t β2＋1－2α－t
α2＋1
＝(β－α)[－2αβ＋t (α＋β)＋2]α2β2＋α2＋β2＋1
∵α＋β＝t ，αβ＝－1
4
，∴β－α＝(β＋α)2－4αβ＝t 2＋1，
α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝t 2＋1
2
，
∴g (t )＝8t 2＋1(2t 2＋5)
16t 2＋25，t ∈R ，
令t 2＋1＝U ，则t 2＝U 2－1，U ∈[1，＋∞)，
∴g (t )＝8U (2U 2＋3)16U 2＋9＝16U 3＋24U
16U 2＋9
，
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫16U 3＋24U 16U 2＋9′＝8()32U 4＋6U 2
＋27(16U 2＋9)2>0， ∴16U 3＋24U 16U 2＋9
在[1，＋∞)单调递增，
∴当U ＝1，t ＝0时，g (t )min ＝8
5
.
第五部分 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
2．(2010年安徽卷)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3) D ．g (0)<f (2)<f (3)
3．(2009年肇庆一中模拟)设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－2)＝0，则不等式f (x )g (x )>0的解集是( )
A ．(－2,0)∪(2，＋∞)
B ．(－2,0)∪(0,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－2)∪(0,2)
4．(2009年天津卷)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋4x ，x ≥0
4x －x 2
，x ＜0，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．(2009年全国卷Ⅰ)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数 二、填空题
6．(2010年福建卷)函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为________． 7.
(2009年南昌模拟)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图所示，则不等式f (x )<0的解是________．
8．(2009年重庆卷)若f(x)＝
1
2x－1
＋a是奇函数，则a＝____________.
三、解答题
9．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－λf(x)＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
10．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x －x2.
(1)求证：f(x)是周期函数．
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
参考答案
1．解析：f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，若“f(x)，g(x)均为偶函数”，则“h(x)为偶函数”，而反之若“h(x)为偶函数”，则“f(x)，g(x)不一定均为偶函数”，所以“f(x)，g(x)均为偶函数”，是“h(x)为偶函数”是充分而不必要的条件，故选B.
答案：B
2．解析：用－x代换x得：f(－x)－g(－x)＝e－x，即f(x)＋g(x)＝－e－x，解得：f(x)＝e x－e－x
2，g(x)＝－
e x＋e－x
2，而f(x)单调递增且大于等于0，g(0)＝－1，故选D.
答案：D
3．A
4．解析：由已知，当x＜0时，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－4x＝－(4x－x2)＝－f(x)．
当x ＞0时，－x ＜0，
∴f (－x )＝4(－x )－(－x )2＝－(x 2＋4x )＝－f (x )． 且f (0)＝0，∴f (x )为奇函数， 又当x ≥0时，f (x )为增函数， ∴f (x )在R 上为单调递增函数， ∴由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a . 即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1. 答案：C
5．解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，
∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期 T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．
∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)， 即f (x ＋3)是奇函数．故选D. 答案：D
6．解析：f (x )－1＝x 3＋sin x 为奇函数，又f (a )＝2， ∴f (a )－1＝1，故f (－a )－1＝－1即f (－a )＝0. 答案：0 7．(－2,0)∪(2,5]
8．解析：f (－x )＝12－x －1＋a ＝2x 1－2x ＋a ，f (－x )＝－f (x )⇒2x 1－2x ＋a ＝－⎝⎛⎭⎫12x －1＋a ⇒2a ＝11－2x －2x 1－2x
＝1，故a ＝1
2
.
答案：12
9．解析：(1)设函数y ＝f (x )的图象上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )， 则 ⎩⎨⎧
x 0＋x 2
＝0y 0
＋y
2＝0
，即 ⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝－x y 0
＝－y .
∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图象上，
∴－y ＝x 2－2x ，即y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x . (2)由g (x )≥f (x )－|x －1|可得：2x 2－|x －1|≤0. 当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解． 当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤1
2
.
因此，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－1，12. (3)h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1.
①当λ＝－1时，得h (x )＝4x ＋1在[－1,1]上是增函数，符合题意，∴λ＝－1. ②当λ≠－1时，抛物线h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1的对称轴的方程为x ＝1－λ
1＋λ.
(ⅰ)当λ<－1，且1－λ
1＋λ≤－1时，h (x )在[－1,1]上是增函数，解得λ<－1.
(ⅱ)当λ>－1，且1－λ
1＋λ≥1时，h (x )在[－1,1]上是增函数，解得－1<λ≤0.
