十字交叉法介绍

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我们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法，它是一种图示方法。

十字交叉图示法实际上是代替求和公式的一种简捷算法，它特别适合于两总量、两关系的混合物的计算(即2—2型混合物计算)，用来计算混合物中两种组成成分的比值。

十字交叉法最初源自于化学学科的一种方法。

是关于溶液浓度计算的，于是很多应试者都认为这个方法是针对溶液浓度类型的题目。

此种说法是比较狭隘的观点。

只要符合我们对十字交叉法的基本定义和认识，不管什么类型，只需满足十字交叉法的基本条件都可以使用。

接下来我们通过一个例题来说明其原理。

例题172：甲乙两个班级在一次数学模拟测试中平均成绩为80分，已知甲班的平均成绩为72分，乙班的平均成绩为86分。

则甲班人数与乙班人数之比为（）
A. 3:1
B. 1:3
C. 3:4
D. 4:3
【天字1号解析】参考答案C。

通过最简单的二元一次方程组先做个详细分析，假设甲班有a人，乙班有b人。

那么，两个班级的总分数＝平均分×总人数。

80×(a+b)=72a+86b 转换得到(80-72)×a＝(86-80)×b，进而得到a:b=(86-80):(80-72) =3:4。

通过上述的推导，我们发现两者人数之比
实则是各自的平均数与整体平均数的差值的反比。

图解表现形式上：
甲班：72 86－80
80
乙班：86 80－72
十字交叉相比法就是因此图解形式而得名，十字交叉法一定是一个整体部分被分割成2个集合，且2个集合的各自属性和整体的平均属性之间的关系构成十字交叉法的基础条件。

如上述例题，甲乙2个班级是一个整体，他们有一个整体平均属性为平均成绩，同时这个整体又分为甲、乙两个部分，且各自有跟整体相同的属性－平均分。

关于十字交叉法的注意事项，大家需要注意三点：
(1). 十字交叉法既可以是诸如浓度之类的百分比的相减，也可以是实际数值的相减
(2). 表现形式是构成各自对象的属性值与整体的属性值关系的差值反比。

(3). 所得到的比例是反应这些比值或者数值所对应的基数（参照数）的比例。

也就是说，我们看整体平均分＝总分/总人数，甲班平均分=甲班总分/甲班人数，乙班平均分=乙班总分/乙班人数。

平均分是
相对于各班人数而言。

换个理解方式就是看我们应用在十字交叉法当中的属性值在求解通式中对应的分母是什么。

如这里的分母是人数，因此最终的比例就是人数只比。

关于十字交叉法还有一些衍生规律，我们也有必要做一个了解，这样有助于考生快速判断答案。

(1).当整体属性值偏向（靠近）某一个局部属性值，则该局部属性值所参照的基数比例点就大。

反之，当整体属性值远离某一个局部属性值，则该局部属性值所参照的基数比例点就小。

如上述例题，整体属性值8 0跟72和86相比，靠近86，那么86代表的乙班人数就多。

(2). 根据十字交叉法的表现形式： a:b=(p1-p):(p-p2)，演化为a+b=(p1-p)+(p-p2)=p1-p2，
这里我们发现当两个局部的属性值相减差值所反映的就是比例点之和的倍数。

如此例题86－72＝14，且属性值之间的差值为整数，则即可看出14＝2×7，即比例点和不是2就是7，即考虑CD选项。

下面我们通过几个例题来具体分析十字交叉法的应用。

例题173：某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是（）【06江苏】
A. 2：5
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：5
【天字1号解析】参考答案C。

教练员中男性：90% 82-80=2
总人数中男性：82%
运动员中男性：80% 90-82=8
因此教练员：运动员=2:8=1:4
这里90%=教练员男性人数/教练员人数， 80%=运动员男性人数/运动员人数，分母是关于教练员人数和运动员人数的，所以最终的反比是关于他们的一个比值。

当然我们可以利用衍生的规律来看，靠近运动员即运动员比例点大，其次90-80=10，因此，比例点之和为10的因子，只有C选项1+4满足。

例题174：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2％，其中本科毕业生比上年度减少2％，而研究生毕业数量比上年度增加10％，那么，这所高校今年毕业的本科生有（）【07国考】
A. 3920人
B. 4410人
C. 4900人
D. 5490人
【天字1号解析】参考答案C。

整体属性是整体增长率为2%，其中2个局部是本科毕业生增长率为-2%，研究生毕业的增长率为10%，增长率的计算方式是2006年局部的增长率=2006年人数-2005年人数/2005年人数。

因此通过十字交叉法得到的是2005年的人数之比，这里要留心。

2006年本科毕业生增长率：-2% 10-2=8
2006年总毕业生增长率：2%
2006年研究生毕业生增长率：10% 2-(-2)=4
因此得到2005年本科毕业生：2005年研究生毕业生=8:4=2:1。

接下来我们通过估算来解决，7650相比较去年只增长2%，可估算为7500来计算，这样2005年的本科毕业生就是5000人，则2006年减少2%即为5000×(1-2%)=4900,接近4900的即为正确答案。

此题看到很多资料说是秒杀看49的倍数，事实上只是C选项容易直接看出49的倍数，而A、B、C均为4 9的倍数，这种判断方式是想当然了。

例题175：某单位共有A.B.C.三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁，24岁，42岁，A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁，该单位全体人员的平均年龄为多少岁？【11
国考】
A.34
B.36
C.35
D.37
【天字1号解析】参考答案C。

此题有2个十字交叉过程，如AB之间，BC之间，我们逐个分析，先观察AB之间的十字交叉：
A： 38 30-24=6
AB：30
B： 24 38-30=8
则AB人数之比为6：8＝3：4，再看BC之间的十字交叉：
B： 24 42-34=8
BC：34
C： 42 34-24=10
则BC人数之比为8：10＝4：5，因此A：B：C＝3：4：5，这是人数之比，要计算整体平均年龄，[(3×3 8+4×24+5×42]/(3+4+5), 尾数计算法，得到尾数是0/2 不是0就是5，故而选C。

例题176：校长去机票代理处为单位团购票10张，商务舱定价1200元/张，经济舱定价700元。

由于买的数量多，代理商给予优惠，商务舱按定价的9折付钱，经济舱按定价6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么校长一共买了经济舱几张（）【10江苏】
A．6 B．7 C．8 D．9
【天字1号解析】参考答案C。

商务舱和经济舱打折相当于百分比，即9折＝现在购买总价/原定总价，题目给出整体打折为1－31%＝69%，商务舱和经济舱分别是90%和60%，则根据十字交叉法所得比例应该是关于原定总价的比例
商务舱：90% 69-60=9
整体：69%
经济舱：60% 90-69=21
因此,商务舱原价总价：经济舱原价总价=9:21=3:7，则数量之比为(3/1200):(7/700)=1:4，即得到购买经济舱票数＝10×4/(1+4)=8张。

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