江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含答案

高三数学Ⅰ试题参照公式：
圆锥的体积公式：V圆锥 = 1
Sh ，此中S是圆锥的底面积，h是高. 3
样本数据 x1， x2，， x n的方差 s21
n
( x i x) 2，此中 x 1 n x i. n i 1n i 1
一、选择题：本大题共14 个小题 , 每题 5 分, 共 70 分.请把答案填写在答题卡
．．．相应地点上 .
．．．．．
1.若会合 A{ 2,0,1} ，B{ x x21} ，则会合AI B▲ .
2 命题“x[0,1] ，x210 ”是▲命题（选填“真”或“假” ）.
3.若复数 z 知足 z 2i z 2
1 （此中i为虚数单位），则z▲ .
4.若一组样本数据 2015 ， 2017 ，x， 2018 ， 2016 的均匀数为 2017，则该组样本数据的
方差为
5. 如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲.
1
D ，随机地扔掷一枚质地均匀的正方体骰子
6. 函数f ( x)的定义域记作会合（骰子的每
ln x
个面上分别标有点数1，2，， 6），记骰子向上的点数为 t ，则事件“t D”的概率为
▲ .
7. 已知圆锥的高为 6 ，体积为 8 ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，获得的圆台体积是7 ，则该圆台的高为▲.
8. 各项均为正数的等比数列a n中，若a2a3a4a2a3a4，则 a3的最小值为▲ .
9. 在平面直角坐标系xOy 中，设直线l： x y10 与双曲线C：x
2y21(a0,b 0) a2b2
的两条渐近线都订交且交点都在y 轴左边，则双曲线 C 的离心率e的取值范围是▲ .
x y0,
10.已知实数 x ， y 知足2x y20, 则 x y 的取值范围是▲ .
x2y40,
11.已知函数 f ( x)bx ln x ，此中b R ，若过原点且斜率为k 的直线与曲线y f (x) 相切，则 k b 的值为▲ .
12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 y sin(x) (0,0) 的图像与 x 轴的交点 A， B，C知足OA OC2OB ，则▲ .
13.在ABC 中， AB5， AC7，BC 3，P为ABC 内一点（含界限），若知足
uuur
1uuur uuur uuur uuur
BP BA BC (R) ，则BA BP的取值范围为▲．4
14.已知ABC 中，AB AC 3 ，ABC所在平面内存在点P 使得PB2PC 23PA2 3 ，则ABC 面积的最大值为▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分 . 请在答题卡指定地区内作答，解答应
．．．．．．．
写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
15. 已知ABC 中，a ，b， c 分别为三个内角 A ，B ，C的对边，3bsin C c cos B+c，（ 1）求角 B ；
（ 2）若b2ac ，求
1
tan A
1
tan C
的值 .
16. 如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC平面ABCD ，PB PD，点Q是棱PC 上异于P、C的一点.
（ 1）求证：BD AC ；
（ 2）过点Q和的AD平面截四棱锥获得截面ADQF （点 F 在棱 PB 上），求证： QF / / BC .
17. 已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米， AB ，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点 A ，O.点光源从 M 发出，小明在地上的影子记作AB ' .
（ 1）小明沿着圆心为O ，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB ' 扫过的图形面积；（ 2）若OA 3米，小明从A出发，以1米 / 秒的速度沿线段AA1走到 A1， OAA1，且
3
AA1 10 米. t 秒时，小明在地面上的影子长度记为 f (t) （单位:米），求 f (t) 的表达式与最小值 .
18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x
2
y21(a b 0) 的右焦点为F，点A a2b2
是椭圆的左极点，过原点的直线MN 与椭圆交于M， N 两点（M在第三象限），与椭圆的
右准线交于 P 点.已知AM
uuur uuuur
4 b2. MN ，且OA OM
3
（ 1）求椭圆 C 的离心率 e ； （ 2）若 S AMN S POE
10
a ，求椭圆 C 的标准方程 .