综上，得λ≤0.
10．解析：(1)∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知 f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )为奇函数，∴－f (x )＝－2x －x 2. ∴f (x )＝x 2＋2x .当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]． ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)， 又f (x )是周期为4的周期函数，
∴f (x )＝f (x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8， ∴x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.
(3)∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1. 又f (x )是周期为4的周期函数．
∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7) ＝…＝f (2004)＋f (2005)＋f (2006)＋f (2007) ＝f (2010)＋f (2009)＋f (2010)＋f (2011)＝0. ∴f (0)＋f (1)＋…＋f (2011)＝0＋…＋0＝0.
第六部分 函数的图象
一、选择题
1．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝log 2x (x ＞0)的图象关于原点对称，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝
1
log 2x
(x ＞0) B ．f (x )＝log 2(－x )(x ＜0) C ．f (x )＝－log 2x (x ＞0) D ．f (x )＝－log 2(－x )(x ＜0) 2．函数y ＝e |ln x |－|x －1|的图象大致是( )
3．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如下图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是( )
A ．h 2＞h 1＞h 4
B ．h 1＞h 2＞h 3
C ．h 3＞h 2＞h 4
D ．h 2＞h 4＞h 1 4．函数f (x )＝2|log 2x |－⎪⎪⎪
⎪x －1
x 的图象为( )
5.(2009年日照模拟)函数y ＝f (x )的图象如右图所示，则函数y ＝log 1
2f (x )的图象
大致是( )
二、填空题
6．(2009年上海嘉定一中测试)f (x )是定义域为R 的偶函数，其图象关于直线x ＝2对称，当x ∈(－2,2)时，f (x )＝－x 2＋1，则x ∈(－4，－2)时，f (x )的表达式为________．
7.
(2010年深圳一模)已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如右
图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：
①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③
f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22.
其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
8．定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎫x ＋52＋f (x )＝0，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋5
4为奇函数，给出下列结论： ①函数f (x )的最小正周期是5
2；
②函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
54，0对称； ③函数f (x )的图象关于直线x ＝5
2对称；
④函数f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫
52.
其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的符号) 三、解答题
9．(2010年福州模拟)
函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如右图所示，设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.
(1)请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数？
(2)若x 1∈[]a ，a ＋1，x 2∈[]b ，b ＋1，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}指出a ，b 的值，并说明理由；
(3)结合函数图象示意图，判断f (6)，g (6)，f (2010)，g (2010)的大小．
10．若函数f (x )对定义域中任意x 均满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则称函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称． (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋m x
的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
(2)已知函数g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋ax ＋1，求函数g (x )在(－∞，0)上的解析式；
(3)在(1)(2)的条件下，当t ＞0时，若对任意实数x ∈(－∞，0)，恒有g (x )＜f (t )成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．解析：(x ，y )关于原点的对称点为(－x ，－y )，所以 g (x )＝log 2x (x >0)⇒f (x )＝－log 2(－x )(x <0)，故选D. 答案：D 2．D 3.A 4.D
5．解析：由f (x )图象知f (x )≥1， ∴y ＝log 1
2f (x )≤0，结合图象知选C.
答案：C
6．f (x )＝－(x ＋4)2＋1 7.②③ 8.②③
9．解析：(1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x . (2)a ＝1，b ＝9. 理由如下：
令φ(x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 3，则x 1，x 2为函数φ(x )的零点． ∵φ(1)＝1>0，φ(2)＝－4<0，φ(9)＝29－93<0，φ(10)＝210－103>0， ∴方程φ(x )＝f (x )－g (x )的两个零点x 1∈(1,2)，x 2∈(9,10) 因此整数a ＝1，b ＝9.
(3)从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．
当x >x 2时，f (x )>g (x )，∴g (2010)<f (2010)． ∵g (6)<g (2010)，
∴f (6)<g (6)<g (2010)<f (2010)．
10．解析：(1)由题设可得f (x )＋f (－x )＝2， 即x 2＋mx ＋m x ＋x 2－mx ＋m －x ＝2，解得m ＝1.
