茂名市2016届高三数学二模试卷(文科) 含解析

2016年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）
一。

选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U=｛1,2,3，4，5｝，集合A=（1,2，5}，∁U B=（1，3，5｝，则A∩B=(）A．{2}B．｛5}C．｛1，2,4，5}D．{3，4，5｝
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知非零向量与向量平行,则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或C．﹣1 D．
4．执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）
A．1 B．C．D．
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2,，且b＜c，
则B=（)
A．B．C．D．
6．设数列｛a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=(）A．4 B．36 C．﹣74 D．80
7．设函数，则f（﹣7）+f(log312)=（）
A．7 B．9 C．11 D．13
8．已知命题￢p：存在x∈（1，2)使得e x﹣a＞0,若p是真命题，则实数a的取值范围为(）A．（﹣∞，e）B．(﹣∞，e] C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）
9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f(x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x)的图象,则函数g(x）的单调增区间为（）
A．,k∈Z B．，k∈Z
C．，k∈Z D．，k∈Z
10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（)
A．31πB．32πC．34πD．36π
11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也，又以高乘之，三十六成
一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）
A．B．C． D．
12．已知抛物线y2=4x的焦点为F,A、B为抛物线上两点，若,O为坐标原点，则△AOB的面积为(）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程
是．
14．实数x,y满足，则z=x+y+1的最大值为．
15．设△ABC的内角A,B,C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c)（a+b+c）=ab，则角C=．
16．设函数f′（x)是奇函数f（x)(x∈R)的导函数，f(﹣1）=0,当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．等差数列｛a n}的前n项和为S n，且a2=4,S5=30，数列｛b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；
（Ⅱ）设c n=b n•b n+1,求数列{c n}的前n项和T n．
18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检,已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优，二级为良，三级为中等,四级为差)，该港口消防安全等级的统计结果如下表所示: 等级一级二级三级四级
频率0.30 2m m 0。