3
19. 已知各项均为正数的无量数列
{ a n } 的前 n 项和为 S n ，且知足 a 1 a （此中 a 为常数），
nS n 1 (n 1)S n
n(n 1) (n N *
) . 数列 { b n } 知足 b n
a n 2
a n 2
1
(n N * ) .
a n
a
n 1
（ 1）证明数列 { a n } 是等差数列，并求出 { a n } 的通项公式；
（ 2）若无量等比数列 { c
}
知足：对随意的
n
N *
，数列 { b } 中总存在两个不一样的项
b ，
n
n
s
b * ) 使得 b
s c n b ，求 { c } 的公比 q .
t (s, t N
t
n
20. 已知函数
f ( x) ln x 2 ，此中 a 为常数 .
( x
a)
（ 1）若 a 0 ，求函数 f ( x) 的极值；
2 f ( x) 在 (0, a) 上单一递加，务实数 a
的取值范围；
（ ）若函数
（ ）若
a
1 ，设函数 f ( x) 在 (0,1) 上的极值点为
x 0 ，求证： f ( x 0 ) 2 .
3
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数学Ⅱ（附带题）
21. 【选做题】在 A 、B 、C 、 D 四小题只好选做两题 ，每题 10 分，合计 20 分. 请
．．．．．． 在答题卡指定地区 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
．．．．．．．
.
A. 选修
4-1 ：几何证明选讲
在
ABC 中，
N 是边
AC 上一点，且
CN
2AN ，
AB
与
NBC 的外接圆相切，求
BC
的
BN
值 .
B. 选修 4-2 ：矩阵与变换
4 2 已知矩阵 A
不存在逆矩阵，求：
a 1
（ 1）实数 a 的值；（ 2）矩阵 A 的特点向量 . C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系 .曲线C 的
x 2cos
1
为参数），直线 l 的极坐标方程为sin() 2 ，直线 l
参数方程为
2sin
（
y
4
与曲线 C 交于 M ， N 两点，求 MN 的长. D. 选修 4-5 ：不等式选讲
已知 a 0 ， b
0 ，求证 :
a 3
b 3
ab
.
a 2
b 2
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分. 请在答题卡指定地区 内作
．．．．．．．
答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
22. 已知正四棱锥 P ABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8 条棱中任取两条，
按以下方式定义随机变量的值：
若这两条棱所在的直线订交，则
的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制） ；
若这两条棱所在的直线平行，则
0；
若这两条棱所在的直线异面，则
的值是这两条棱所在直线所成角的大小
( 弧度制 ).
（ 1）求 P( 0) 的值；
（ 2）求随机变量的散布列及数学希望E( ).
23. 记(x 1) ( x11（n 2且*）的睁开式中含x 项的系数为 S n，含x2
)(x)n N
2n
项的系数为 T n.
（ 1）求S n；
（ 2）若T
n
an2bn c ，对 n2,3,4 成立，务实数 a, b, c 的值；S n
（ 3）对（ 2）中的实数a,b,c用数字概括法证明：对随意n 2 且n N *，T n an2bn c
S n
都成立 .
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高三数学参照答案
一、填空题
1.{2}
2.真
3.1
4.2
5.7
6.5 6
7.38.39.(1,2)
10.[2,8]11.1
12.
3 e4
13.
525
14.
523 [,]
16 84
二、解答题
15. 解：（ 1）3bsin C cos B c 由正弦定理得 3 sin B sin C cos B sin C sin C ，
ABC 中，sin C 0 ，所以 3 sin B cos B 1s，所以sin( B)1
B
5
，
6
，
6266
B
6
，所以 B；63
（ 2）由于b2ac ，由正弦定理得 sin 2 B sin Asin C ，
11cos A cosC cos Asin C sin A cosC sin( A C )sin(B)
tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin Asin C sin Asin C sin B
sin Asin C
11sin B1123
所以，
tan A tanC sin2 B sin B33.