(2)当x ＜0时，－x ＞0且g (x )＋g (－x )＝2， ∴g (x )＝2－g (－x )＝－x 2＋ax ＋1. (3)由(1)得f (t )＝t ＋1
t ＋1(t ＞0)，
其最小值为f (1)＝3.
g (x )＝－x 2
＋ax ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1＋a 2
4
， ①当a 2＜0，即a ＜0时，g (x )max ＝1＋a 2
4＜3，
得a ∈(－22，0)
②当a
2≥0，即a ≥0时，g (x )max ＜1＜3，
得a ∈[0，＋∞)；由①②得a ∈(－22，＋∞)．
第七部分 函数模型及其应用
一、选择题
1．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x (x ∈N )的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
2．某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下( ) A.3×0.5100克 B ．(1－0.5%)3克
C ．0.925克 D.
100
0.125克
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( )
A ．413.7元
B ．513.7元
C ．546.6元
D ．548.7元 4．如图甲所示，
图甲
点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A —B —C —M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象形状大致是图乙中的( )
图乙
5．(2008年揭阳模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如右图所示，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A ．10元
B ．20元
C ．30元 D.40
3元
二、填空题
6．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r %增加到(r ＋10)%，那么r 的值等于________．
7．为
了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a
(a 为常数)，如右图所示：
据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
8．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k (Q )＝40Q －1
20
Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________．
三、解答题
9．某工厂拟建一座平面图(如右图所示)为矩形且面积为
200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元
(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．
(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系
式，并指出其定义域；
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．
10．(2009年柳州模拟)某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率P 与日生产
量x (x ∈N *
)件间的关系为P ＝⎩⎨⎧
x ＋20
200
，0<x ≤15x 2
＋300
3000，15<x ≤30
每生产一件正品盈利2900元，每出现一件次品亏损1100元． (1)将日利润y (元)表示日产量x (件)的函数； (2)该厂的日产量为多少件时，日利润最大？ (注：次品率P ＝次品个数
产品总数×100%，正品率＝1－P )
参考答案
1．解析：设年平均利润为g(x)，则
g(x)＝－x 2＋12x －25x ＝12－(x ＋25x
)．
∵x ＋25x ≥2 x·25x ＝10，∴当x ＝25x ，即x ＝5时，
g(x)max ＝2. 答案：C
2．解析：设放射性元素后一年比前一年减少了x ，则100年后只剩原来质量的a(1－x)100，依题意得：a(1－x)100＝12
a ，1－x ＝1000.5，∴()1－x 3＝1000.53＝100
0.125，故选D .
答案：D
3．解析：此人购买的商品原价为168＋423÷90%＝638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%＋(638－500)×70%＝450＋96.5＝546.6元．
答案：C
4．解析：当0≤x ≤1时，y ＝12·x·1＝1
2x ；
当1＜x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x)－1
4
＝－14x ＋34
；
当2＜x ≤2.5时，y ＝12(52－x)×1＝54－1
2
x.
则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
2
x ， 0≤x ≤1，－14x ＋3
4， 1＜x ≤2，
－12x ＋54， 2＜x ≤2.5.
图形为A .
答案：A
5．解析：两种话费相差为Δy ，
第5题图
根据几何关系可得：Δy ＝Δy ′，又Δy ′＝10，∴Δy ＝10. 答案：A
6．解析：销售利润＝销售价－进价
进价×100%.设销售价为y ，进价为x ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
y －x x ×100%＝r%，y －x (1－8%)
x (1－8%)×100%＝(r ＋10)%.
解之得r ＝15. 答案：15
7．解析：(1)由题意和图示，当0≤t ≤0.1时，可设y ＝kt(k 为待定系数)，由于点()0.1，1在直线上，∴k ＝10；同理，当t>0.1时，可得
1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ⇒0.1－a ＝0⇒a ＝110
. (2)由题意可得y ≤0.25＝14
，即得⎩⎪⎨⎪⎧
10t ≤140≤t ≤0.1
或
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫116t －110≤14t>0.1
⇒0≤t ≤1
40或t ≥0.6，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 答案：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
10t ()0≤t ≤0.1⎝⎛⎭⎫1
16t －110
()t>0.1 (2)0.6 8．解析：总利润L(Q)＝40Q －120Q 2－10Q －2000＝－1
20
(Q －300)2＋2500.
故当Q ＝300时，总利润最大值为2500万元． 答案：2500万元
9．解析：(1)因污水处理水池的长为x 米，则宽为200
x
米，
总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200
x ×2＋80×200 ＝800⎝
⎛⎭⎫x ＋324
x ＋16000，由题设条件⎩⎪⎨⎪⎧
0<x ≤16，0<200x ≤16，
解得12.5≤x ≤16，即函数定义域为[12.5,16]． (2)先研究函数y ＝f(x)＝800⎝
⎛⎭⎫x ＋324
x ＋16000在[12.5,16]上的单调性，对于任意的x 1，x 2∈[12.5,16]，不妨设x 1＜x 2，
则f(x 2)－f(x 1)＝800⎣⎡⎦⎤(x 2－x 1)＋324⎝⎛⎫1x 2－1x 1
＝800(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－324x 1x 2，∵12.5≤x 1≤x 2≤16，
∴0＜x 1x 2＜162＜324，∴324x 1x 2>1，即1－324
x 1x 2
＜0.
