中考数学复习 第四章 图形的认识与三角形 第14讲 三角形与全等三角形课件
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＝180°－1 (180°－∠A) ＝90°＋ ∠2 1 A. 若∠A＝810°2 ，则∠BEC＝130°；若∠A＝n°，则∠BEC＝90°＋ n°. 故答案为2：130°，90°＋ n°.
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自主解答：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO. ∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离(jùlí)相等， ∴OD＝OB. 在△ABO与△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)． ∴CD＝AB＝20米． 技法点拨►解决此类问题的关键是根据实际问题分析(fēnxī)建立全等三角 形的数学模型，核心是通过证明三角形全等计算相关结论．
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第三页，共三十五页。
考点3 三角形的边角(biān jiǎo)关系 6年4考
拓展►(1)判断已知的三条线段能否组成三角形，可以通过只比较两条
较小的线段之和与第三条线段的大小关系解答；(2)判断含未知数x的三
条线段a、b、x组成三角形的条件：如果a＞b，则可通过解不等式a－b
＜x＜a＋b求解；(3)从多边形的一个顶点出发的对角线共有(ɡònɡ yǒu)(n
B 如图，作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF
＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN.∴∠EPM＝
∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF.在Rt△POE和Rt△POF中，
PE＝PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)．∴OE＝OF.在△PEM和△PFN中，
∴∠QAC＝∠PAC＝α.
∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ. ∴AP＝AQ＝QM. 在△APC和△QME中，
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类型(lèixíng)4 全等三角形的建模与运用
【例4】[2016·宜昌中考]杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览(liú lǎn)完对 面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
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第十四页，共三十五页。
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技法点拨►(1)要熟悉全等三角形判定和性质；(2)认真(rèn zhēn)观察图 形，分析已知找出条件和结论的联系；(3)当直接证明没有思路时，要考 虑添加辅助线构造新的全等三角形．
2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是
.
3或4
3或4 2x－1＜9，得x＜5.∵x是它的正整数解，∴x可取1,2,3,4.根 据三角形三边关系，得2＜x＜14，∴x＝3或x＝4.
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第六页，共三十五页。
类型2 三角形的内角和与外角(wài jiǎo)性质
【例2】【问题】
如图1，在△ABC中，BE平分(píngfēn)∠第四章 图形(túxíng)的认识与三角形
第14讲 三角形与全等三角形
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考点梳理(shūlǐ)过关 考点(kǎo diǎn)1 三角形及其分类 6年1考
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考点2 三角形中的重要(zhòngyào)线段 6年2考
提示►三角形的角平分线与角的平分线是两个不同(bù tónɡ)的概念， 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线．
(gēnjù)三角形的内角和定理列式整理即可得解．
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第八页，共三十五页。
自主(zìzhǔ)解答：【问题】如图1，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ ∴ ＝∠∠18BE0EB°CC＝＝－12180∠°(∠A－BAC(B，∠C＋∠EB∠EC＋CAB∠＝CBE)C12 B∠) ACB.
(2)如图2，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明 (zhèngmíng)你的结论．
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第十二页，共三十五页。
思路分析：(1)①证明三角形全等首先确定对应相等的边和角，然后根
据定理确定要证明的条件和应用的依据(yījù)，本题可利用SAS证全等；②易 证得BC∥FH和CH＝HE，根据平行线分线段成比例得BF＝EF，也可由三角形中 位线定理的推论得出结论；(2)作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证 明△MAE≌△DAC，得AM＝AD，根据等量代换得AB＝AM，根据②同理得出结 论．
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等(xiāngděng)，AC，BD相 交于O，OD⊥CD.垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长 度．
思路分析：由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的
定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD ＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
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变式运用►[2017·北京中考]在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段 BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长(yáncháng)BC至点Q，使得CQ＝ CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含有α的式子表示)．
∵∠PEM＝∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)．∴EM＝FN，PM＝PN，故(1)正确．∴S△PEM＝S△PNF.∴S四边形
PMON＝S四边形PEOF＝定值，故(3)正确．∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值，故(2)正
确．MN的长度(chángdù)是变化的，故(4)错误．
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∠BEC.