2
16. （ 1）证明：PC平面ABCD，BD平面 ABCD ，所以 BD PC，记 AC，BD交
于点 O ，平行四边形对角线相互均分，则O 为BD的中点，又PBD 中， PB PD ，
所以 BD OP ，
又PCI OP P，PC， OP平面 PAC ，所以BD平面 PAC ，又 AC平面 PAC 所以 BD AC ；
（ 2）四边形ABCD是平行四边形，所以AD / / BC，又AD平面 PBC ，BC平面 PBC ，
所以 AD//平面 PBC ，
又 AD 平面 ADQF ，平面 ADQF I
平面 PBC
QF ，所以 AD / /QF ，又 AD / /BC ，
所以 QF //BC .
17. 解：（ 1）由题意 AB / / OM ，则
AB '
AB 1.8 1 ， OA 3 ，所以 OB' 6 ，
OB '
OM 3.6
2
小明在地面上的身影 AB ' 扫过的图形是圆环，其面积为
62
32 27 （平方米）； （ 2）经过 t 秒，小明走到了 A 0 处，身影为 A 0 B 0 ' ，由 (1)
A 0
B 0 '
AB 1
知
OB 0
OM
，所以
2
f (t )
A 0B 0 ' OA 0
OA 2 AA 02 2OA AA 0 cos OAA 0 .
3 2 27
3
化简得
f (t)
t
2
3t 9 ， 0 t 10 ， f (t )
t
，当 t 时， f (t) 的最小
2
2
4
值为
3
3 .
2
答： f (t)t
2
3t 9 ， 0
t 10 ，当 t
3 f (t ) 的最小值为
3 3
（米） .
（秒）时，
2
2
x 2 y 2 1
c 2
18. 解：（ 1）由题意
a 2
b 2
，消去 y 得 2 ax b 2
0 ，解得 x 1
a ，
a
a a 2 x
( x 2 y 2
) 2
)
(
2
2
ab 2
x 2
c 2
所以
x M
ab 2
( a,0)
uuur uuuur
x M x A
ab 2 a 4 2 c 2 3
3 ； c 2
， OAOM
c 2 b ， a 2 ，所以 e
3
4
2
（2）由（ 1） M (
2
b, 2
2
b) ，右准线方程为 x
4 3
b ，
3
3
3
直线 MN 的方程为 y
2x ，所以 P(
4
3 3 b,
4 6
b) ，
3
S
POF
1
OF y P
3 b
4 6 b 2 2b 2
2
2 3
S
AMN 2S
AOM OA y M2b22b42b2，
33
所以22b24
2 b210 a， 10 2 b2
20
b ，所以b 2 ， a 2 2 3333
椭圆 C 的标准方程为x2y21.
82
19. 解：（ 1）方法一：由于nS n 1(n1)S n n( n1)①，
所以 ( n1)S n 2(n2) S n 1(n1)(n2)②，
由② - ①得，( n+1)S n2nS n1( n2) S n 1(n1)S n 2(n 1) ，即 (n 1)S n 2(2 n2) S n 1( n 1)S n2( n 1) ，又n 10 ，
则 S n 22S n 1S n 2 ，即 a n 2a
n 1 2 .
在 nS n 1(n 1)S n n(n 1) 中令n 1 得，a1a22a1 2 ，即 a2a1 2 .综上，对随意n N*，都有 a n 1a n 2 ，
故数列{
a n
}
是以 2 为公差的等差数列.
又 a1 a ，则 a n2n 2 a .
方法二：由于 nS n1(n1)S n n(n1)，所以S
n 1S n1，又 S1a1 a ，n1n
S n
则数列是以 a 为首项，1为公差的等差数列，n
所以S
n n1 a ，即 S n n2(a1)n .
n
当 n2时， a n S
n
S
n 12n2 a ，又 a1 a 也切合上式，
故 a n2n 2 a(n N * ) .
故对随意
n N*，都有 a a
n
2，即数列 { a
}
是以
2
为公差的等差数列 .
n 1n
（ 2）令e n a n1
1
2
，则数列 { e n} 是递减数列，所以 1 e n
2 a n 2 a
1.
2n a
观察函数 y x 1
( x1) ，由于 y '1
1x21
0，所以 y x
1
(1,) 上递加，x x2x2
在
x
所以 2e n 1
2
4
，进而 b n e n
14
.
e n a(a2)e n
2, 2
a(a2)
由于对随意n N*，总存在数列 { b n } 中的两个不一样
项b s， b t，使得 b s c n b t，所以对随意
的n N*都有 c n2,24，显然 q0.