又x 2－x 1>0，∴f(x 2)－f(x 1)＜0，即f(x 2)＜f(x 1)， 故函数y ＝f(x)在[12.5,16]上是减函数．
∴当x ＝16时，y 取得最小值，此时，y min ＝800⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16000＝45000(元)，200x ＝200
16
＝12.5(米)． 综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低价为45000元． 10．解析：
(1)y ＝⎩⎨⎧
2900⎝
⎛⎭⎫
1－x ＋20200x －1100·x ＋20200·x ， 0<x ≤15，2900⎝⎛⎭⎫1－x 2
＋3003000x －1100·x 2
＋3003000
·x ，15<x ≤30，
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2500x －20x 2
， 0<x ≤15，2500x －43x 3
， 15<x ≤30. (2)当0<x ≤15时，
y ＝2500x －20x 2＝－20⎝⎛⎭⎫x －12522＋20·⎝⎛⎭⎫12522， ∴当x ＝15时，y 取得最大值33000(元)． 当15<x ≤30时，y ′＝2500－4x 2， 令y ′＝2500－4x 2＝0，得x ＝25；
当15<x<25时，y ′>0；当25<x ≤30时，y ′<0，
∴y ＝2500x －4
3
x 3在区间(15,25]上单调递增，在区间
[25,30]上单调递减．
故当x ＝25时，y 取得最大值，其值为
2500×25－43×253＝125000
3(元)．
∵33000<125000
3
，
∴当x ＝25时，y 取得最大值为125000
3
(元)．
答：该厂的日产量为25件时，日利润最大．
第八部分 函数测试
—————————————————————————————————————
【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
题目要求的)
1．设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射f ：A →B 是把集合A 中的元素x 对应到集合B 中的元素x 3
－x ＋1，则在映射f 下象1的原象所组成的集合是
( )
A ．{1}
B ．{0}
C ．{0，－1,1}
D ．{0,1,2}
2．若不等式x 2
－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为( ) A ．[0,1) B ．(0,1) C ．[0,1] D ．(－1,0] 3．函数y ＝log a (|x |＋1)(a ＞1)的大致图象是
( )
4．已知函数f (x )＝log a x ，其反函数为f －1(x )，若f －
1(2)＝9，则f (12
)＋f (6)的值为
( )
A ．2
B ．1 C.12
D.1
3
5．函数f (x )＝(12)x 与函数g (x )＝log 1
2
|x |在区间(－∞，0)上的单调性为
( )
A ．都是增函数
B ．都是减函数
C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数
D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x >0，2x ，x ≤0.若f (a )＝1
2，则a ＝
( )
A ．－1 B. 2
C ．－1或 2
D ．1或－ 2
7．设函数f (x )＝－x 2
＋4x 在[m ，n ]上的值域是[－5,4]，则m ＋n 的取值所组成的集合为
( )
A ．[0,6]
B ．[－1,1]
C ．[1,5]
D ．[1,7]
8．方程(1
2
)|x |－m ＝0有解，则m 的取值范围为
( )
A ．0＜m ≤1
B ．m ≥1
C ．m ≤－1
D ．0≤m ＜1
9．定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同
的是
( )
A ．y ＝x 2
＋1 B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0，
D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x
，x ≥0，
e －x ，x <0
10．设a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，那么
( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <a <c
D ．c <a <b
11．中国政府正式加入世贸组织后，从2000年开始，汽车进口关税将大幅度下降．若进口一辆汽车2001年售价为30万元，五年后(2006年)售价为y 万元，每年下调率平均为x %，那么y 和x 的函数关系式为
( )
A ．y ＝30(1－x %)6
B ．y ＝30(1＋x %)6
C ．y ＝30(1－x %)5
D ．y ＝30(1＋x %)5
12．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))>0，则当n ∈N *时，有
( )
A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)
B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)
C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)
D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )
13．函数f (x )＝1
1－e
x 的定义域是________．
14．若x ≥0，则函数y ＝x 2
＋2x ＋3的值域是________．
15．设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在
区间[1,2]上f (x )＝______.