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第七页，共三十五页。
思路分析：【问题】根据(gēnjù)角平分线的意义和三角形的内角和解答即
可；【探究】(1)根据(gēnjù)三角形的内角和定理，得∠ABC＋∠ACB＝180°－
n°，再由线段BD、BE把∠ABC三等分，线段CD、CE把∠ACB三等分，得∠EBC ＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，于2 是∠EBC＋∠ECB＝2 (∠ABC＋∠ACB)，再根据 (gēnjù)三角2 形的内角和定理即可3 得到∠BEC的大小；3(2)根据(gēnjù)三角形的外 角性质，结3 合三角形的内角和定理整理即可得到∠BEC与∠A的关系；(3)根据 (gēnjù)三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，再根据
得分要领►(1)要熟悉一副三角尺的内角度数；(2)能根据三角形的内 角和定理计算相关(xiāngguān)的内角；(3)会灵活运用三角形外角的性 质．
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命题(mìng tí)点2 全等三角形的性质与判定
4．[2017·滨州，11,3分]如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与 ∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别(fēnbié)与OA、OB相交于M、 N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面 积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1
A．45° B．60° C．75° D．90°
C
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3．[2012·滨州，4,3分]一个三角形三个内角(nèi jiǎo)的度数之比为 2∶3∶7，这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
D 三角形的三个角依次(yīcì)为180°÷(2＋3＋7)×2＝30°， 180°÷(2＋3＋7)×3＝45°，180°÷(2＋3＋7)×7＝105°，则该三 角形是钝角三角形．
80°，则∠BEC＝
；若∠A＝n°，则∠BEC＝
【探究】
(1)如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A
＝n°，则∠BEC＝
；
(2)如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A＝n°，则∠BEC
＝
；
(3)如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A＝n°，求
类型(lèixíng)3 全等三角形的性质与判定
【例3】[2016·常德中考(zhōnɡ kǎo)]已知在四边形ABCD中，AB＝AD， AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作 AH⊥CD于H，交BE于F.
(1)如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；
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六年真题全练
命题点1 三角形的分类(fēn lèi)及内角和定理
1．[2017·滨州，8,3分]如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点 (yī diǎn)，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( ) A．40° B．36° C．30° D．25°
第二十六页，共三十五页。
5．[2015·滨州，23,10分]如图，已知B、C、E三点在同一条直线上， △ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段(xiànduàn)BD交AC于点G，线段 (xiànduàn)AE交CD于点F.
求证：(1)△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
B ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC.∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B.又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.
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2．[2015·滨州，7,3分]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于 (děngyú)( )
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明
解：(1)∠AMQ＝45°＋α.理由(lǐyóu)如下：
∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α. ∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°.
∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α. (2)PQ＝ MB. 证明：连2接AQ，作ME⊥QB交QB于点E，如图所示． ∵AC⊥QP，CQ＝CP，
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猜押预测►1.[2017·邓州一模]如图，一副分别含有30°和45°角的两个 (liǎnɡ ɡè)直角三角板，拼成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD的度数是( ) A．10° B．15° C．25° D．30°
B ∵∠B＝45°，∴∠BAC＝45°.∴∠EAF＝135°.又∵∠E＝30°， ∴∠AFD＝135°＋30°＝165°.∴∠BFD＝180°－∠AFD＝15°.
－3)条，把这个多边形分成(n－2)个三角形，所有对角线的条数
为
；(4)多边形的外角和等于360°.
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考点(kǎo diǎn)4 全等三角形 6年3考
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典型例题(lìtí)运用
类型1 三角形三边(sān biān)的关系
【例1】三角形的两边长分别(fēnbié)为8和6，第三边长是一元一次不等式
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猜押预测►2.[2017·新城区校级模拟]如图，在△ABC中，∠BAC＝ 56°，∠ABC＝74°，BP、CP分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC ＝( )
A．102° B．112°
C．115° D．118°
D ∵在△ABC中，∠BAC＝56°，∠ABC＝74°，∴∠ACB＝180°－∠BAC －∠ABC＝50°.∵BP、CP分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝37°， ∠PCB＝25°.∴在△BCP中，∠P＝180°－∠PBC－∠PCB＝118°.
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自主解答：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO. ∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.
∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离(jùlí)相等， ∴OD＝OB. 在△ABO与△CDO中，
∴△ABO≌△CDO(ASA)． ∴CD＝AB＝20米． 技法点拨►解决此类问题的关键是根据实际问题分析(fēnxī)建立全等三角 形的数学模型，核心是通过证明三角形全等计算相关结论．
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考点3 三角形的边角(biān jiǎo)关系 6年4考
拓展►(1)判断已知的三条线段能否组成三角形，可以通过只比较两条
较小的线段之和与第三条线段的大小关系解答；(2)判断含未知数x的三
条线段a、b、x组成三角形的条件：如果a＞b，则可通过解不等式a－b
＜x＜a＋b求解；(3)从多边形的一个顶点出发的对角线共有(ɡònɡ yǒu)(n
B 如图，作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF
＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN.∴∠EPM＝
∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF.在Rt△POE和Rt△POF中，
PE＝PF，
∴Rt△POE≌Rt△POF(HL)．∴OE＝OF.在△PEM和△PFN中，
∴∠QAC＝∠PAC＝α.
∴∠QAM＝45°＋α＝∠AMQ. ∴AP＝AQ＝QM. 在△APC和△QME中，
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类型(lèixíng)4 全等三角形的建模与运用
【例4】[2016·宜昌中考]杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A 步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览(liú lǎn)完对 面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：
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第十五页，共三十五页。
技法点拨►(1)要熟悉全等三角形判定和性质；(2)认真(rèn zhēn)观察图 形，分析已知找出条件和结论的联系；(3)当直接证明没有思路时，要考 虑添加辅助线构造新的全等三角形．
2x－1＜9的正整数解，则三角形的第三边长是
.
3或4
3或4 2x－1＜9，得x＜5.∵x是它的正整数解，∴x可取1,2,3,4.根 据三角形三边关系，得2＜x＜14，∴x＝3或x＝4.
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类型2 三角形的内角和与外角(wài jiǎo)性质
【例2】【问题】
如图1，在△ABC中，BE平分(píngfēn)∠第四章 图形(túxíng)的认识与三角形
第14讲 三角形与全等三角形
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考点梳理(shūlǐ)过关 考点(kǎo diǎn)1 三角形及其分类 6年1考
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考点2 三角形中的重要(zhòngyào)线段 6年2考
提示►三角形的角平分线与角的平分线是两个不同(bù tónɡ)的概念， 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线．
(gēnjù)三角形的内角和定理列式整理即可得解．
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自主(zìzhǔ)解答：【问题】如图1，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴ ∴ ＝∠∠18BE0EB°CC＝＝－12180∠°(∠A－BAC(B，∠C＋∠EB∠EC＋CAB∠＝CBE)C12 B∠) ACB.
(2)如图2，当E不在CD的延长线上时，BF＝EF还成立吗？请证明 (zhèngmíng)你的结论．
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思路分析：(1)①证明三角形全等首先确定对应相等的边和角，然后根
据定理确定要证明的条件和应用的依据(yījù)，本题可利用SAS证全等；②易 证得BC∥FH和CH＝HE，根据平行线分线段成比例得BF＝EF，也可由三角形中 位线定理的推论得出结论；(2)作辅助线构建平行线和全等三角形，首先证 明△MAE≌△DAC，得AM＝AD，根据等量代换得AB＝AM，根据②同理得出结 论．
如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等(xiāngděng)，AC，BD相 交于O，OD⊥CD.垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长 度．
思路分析：由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO＝∠CDO，由垂直的
定义可得∠CDO＝90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD ＝OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．
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变式运用►[2017·北京中考]在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段 BC上一动点(与点B、C不重合)，连接AP，延长(yáncháng)BC至点Q，使得CQ＝ CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.
(1)若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小(用含有α的式子表示)．
∵∠PEM＝∠PFN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)．∴EM＝FN，PM＝PN，故(1)正确．∴S△PEM＝S△PNF.∴S四边形
PMON＝S四边形PEOF＝定值，故(3)正确．∵OM＋ON＝OE＋ME＋OF－NF＝2OE＝定值，故(2)正
确．MN的长度(chángdù)是变化的，故(4)错误．
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∠BEC.