10
现从该港口随机抽取了n家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家．
（1)求m,n的值;
（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1,∠BAA1=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；
(Ⅱ）若AB=CB=1，,求三棱锥A﹣A1BC的体积．
20．如图,圆C与x轴相切于点T（2,0），与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方），且|MN｜=3．
（Ⅰ)求圆C的方程;
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：
∠ANM=∠BNM．
21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时,求函数f（x）的图象在点（1,f（1））处的切线方程;
(Ⅱ）讨论函数f(x）的单调区间；
（Ⅲ)已知a＜0，对于函数f（x)图象上任意不同的两点A（x1，y1）,B（x2，y2）,其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N(u，0），若,求证f′(u）＜k．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分,作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑,并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲］
22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
(Ⅰ）求证:DE∥AB；
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
[选修4-4:坐标系与参数方程］
23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
．
(1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．
[选修4-5；不等式选讲]
24．已知函数
（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10;
(Ⅱ）关于x的不等式f(x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
2016年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科)
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U=｛1，2,3,4，5}，集合A=（1，2，5｝，∁U B=(1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．｛5｝ C．｛1，2,4，5｝D．｛3，4，5}
【考点】交集及其运算．
【分析】求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．
【解答】解：因为全集U={1,2,3，4，5}，∁U B=｛1，3，5}，所以B={2，4}，
所以A∩B={2｝，
故选：A．
2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知的等式变形,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．
【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），
∴=1﹣i,对应的点为（1，﹣1)在第四象限．
故选：D．
3．已知非零向量与向量平行,则实数m的值为（) A．﹣1或B．1或C．﹣1 D．
【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．
【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示,列出方程解方程，求出m的值．
【解答】解：非零向量与向量平行,
∴﹣2（m2﹣1）﹣1×（m+1）=0,
解得m=或m=﹣1（不合题意，舍去)；
∴实数m的值为．
故选:D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(）
A．1 B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】从框图赋值入手,先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．
【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．
执行,i=0+1=1；
判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；
判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．
故选C．
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2,c=2，，且b＜c，则B=（）
A．B．C．D．
【考点】余弦定理．
【分析】由正弦定理可求sinC,利用同角三角函数基本关系式可求cocC=，可得C为或,又b＜c,B为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得B的值．
【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，
∴sinC===，可得cocC=，即C为或，
∵b＜c,B为锐角，
∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，
∴B=π﹣A﹣C=．
故选：A．
6．设数列｛a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．80
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a20．
【解答】解:∵数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，
∴,
解得a1=2,d=﹣4，
∴a20=a1+19d=2﹣4×19=﹣74．
故选：C．
7．设函数，则f(﹣7）+f（log312）=（）
A．7 B．9 C．11 D．13
【考点】函数的值．
【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．
【解答】解:∵﹣7＜1，1＜log312,
∴f（﹣7）+f（log312）
=1+log39+
=1+2+4=7，
故选：A．
8．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，e）B．(﹣∞，e] C．（e2,+∞) D．［e2，+∞）
【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．
【分析】写出命题的否定命题,利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可．
【解答】解：命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，则命题p为：任意x∈（1，2）使得e x﹣a≤0,
因为p是真命题,所以e x﹣a≤0恒成立，即a≥e x，e x＜e2．
可得a≥e2．
故选：D．
9．已知函数f（x）=Asin(ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x)的图象，则函数g(x）的单调增区间为（）
A．，k∈Z B．，k∈Z
C．,k∈Z D．,k∈Z
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征,求出函数y=Asin（ωx+φ)的解析式,再根据
y=Asin(ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g(x）的单调增区间．
【解答】解：由图可知A=2，T=4（﹣）=π，
∴ϖ==2．
∵由图可得点(，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z,
∴由｜φ｜＜，可得：φ=，
∴f（x)=2sin(2x+）．
∵若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin［2（x ﹣）+］=2sin（2x+）．
∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣,kπ+],k∈Z．
故选：A．
10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．31πB．32πC．34πD．36π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先还原几何体为底面边长为3的正方形，高为4是四棱锥，明确其外接球的半径,然后计算表面积．
【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为3的正方形，高为4是四棱锥，
所以其外接球的直径为,
所以其表面积为34π；
故选C．
11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成
一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()
A．B．C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．
【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r，高为h,则L=2πr，
∴=（2πr）2h，
∴π=．
故选：B．
12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点,若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（)
A．B．C．D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB｜=2｜AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正,所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立,求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．
【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2｜AE|，由抛物线的对称性,不妨设直线的斜率为正,所以直线AB的倾斜角为60°,直线AB的方程为，
联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之
得:,，
所以，
而原点到直线AB的距离为，
所以,当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．
故应选C．
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是x﹣y+3=0．【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程．
【解答】解:由题意得，圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为(0,3)，
又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1,
则直线l的方程是：y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，
故答案为：x﹣y+3=0．
14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求解即可．
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，
由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3,0），和直线x+y﹣3=0平行时，
直线y=﹣x﹣1+z的截距最大,
此时z最大．
代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．
即目标函数z=x+y+1的最大值为4．
故答案为：4．
15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b,c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．
【考点】余弦定理．
【分析】利用已知条件（a+b﹣c）(a+b+c)=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．
【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab
即a2+b2﹣c2=﹣ab
由余弦定理得：cosC==
又因为0＜C＜π，所以C=．
故答案为：
16．设函数f′（x)是奇函数f（x）(x∈R）的导函数,f（﹣1）=0,当x＞0时,xf′（x）﹣f（x）＜0,则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1)∪（0，1)．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数g(x)=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，
画出函数g（x)的大致图象，结合图形求出不等式f（x)＞0的解集．
【解答】解:设g（x）=，则g（x）的导数为:
g′(x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x)＜f(x）成立,
即当x＞0时，g′(x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数,
又∵g(﹣x)====g（x)，
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）==0，
∴函数g（x)的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g(x）＞0
⇔或,
⇔0＜x＜1或x＜﹣1．
∴f(x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞,﹣1）∪（0，1）．
故答案为：(﹣∞，﹣1)∪(0，1)．
三、解答题:本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．等差数列｛a n｝的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；
（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n｝的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】(I)利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
(II）利用递推关系与“裂项求和"即可得出．
【解答】解：（I）设等差数列{a n｝的公差为d，
∵a2=4，S5=30，
∴
，解得a 1=d=2．
∴a n =2+2（n ﹣1）=2n ． （II ）∵b 1+2b 2+…+nb n =a n ， ∴当n=1时,b 1=a 1=2;
当n ≥2时，b 1+2b 2+…+(n ﹣1)b n ﹣1=a n ﹣1, ∴nb n =a n ﹣a n ﹣1=2， 解得b n =． ∴c n =b n •b n+1=
=4
． ∴数列｛c n }的前n 项和T n =4+
+…+
=4
=
．
18．2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故,造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级(一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示： 等 级 一级 二级 三级 四级
频 率
0。

30 2m m 0。

10 现从该港口随机抽取了n 家公司,其中消防安全等级为三级的恰有20家． (1）求m ，n 的值； （2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n 家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后,再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 【分析】(1）由已知先求出m ，由频率=
，能求出n ．
（2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家,三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A ，B ，C ，D ，三级的2家公司分别记为a ，b,从中抽取2家公司，利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率． 【解答】解：（1）由已知可得:0.30+2m +m +0。