16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，x >00，x ＝0
－1，x <0
，g (x )＝x 2f (x －1)，
则函数g (x )的递减区间是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设f (x )＝a ·2x －1
2x ＋1
是R 上的奇函数．
(1)求a 的值；
(2)求f (x )的反函数f －
1(x )．
18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－7
2
.
(1)求m 的值；
(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为区间[－1,1]． (1)求g (x )的解析式； (2)判断g (x )的单调性．
20．(本小题满分12分)某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02
元，但实际出厂单价不能低于51元．
(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；
(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P ＝f (x )的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购1 000个，利润又是多少？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋x －1
4
.
(1)若函数的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；
(2)若定义域为[a ，a ＋1]时，f (x )的值域是[－12，1
16
]，求a 的值．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1
3
)x ，
函数y ＝f －1
(x )是函数y ＝f (x )的反函数．
(1)若函数y ＝f －
1(mx 2＋mx ＋1)的定义域为R ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈[－1,1]时，求函数
y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值g (a )．
答案：卷(二)
一、选择题 1．C
2．A 不等式x 2－x ≤0的解集M ＝{x |0≤x ≤1}，f (x )＝ln(1－|x |)的定义域N ＝ {x |－1<x <1}，
则M ∩N ＝{x |0≤x <1}． 3．B
4．B 依题意，函数f (x )＝log a x ，所以f －1(x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，若f －
1(2)＝9，所以a 2＝9，a ＝3，
f (x )＝lo
g 3x ，f (1
2
)＋f (6)＝log 33＝1，选择B.
5．D f (x )＝(12)x 在x ∈(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 1
2
(－x )在(－∞，0)上为增函数．
6．C 本题考查分段函数求值．据题意得f (a )＝1
2
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧ a >0log 2a ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤02a ＝12
， 解之得a ＝2或－1，故选C.
7．D 由－x 2＋4x ＝4得x ＝2，由－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，结合二次函数的图象知－1≤m ≤2,2≤n ≤5，故－1＋2≤m ＋n ≤2＋5，即1≤m ＋n ≤7.
8．A 由(12)|x |－m ＝0得，m ＝(12
)|x |， ∵|x |≥0，∴0＜(12
)|x |≤1， ∴方程(12
)|x |－m ＝0有解，必须0＜m ≤1，故选A. 9．C 利用偶函数的对称性知f (x )在(－2,0)上为减函数．又y ＝x 2＋1在(－2,0)上为减函数；y ＝|x |＋1在(－2,0)上为减函数；
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0，x 3＋1，x <0 在(－2,0)上为增函数．
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
e x ，x ≥0，1e x ，x <0在(－2,0)上为减函数．故选C. 10．C a ＝log 0.70.8>0，
且a ＝log 0.70.8<log 0.70.7＝1.
b ＝log 1.10.9<log 1.11＝0.
c ＝1.10.9>1.
∴c >1>a >0>b .即b <a <c .
故选C.
11．C 每年价格为上一年的
(1－x %)倍，所以五年后的价格为y ＝30(1－x %)5.
12．C 对任意x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·(f (x 2)－f (x 1))>0，
因此x 2－x 1和f (x 2)－f (x 1)同号，所以f (x )在(－∞，0]上是增函数．由于n ∈N *，
且n ＋1>n >n －1，
所以－n －1＜－n <－n ＋1＜0，
即f (n ＋1)＝f (－n －1)<f (－n )<f (－n ＋1)＝f (n －1)．
二、填空题
13．【解析】 要使f (x )有意义，
则1－e x ＞0，
∴e x ＜1，∴x ＜0，
∴f (x )的定义域是(－∞，0)．
【答案】 (－∞，0)
14．【解析】 x ≥0时，函数单调递增，故值域为[3，＋∞)．
【答案】 [3，＋∞)
15．【解析】 由函数f (x )是最小正周期为2的偶函数，且它在区间[0,1]上的图象为线段AB ，可画出f (x )在区间[－1,0]和[1,2]上的图象如图所示，
可得f (x )在区间[1,2]上的图象为线段BC ，其中B (1,1)，C (2,2)，所以在区间[1,2]上，f (x )＝x .
