北师版数学高一-必修4学案 两角和与差的正弦、余弦函数

2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．
[知识链接]
1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？
答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．
2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S (α－β)吗？
答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β)
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭
⎫π2－αsin β ＝cos βsin α－cos αsin β.
[预习导引]
1．两角和与差的余弦公式
C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
2．两角和与差的正弦公式
S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
3．两角互余或互补
(1)若α＋β＝π2，其α、β为任意角，我们就称α、β互余．例如：π4－α与π4＋α互余，π6＋α与π3
－α互余．
(2)若α＋β＝π，其α，β为任意角，我们就称α、β互补．例如：π4＋α与34π－α互补，α＋π3与23
π－α互补.
要点一 利用和(差)角公式化简
例1 化简下列各式：
(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭
⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α
－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3
sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32
sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32
－3＋32cos x ＝0.
(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α
＝sin[(α＋β)－α]sin α
＝sin βsin α
. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求
(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．
(3)使三角函数式的次数尽可能低．
(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．
跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°
. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)
cos 10°sin 50°
＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°
＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°
＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°
＝－1cos 60°
＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值
例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4
，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4
， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4
－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35
， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45
， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)
＝sin ⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭
⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365
. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：
(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．
(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．
跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4
， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2
. ∴sin(α－β)＝
1－cos 2(α－β) ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，
cos(α＋β)＝－
1－sin 2(α＋β)
＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45
. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365
， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365
. 要点三 公式的变形应用
例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β
的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12
.① ∵sin(α－β)＝13，sin αcos β－cos αsin β＝13
.② 由①②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112
， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5
121
12
＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．
跟踪演练3 已知cos α＝
55，sin(α－β)＝1010
，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010
>0， ∴0<α－β<π2
. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255，
cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010
， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)
＝55×31010－255×1010＝210
. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝55×31010＋255×1010＝22
， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4
.
1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )
A ．－12 B.12 C.32 D ．－32
答案 A
解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12
. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010
，则sin C 等于( ) A.255
B ．－255 C.55 D ．－55
答案 A
解析 sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B
＝
22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝
22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255
.
3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．
答案 [－2,2]
解析 f (x )＝2⎝⎛⎭
⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. ∴f (x )∈[－2,2]．
4．已知锐角α、β满足sin α＝255，cos β＝1010
，则α＋β＝________. 答案 3π4
解析 ∵α，β为锐角，sin α＝255，cos β＝1010
， ∴cos α＝55，sin β＝31010
. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝55×1010－255×31010＝－22
. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝34
π.
1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律
四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β) sin(α＋β)――→以－β换β
sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．
对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．
2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
一、基础达标
1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3
)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1
B ．π，2
C ．2π，1
D ．2π，2 答案 A
解析 f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2
＝π，f (x )max ＝1.
2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45
，则sin β＝( ) A ．0
B ．0或2425 C.2425
D ．0或－2425 答案 C
解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35
. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425
或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425
. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1
答案 D
解析 cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.
∴α＋β＝k π＋π2
，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.
4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2
，则f (x )的最大值为( ) A ．1
B ．2
C ．1＋ 3
D ．2＋3 答案 B
解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x
＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6
)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3
.∴f (x )max ＝2. 5．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( )
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
答案 D
解析 ∵sin A sin B <cos A cos B ，
∴cos A cos B －sin A sin B >0，
∴cos(A ＋B )>0即cos(π－C )>0，
∴cos C <0，∵0<C <π，∴π>C >π2
， ∴△ABC 为钝角三角形．
6．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1
解析 根据已知条件：
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，
∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.
7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3
－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；
(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°
. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3
－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3
－3x )
＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3
) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32
＝2－64
. (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]
＝sin β.
(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，
∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°
＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°
＝tan 45°＝1. 二、能力提升
8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513
，则cos C 等于( ) A ．－3365
B.3365 C ．－6365
D.6365
答案 B
解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45
. 同理sin B ＝1213
. ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]
＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝45×1213－35×513＝3365
. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________． 答案 1
解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)
＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ
＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，
∴f (x )的最大值为1.
10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β
的值是________． 答案 137
解析 ⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15
， ∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137
. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4
， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2
. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35
， 所以sin(α－β)＝
1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132
＝513， cos(α＋β)＝－
1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45
. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665
. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值．
解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14
，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．
(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时， cos α＝53，sin β＝154
， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312
. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154
＝－2－5312＝－2＋5312
. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，
∵sin α＝23，cos β＝－14
， ∴cos α＝－53，sin β＝－154
， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭
⎫－154＝53－212， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭
⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212
， sin(α－β)＝－53＋212
. 三、探究与创新
13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32
. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4
－θ)． 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3
＝A sin π3＝32A ＝32
，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4
)， 故f (θ)＋f (－θ)
＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32
， ∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32
， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64
. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304
.。