2020年浙江省杭州市第三高中高三数学理月考试题含解析

2020年浙江省杭州市第三高中高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
参考答案：
B
2. 若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则为（）
A． B ．1 C ．2 D ．4
参考答案：
B
略
3. 实数满足，则的最大值是
A ．－1
B．
0 C．3 D．4
参考答案：
C
4. 已知圆O:，直线过点,且与直线OP垂直，则直线的方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D 略
5. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若为底面的中心，则与平面所成角的大小为( )
A．. B．C．D．
参考答案：
B
略
6. 函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是（）
参考答案：
D
7. 已知集合，，则A∩B=（）
A.(0,1]
B.[0,1]
C.
D.
参考答案：
C
由解得，由解得，故，故选C.
8. 设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
参考答案：
B
解析：画出不等式表示的可行域，如右图，
让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得，所以，故选择B。

9. 函数y＝的值域是 ( ) A．[0，＋∞)B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4)
参考答案：
C
10.
已知等差数列{}中，，则的值是（）
A．15 B．30 C．31
D．64 参考答案：
答案：A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数（）的最大值为，则实数
．
参考答案：
令，可得，再研究函数即可。

当时，得，，
当时，得，．
12. 如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是.
参考答案：
略
13. 已知函数（a，b，c ，a > 0）是奇函数，若f(x)的最小值为，且f(1) >
，则b的取值范围是．
参考答案：
(
14. 已知数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列
满足
，则
__________.
参考答案：
【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法. D2 D3
解析：设=k ，则，
同理，因为数列的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以
，所以数列
是等比数列，把代入
得公比q=3(负值舍去)，所以
.
【思路点拨】设
=k ，利用指数与对数互化及对数换底公式得
，
，再由
的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算
性质得
，所以数列
是等比数列，又因为
各项都是正数且
得公比q ,从而求得
.
15. 已知三点，，，点满足， ，则= .
参考答案：
略
16.
若,则的值为
；
参考答案：
17. 在同一平面直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线y=x 对称，函数f(x)的
图像与g(x)的图像关于y 轴对称，若f(m)=-1，则m 的值为___
参考答案：
－1/e
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知函数其中e 是自然数的底数，
.
(1)当时，解不等式
；
(2)若上是单调增函数，求的取值范围；
(3)当
，求使方程
上有解的所有整数k 的值.
参考答案：
（Ⅰ）∵e x ＞0，∴当f （x ）＞0时即ax 2+x ＞0，
又∵a＜0，∴原不等式可化为x （x+）＜0，∴f（x ）＞0的解集为（0，-）；
（Ⅱ）∵f（x ）=（ax 2+x ）e x ，∴f，（x ）=（2ax+1）e x +（ax 2+x ）e x =[ax 2+（2a+1）x+1]e x ， ①当a=0时，f ，（x ）=（x+1）e x ，∵f，（x ）≥0在[-1，1]上恒成立，当且仅当x=-1时取“=”， ∴a=0满足条件；
②当a≠0时，令g （x ）=ax 2+（2a+1）x+1， ∵△=（2a+1）2
-4a=4a 2
+1＞0， ∴g（x ）=0有两个不等的实根x 1、x 2，
不妨设x 1＞x 2，因此f （x ）有极大值和极小值；
若a ＞0，∵g（-1）?g （0）=-a ＜0，∴f（x ）在（-1，1）内有极值点，∴f（x ）在[-1，1]上不单调；
若a ＜0，则x 1＞0＞x 2，∵g（x ）的图象开口向下，要使f （x ）在[-1，1]单调递增，由g （0）=1＞
0，
∴即，∴-≤a≤0；综上可知，a 的取值范围是[-，0]；
（Ⅲ）当a=0时，方程f （x ）=x+2为xe x =x+2， ∵e x ＞0，∴x=0不是原方程的解，
∴原方程可化为e x--1=0；
令h（x）=e x--1，∵h，（x）=e x+＞0在x∈（-∞0）∪（0+∞）时恒成立，
∴h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上是单调增函数；又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-2＞0，
h（-3）=e-3＜0，h（-2）=e-2＞0，
∴方程f（x）=x+2有且只有两个实根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以，整数k的所有值为{-3，1}．
19. （13分）
已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．
（I）求线段中点的轨迹的方程；
（II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，若点恰为线段的两个三等分点，求此时直线的方程．
参考答案：
解析：（I）由题可设，，，其中.
则
1分
∵的面积为定值2，
∴.
2分
，消去，得：
． 4分
由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．
5分
（II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由消去得：
， 6分
设点、、、的横坐标分别是、、、，
∴由得
8分解之得：．
∴.
9分
由消去得：，
由消去得：，
∴.
10分
由于为的三等分点，
∴. 11分
解之得
.
12分
经检验，此时恰为的三等分点，故所求直线方程为.13分
20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，经过点的动直线，与椭圆：（）相交于，两点. 当轴时，，当轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若的中点为，且，求直线的方程．
参考答案：
解法一：（Ⅰ）当轴时，，
当轴时，，得，
解得，．
所以椭圆的方程为：．…………5分
（Ⅱ）设直线，与方程联立，得．
设，，则，．…①
因为，即，
所以，即，………………………………8分
所以，则，
将①式代入并整理得：，解出，
此时直线的方程为：，即，．……12分解法二：（Ⅰ）同解法
一……………ks5u…………5分（Ⅱ）设直线：，与联立，得．…（﹡）设，，则，．
从而
．………ks5u………8分设，则，．
由得：，
整理得，即，
即，解得，从而．
故所求直线的方程为：，
即和．……………………………………12分
21. 已知直线l经过点P（1，1），倾斜角，
（1）写出直线l的参数方程；
（2）设l与圆x2+y2=4相交与两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
参考答案：
解：（1）直线的参数方程为，即．
（2）把直线代入x2+y2=4，
得，t1t2=﹣2，
则点P到A，B两点的距离之积为2．
略
22. （12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图（如图1）和频率分布直方图（如图2）都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，据此解答如下问题．（注：直方图中[50，60）与[90，100]对应的长方形的高度一样）
（1）若按题中的分组情况进行分层抽样，共抽取16人，那么成绩在[80，90）之间应抽取多少人？（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取2份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]之间份数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由茎叶图求出总人数，得到分数在[80，90）的人数，然后求解成绩在[80，90）之间应抽人数．
（2）分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4，得到ξ的可能取值为：0，1，2，求出概率，得到分布列，求解期望即可．
【解答】解：（1）由茎叶图知分数在[50，60）的人数为4，[60，70）的人数为8，[70，80）的人数为10，
由频率分布直方图知：[50，60）与[90，100]的人数都为4，故总人数为，∴分数在[80，90）的人数为：32﹣4﹣8﹣10﹣4=6，
∴成绩在[80，90）之间应抽：人．
（2）∵分数在[80，90）的人数为6，分数在[90，100]的人数为4，
∴ξ的可能取值为：0，1，2，
∵，
∴ξ的分布列为
∴．
【点评】本题考查茎叶图以及频率分布直方图的应用，离散性随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．。