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思路分析：【问题】根据(gēnjù)角平分线的意义和三角形的内角和解答即
可；【探究】(1)根据(gēnjù)三角形的内角和定理，得∠ABC＋∠ACB＝180°－
n°，再由线段BD、BE把∠ABC三等分，线段CD、CE把∠ACB三等分，得∠EBC ＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠ACB，于2 是∠EBC＋∠ECB＝2 (∠ABC＋∠ACB)，再根据 (gēnjù)三角2 形的内角和定理即可3 得到∠BEC的大小；3(2)根据(gēnjù)三角形的外 角性质，结3 合三角形的内角和定理整理即可得到∠BEC与∠A的关系；(3)根据 (gēnjù)三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，再根据
得分要领►(1)要熟悉一副三角尺的内角度数；(2)能根据三角形的内 角和定理计算相关(xiāngguān)的内角；(3)会灵活运用三角形外角的性 质．
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命题(mìng tí)点2 全等三角形的性质与判定
4．[2017·滨州，11,3分]如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与 ∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别(fēnbié)与OA、OB相交于M、 N两点，则以下结论：(1)PM＝PN恒成立；(2)OM＋ON的值不变；(3)四边形PMON的面 积不变；(4)MN的长不变，其中正确的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1
A．45° B．60° C．75° D．90°
C
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3．[2012·滨州，4,3分]一个三角形三个内角(nèi jiǎo)的度数之比为 2∶3∶7，这个三角形一定是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
D 三角形的三个角依次(yīcì)为180°÷(2＋3＋7)×2＝30°， 180°÷(2＋3＋7)×3＝45°，180°÷(2＋3＋7)×7＝105°，则该三 角形是钝角三角形．
80°，则∠BEC＝
；若∠A＝n°，则∠BEC＝
【探究】
(1)如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB.若∠A
＝n°，则∠BEC＝
；
(2)如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM.若∠A＝n°，则∠BEC
＝
；
(3)如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN.若∠A＝n°，求
类型(lèixíng)3 全等三角形的性质与判定
【例3】[2016·常德中考(zhōnɡ kǎo)]已知在四边形ABCD中，AB＝AD， AB⊥AD，连接AC，过点A作AE⊥AC，且使AE＝AC，连接BE，过A作 AH⊥CD于H，交BE于F.
(1)如图1，当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BF＝EF；
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六年真题全练
命题点1 三角形的分类(fēn lèi)及内角和定理
1．[2017·滨州，8,3分]如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点 (yī diǎn)，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为( ) A．40° B．36° C．30° D．25°
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5．[2015·滨州，23,10分]如图，已知B、C、E三点在同一条直线上， △ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段(xiànduàn)BD交AC于点G，线段 (xiànduàn)AE交CD于点F.
求证：(1)△ACE≌△BCD；
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
B ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵CD＝DA，∴∠C＝∠DAC.∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B.又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.
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2．[2015·滨州，7,3分]在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于 (děngyú)( )
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明
解：(1)∠AMQ＝45°＋α.理由(lǐyóu)如下：
∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°－α. ∵QH⊥AP，
∴∠AHM＝90°.
∴∠AMQ＝180°－∠AHM－∠PAB＝45°＋α. (2)PQ＝ MB. 证明：连2接AQ，作ME⊥QB交QB于点E，如图所示． ∵AC⊥QP，CQ＝CP，
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猜押预测►1.[2017·邓州一模]如图，一副分别含有30°和45°角的两个 (liǎnɡ ɡè)直角三角板，拼成如图所示，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD的度数是( ) A．10° B．15° C．25° D．30°
B ∵∠B＝45°，∴∠BAC＝45°.∴∠EAF＝135°.又∵∠E＝30°， ∴∠AFD＝135°＋30°＝165°.∴∠BFD＝180°－∠AFD＝15°.
－3)条，把这个多边形分成(n－2)个三角形，所有对角线的条数
为
；(4)多边形的外角和等于360°.
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考点(kǎo diǎn)4 全等三角形 6年3考
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典型例题(lìtí)运用
类型1 三角形三边(sān biān)的关系
【例1】三角形的两边长分别(fēnbié)为8和6，第三边长是一元一次不等式
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猜押预测►2.[2017·新城区校级模拟]如图，在△ABC中，∠BAC＝ 56°，∠ABC＝74°，BP、CP分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB，则∠BPC ＝( )
A．102° B．112°
C．115° D．118°
D ∵在△ABC中，∠BAC＝56°，∠ABC＝74°，∴∠ACB＝180°－∠BAC －∠ABC＝50°.∵BP、CP分别(fēnbié)平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC＝37°， ∠PCB＝25°.∴在△BCP中，∠P＝180°－∠PBC－∠PCB＝118°.