10=1, 解得：m=0。

20． 所以n=
=100．
（2）由(1)知,利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，
则消防安全等级为一级的有3家,二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．
记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B ，C ，D ，三级的2家公司分别记为a ，b ，
则从中抽取2家公司,不同的结果为：
（Aa），（Ab），（AB），（AC）,（AD）,（BC)，（BD),（Ba),(Bb)，(CD），（Ca),（Cb)，（Da）,（Db)，（ab）,共15种,
记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级"为事件M，
则事件M包含的结果有:(AB），（AC），（AD），(BC），（BD），(CD）,共6种，
所以P（M）==．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1,∠BAA1=60°．
(Ⅰ)证明：AB⊥A1C；
（Ⅱ)若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．
【分析】（I）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA1B 是等边三角形得OA1⊥AB，故AB⊥平面COA1，于是AB⊥A1C；
（II）根据等边三角形性质求出OC，OA1，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA1，求出S，于是V=2V．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．
∵CA=CB，∴CO⊥AB，
∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．
∴OA1⊥AB，
又∵OC⊂平面COA1,OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．
∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，
∴AB⊥A1C．
(Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，
∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．
∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．
∴CO⊥A1O．
∴S==．
∴V=2V=2×=2×=．
20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ)求圆C的方程；
（Ⅱ)过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．
【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．
【分析】(Ⅰ)设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为(2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值,可得圆C的方程．
（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程,求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．
【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r(r＞0），依题意,圆心坐标为（2，r）．
∵｜MN|=3，∴，解得,
故圆C的方程为．
(Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，
即点M（0，1），N(0,4）．
（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．
(2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．
联立方程，消去y得,（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x1,y1）、B(x2，y2）两点，
则，．
∴=0，
∴∠ANM=∠BNM．
综上所述,∠ANM=∠BNM．
21．已知函数f（x)=lnx+ax2+x,a∈R．
(Ⅰ）当a=1时，求函数f(x）的图象在点（1，f(1））处的切线方程；
（Ⅱ)讨论函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x)图象上任意不同的两点A(x1,y1)，B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N(u，0）,若,求证f′（u）＜k．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】(Ⅰ)根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ)先求出函数的导数,通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，
（Ⅲ)要证:f′（u）＜k．，只需证，构造函数令
，通过讨论函数的单调性,从而证出结论．
【解答】解:（Ⅰ)当a=1时,f（x)=lnx+x2+x，
∴，
∴f'(1)=4
又∵f（1）=ln1+12+1=2，
∴函数f（x)的图象在点（1，f（1))处的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），
即4x﹣y﹣2=0．
（Ⅱ）f(x）的定义域为(0，+∞），
当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x)在定义域内单调递增；
当a＜0时，令f’（x）=0,解得，，
∵x＞0,
∴
则时，f’（x）＞0，f（x）单调递增；
时，f'(x）＜0，f（x）单调递减；
综上,a≥0时，f（x)的单调递增区间为（0，+∞）；
a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为（Ⅲ）证明:
=，
∵，
∴x2﹣x1=λ（u﹣x1）,
∴，
又,
∴，
∴，
∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，
∴
要证:f′（u）＜k．,只需证
即证:，设
令,
则，
令h(t)=﹣t2+（λ2﹣2λ+2）t﹣（λ﹣1）2，t＞1，1≤λ≤2
对称轴．h（t）＜h(1)=0，
∴g'（t)＜0，
故g（t）在（1，+∞）内单调递减，则g(t）＜g（1)=0,
故f′（u)＜k．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．［选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点,E为BC的中点．
(Ⅰ）求证：DE∥AB;
（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC,因为AC为圆的直径,所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；
（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只
须证明△DAC∽△ECD即可．
【解答】证明:(Ⅰ）连接BD，因为D为的中点,所以BD=DC．
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．
因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，
所以AB∥DE．…
（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，
又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．
又因为AD⊥DC，DE⊥CE,所以△DAC∽△ECD．
所以=,AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE,
因此2AD•CD=AC•BC．…
[选修4—4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标
系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】(1）由,展开为ρ2﹣4
﹣1=0，利用即可得出极坐标方程．
（II）将代入圆的方程得化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，利用弦长公式
，化简即可得出．【解答】解：（1)由，展开为ρ2﹣
4﹣1=0,化为﹣1=0，
配方得圆C的方程为
(2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1)2+（tsinα）2=5,
化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则，
所以，
所以4cos2α=2，，．
[选修4-5;不等式选讲］
24．已知函数
(Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10;
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可;（Ⅱ)根据绝对值的意义求出f（x)的最小值，从而求出a的范围．
【解答】解:（Ⅰ）当时,
,
①当时，由f（x)≤x+10得﹣2x+3≤x+10，
解得,此时;
②当时，由f（x)≤x+10得2≤x+10,
解得x≥﹣8,此时;．．
③当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，
解得x≤13，此时；
综上,不等式f（x)≤x+10的解集为;
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：
，∴f（x）的最小值为，
由题意得,解得，
∴实数a的取值范围为．
2016年8月1日。