2)
a(a
若 q1，当 n 1log q1
2
时，a(a2)
有 c n c1q n 12q n124
2)，不切合题意，舍去；
a(a
若 0q1，当n1log
q
a22a
时，
a22a 2
有 c n c1q n 124q n 1 2 ，不切合题意，舍去；
a( a2)
故 q 1 .
20. 解：（ 1）当a0 时，f (x)ln x
) ，x，定义域为
(0,
12ln x
f '( x)0 ，得 x e .
x3，令
f '( x)
x
(0,e)e( e,)
f (x)0
f'(x)Z
1
]极大值
2e
当 x e 时， f (x) 的极大值为
1
，无极小值 . 2e
（ 2）
1a2ln x
，由题意 f '(x)0 对 x(0, a) 恒成立. f'(x)x
a)3
( x
Q x(0, a) ，( x a)30，
a 2ln x
0 对 x
(0, a) 恒成立，
1
x
a 2x ln x x 对 x
(0, a) 恒成立 .
令 g(x) 2x ln x
x ， x
(0, a) ，则 g '(x)
2ln x 1，
1
1
①若
a e 2 ，即 0
a
e 2 ，则 g '( x)
2ln x 1 0 对 x
(0, a) 恒成立，
g( x) 2x ln x
x 在 (0, a) 上单一递减，
则 a
②若
当
1
2( a)ln( a) (
a) ， 0
ln( a) ，
a
1 与
1
a
e 2 矛盾，舍去；
1 1
1
a
e 2
，即 a
e 2 ，令 g '( x)
2ln x 1
0 ，得 x
e 2 ，
1
x
e
2
时， g '(x) 2ln x
1 0 ，
g( x) 2xln x
x
单一递减，
当 e
2
x a 时，
g '( x)
2ln x 1
0 ， g( x)
2x ln
x x
单一递加，
1
1
1
1
1
1
g (e 2 )
2e 2 ln( e 2 ) e 2
2e 2
当
x
e 2
时，
[ g( x)]
min
，
1
1
a
2e 2 . 综上 a
2e 2 .
（ 3）当 a
1
时， f (x)
ln x
x 1 2x ln x
( x
2 ， f '( x) x( x
3
，
1)
1)
令 h(x)
x 1 2x ln x ， x
(0,1) ，
则 h '( x)
1 2(ln x
1)
2ln x 1 ，令 h '(x) 0 ，得
1
x e 2
，
1 1 时， h '( x) 1
①当 e 2
x 0 ， h( x) x 1 2x ln x 单一递减， h( x) (0, 2e 2 1] ，
f '( x)
x 1 2x ln x 0 恒成立， f ( x) ln x 1
3 2 单一递减，且f ( x) f (e 2
) .
x( x 1) ( x 1)
1
②当 0
x e 2 时， h '( x)
0 ， h( x)
x
1 2 x ln x 单一递加，
1
1
1
1
1
h(e 2 )
e 2 1
2e 2 ln(e 2 ) 2e 2 1 0
又
2
2
2
2
5 1
0 ，
h(e ) e
1 2e
ln( e )
e
2
1
存在独一 x 0
(0, e 2
)
，使得
h( x
0 )
0 ， f '(x 0 ) 0 ，
当 0
x
x 0 时， f '( x 0 )
0 ，
f (x)
ln x
单一递加，
( x 1)2
1
f '( x 0 ) 0
f (x) ln x
2 单一递减，且
1
当
x 0 x e 2 时，
，
(x
f (x) f (e 2
)
，
1)
由①和②可知， f (x)
ln x
2 在 (0, x 0 ) 单一递加，在 ( x 0 ,1) 上单一递减，
(x 1)
当 x
x 0 时， f (x)
ln x
取极大值 .
(x
1) 2
Q h(x 0 ) x 0 1 2x 0 ln x 0
0 ， ln x 0
x 0 1 ，
2x 0
f (x 0 ) ln x 0
1 1
2x 0 ( x 0 1) 1
1 ，
2
2( x 0 2
( x 0 1)
) 2
2
又
x 0 (0, 2e
2 )
，
2( x 0 1)2 1 ( 1 ,0) ， f ( x 0 )
1
1
2 .