【答案】 x
16．【解析】 依题意有g (x )
＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x >10，x ＝1－x 2，x <1
，
所以g (x )的递减区间是(0,1)．
【答案】 (0,1)
三、解答题
17．【解析】 (1)由题意知f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立．
即a ·2－x －12－x ＋1＝－a ·2x －12x ＋1
， 即(a －1)(2x ＋1)＝0，
∴a ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝2x －12x ＋1
， 由y ＝2x －12x ＋1得2x ＝1＋y 1－y
， x ＝log 21＋y 1－y
， ∴f －1(x )＝log 21＋x 1－x
(－1＜x ＜1)． 18．【解析】 (1)∵f (4)＝－72
， ∴24－4m ＝－72
，∴m ＝1. (2)f (x )＝2x
－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)
＝(2x 1－x 1)－(2x 2
－x 2) ＝(x 2－x 1)(2x 1x 2
＋1)． ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2
＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＞0，
∴f (x 1)＞f (x 2)，
即f (x )＝2x
－x 在(0，＋∞)上单调递减． 19．【解析】 (1)∵f (a ＋2)＝18，f (x )＝3x .
∴3a ＋2＝18，即3a ＝2.
故g (x )＝(3a )x －4x ＝2x －4x ，x ∈[－1,1]．
(2)g (x )＝－(2x )2＋2x ＝－⎝
⎛⎭⎫2x －122＋14. 当x ∈[－1,1]时，2x ∈⎣⎡⎦
⎤12，2.令t ＝2x ， 由二次函数单调性得
－⎝⎛⎭⎫t －122＋14在⎣⎡⎦
⎤12，2上是减函数， ∴函数g (x )在[－1,1]上是减函数．
20．【解析】 (1)设订购x 个，单价为51元．
60－(x －100)×0.02＝51，
∴x ＝550.
(2)当0＜x ≤100且x ∈Z 时，P ＝60；
当100＜x ≤550且x ∈Z 时，
P ＝60－(x －100)×0.02
＝62－0.02x ；
当x ＞550且x ∈Z 时，P ＝51.
∴P ＝
⎩⎪⎨⎪⎧ 60(0＜x ≤100且x ∈Z )，62－0.02x (100＜x ≤550且x ∈Z )，
51(x ＞550且x ∈Z ).
(3)订购500个零件，
利润为500×[(62－0.02×500)－40]＝6 000(元)；
订购1 000个零件，利润为
1 000×(51－40)＝11 000(元)．
21．【解析】 (1)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－12
， ∴对称轴为x ＝－12
. ∵－12
＜0≤x ≤3， ∴f (x )的值域是[f (0)，f (3)]，
即⎣⎡⎦
⎤－14，474. (2)∵f (x )的最小值为－12
， ∴对称轴
x ＝－12
∈[a ，a ＋1]． ∴⎩⎨⎧
a ≤－12，a ＋1≥－12
. 解得－32≤a ≤－12
. ∵区间[a ，a ＋1]的中点为
x 0＝a ＋12
， 当a ＋12≥－12
， 即－1≤a ≤－12
时， f (x )最大值为f (a ＋1)＝116
. ∴(a ＋1)2＋(a ＋1)－14
＝116
. ∴16a 2＋48a ＋27＝0.
∴a ＝－34⎝
⎛⎭⎫a ＝－94舍去. 当a ＋12＜－12
， 即－32
≤a ＜－1时， f (x )最大值为f (a )＝116
， ∴a 2＋a －14＝116
. ∴16a 2＋16a －5＝0.
∴a ＝－54⎝⎛⎭⎫a ＝14
舍去. 综上知a ＝－34
或a ＝－54
. 22．【解析】 (1)∵f －1(x )
＝log 13
x (x ＞0)， ∴f －1(mx 2＋mx ＋1)
＝log 13
(mx 2＋mx ＋1)，由题知，mx 2＋mx ＋1＞0恒成立， ∴①当m ＝0时，1＞0满足题意；
②当m ≠0时，
应有⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＞0Δ＝m 2－4m ＜0 ⇒0＜m ＜4，
∴实数m 的取值范围为
0≤m ＜4.
(2)∵x ∈[－1,1]，
∴(13)x ∈[13
，3]， y ＝[f (x )]2－2af (x )＋3＝[(13)x ]2－2a (13
)x ＋3 ＝[(13
)x －a ]2＋3－a 2， 当a ＜13
时， y min ＝g (a )＝289－2a 3
； 当13
≤a ≤3时， y min ＝g (a )＝3－a 2；
当a ＞3时，y min ＝g (a )＝12－6a .
∴g (a ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 289－2a 3(a ＜13)，3－a 2(13≤a ≤3)，12－6a (a ＞3).。