1
2
2
2
2( x 0
)
2
2
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高三数学Ⅱ（附带题）参照答案
. 解：记 NBC 外接圆为 O ， AB 、 AC 分别是圆 O 的切线和割线，所以 AB 2
AN AC ，
又 A
A ，所以
ABN 与 ACB 相像，所以
BC
AB
AC
，所以
BN
AN AB
2
AB AC AC
BC
BC
，
BN
AN
AB
3 3 .
AN
BN
4 2 B. 解：（1）由题意
0，即 4 2a 0 ，解得 a 2 ；
a 1
（ 2）
4
2 0 ，即 (
4)(
1) 4 0 ，所以 2
5
0 ，解得 1 0，25
2
1
4x 2y
0 2x ，属于
0 的一个特点向量为
1
1
0 时，
y
， y
1 ；
2x 0
2
x
2 y 0 ， x 2 y ，属于
0 的一个特点向量为
2
2
5 时，
2x 4 y
1
.
1
C. 解：曲线 C ： ( x
1)2 y 2 4 ，直线 l ： x y
2 0 ，圆心 C (1,0) 到直线 l 的距离为
d
1 0
2 2
MN 2 r 2
d 2
2 4
1
14 .
1
2
1
2
2，所以弦长
2
D. 证明： a
0 ， b 0 ，不如设 a b 0 ，则
5 5 ，
1
1
，由排序不等式得
a 2
b 2 a 2 b 2
5 1
5 1 5
1
5 1
a 2 a 2
b 2b 2 a 2 b 2
b 2 a 2 ，
5 1 5
1
5
1
5
1
所以 a 2 a 2
b 2 b 2 a 2 b 2 b 2 a 2
ab .
a
2
b 2
a 2
b 2
22. 解：依据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，简单获得
PAC ，
PBD 为等腰直角三角形，
的可能取值为：
0 ， ，
2 ，共 C 82
28 种状况，此中：
3
时，有 2 种；
3 时，有 3
4 2
4 20 种；
时，有 2
4 6种；
2 （1） P( 0)
2
1
28
；
14
（2） P( ) 4 16 5
)
6
3 ，
28
， P(
2 28
3
7
14
依据（ 1）的结论，随机变量的散布列以下表：
3
2
P
1
5
3
14
7
14
依据上表， E(
) 0
1
5
3
29 .
3
7 2
14 84
14
1 2
n
n
1
23. 解：（ 1） S
2
.
n
n!
(n 1)!
（2）
T 2
2，
T
2
11，
T
4
7 ，
S 2 3 S 3 6
S 4
2
3
4a 2b c
2
则
11
9a 3b c
解得 a
1
， b
1
， c
1 ，
6
4
12
6
7
16a 9b c
2
（ 3）①当 n 2 时，由（ 2）知等式成立；
②假定 n
k （ k N * ，且 k 2 ）时，等式成立，即 T k
1 k
2 1 k 1 ；
S k
4
12 6
当 n k
1 时，由 f ( x) ( x
1 ( x
1 1 )
1) ( x )
) ( x
k
2
k
1
[( x 1) (x
1 ) (x
1
)] (x
1 )
2
k
k 1
(
1
S k x T k x 2
)( x
1
) k!
k 1
知 T k 1 S k
1
1
T
k
k
k 1 T
k 1
( k 2 [1 1)!
所以
S
k 1
k 1 1 1 1 1
2 [1 k 2
)] ，
( k
k (
12
k
1)! 1 4 6
1 ( 1
k 2
1 k 1
)]
2
k 1 4 12 6
k(3k 5) ，
k (k 1 3k k 2)
k 1 1
k
2
12
12
2 k !
又
1
(k 1)
2
1 (k 1)
1
k(3k 5) ，等式也成立；
4
12
6
12
综上可得，对随意
n
2 且 n N * ，都有 T n
an 2 bn c 成立 .
S n。