高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件 理

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1．直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则 m＝________． 解析：直线 2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 mx＋3y－2＝0 平行，则有m2 ＝m＋3 1≠－42，故 m ＝2 或－3. 答案：2 或－3
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(2)两条直线垂直 如果两条直线 l1，l2 斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1⊥l2⇔__k_1_·__k_2＝__－__1______，当一条 直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线__垂__直_____．
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2．两直线相交 直 线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 和 l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0 的 公 共 点 的 坐 标 与 方 程 组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，的解一一对应． 相交⇔方程组有__唯__一_____解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组____无_____解； 重合⇔方程组有__无__数__个___解．
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3．两种距离 点点距 点线距
点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
|P1P2|＝
之间的距离
_____（__x_2－__x_1_）__2_＋__（__y_2－__y_1_）__2____
点 P0(x0，y0)到直线 l： Ax＋By＋C＝0 的距离
|Ax0＋By0＋C| d＝_____A__2＋__B__2 _____
3．直线 2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0 之间的距离是________．
解析：先将 2x＋2y＋1＝0 化为 x＋y＋12＝0，
则两平行线间的距离为
d＝|2－212|＝3
4
2 .
答案：3 4 2
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两直线的位置关系(多维探究)
角度一 判断两直线的位置关系
(2020·天津静海区联考)“a＝1”是“直线 ax＋2y－8＝0 与直线 x＋(a＋1)y＋4
(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2. (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1. (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．
(× ) (×) (√ )
(4)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常
第九章 平面 解析几何 (píngmiàn)
第2讲 两直线的位置(wèi 关系 zhi)
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数学(shùxué)
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01
基础知识 自主回顾
02
核心考点 深度剖析
03
方法素养 助学培优
04
高效演练 分层突破
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2．已知 P(－2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 x＋y＋1＝0，则 m＝________．
解析：由题意知－m2－－4m＝1，所以 m－4＝－2－m，所以 m＝1. 答案：1
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一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
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两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在． (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等． (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. [提醒] 判断两条直线的位置关系应注意： (1)注意斜率不存在的特殊情况． (2)注意 x，y 的系数不能同时为零这一隐含条＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0 与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝________． 解析：由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得 a＝0 或 a ＝1. 答案：0 或 1
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数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.
(√ )
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．
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(√ )
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二、易错纠偏 常见误区 (1)判断两直线平行时，忽视两直线重合的情况； (2)判断两直线的位置关系时，忽视斜率不存在的情况； (3)求两平行线间的距离，忽视 x，y 的系数应对应相同．
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3．三种直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 A1x＋B1y ＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
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2．六种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，－y)，关于 y 轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x，2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)． (6)点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k ＋y，x－k)．
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角度二 由两直线的位置关系求参数
(1)(2020·安徽芜湖四校联考)直线(2m－1)x＋my＋1＝0 和直线 mx＋3y＋3＝0 垂
直，则实数 m 的值为
()
A．1
B．0
C．2
D．－1 或 0
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(2)(2020·陕西宝鸡中学二模)若直线 x＋(1＋m)y－2＝0 与直线 mx＋2y＋4＝0 平行，则 m
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1．求满足下列条件的直线方程． (1)过点 P(－1，3)且平行于直线 x－2y＋3＝0； (2)已知 A(1，2)，B(3，1)，线段 AB 的垂直平分线．
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解：(1)设直线方程为 x－2y＋c＝0，把 P(－1，3)代入直线方程得 c＝7， 所以直线方程为 x－2y＋7＝0. (2)AB 的中点为1＋2 3，2＋2 1，即2，32， 直线 AB 的斜率 kAB＝21－ －13＝－12， 故线段 AB 的垂直平分线的斜率 k＝2， 所以其方程为 y－32＝2(x－2)，即 4x－2y－5＝0.
＝0 平行”的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既12/8不/2021充分也不必要条件
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【解析】 设直线 l1：ax＋2y－8＝0，直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若 l1 与 l2 平行，则 a(a ＋1)－2＝0，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝1 或 a＝－2.当 a＝－2 时，直线 l1 的方程为－2x ＋2y－8＝0，即 x－y＋4＝0，直线 l2 的方程为 x－y＋4＝0，此时两直线重合，则 a≠－ 2.当 a＝1 时，直线 l1 的方程为 x＋2y－8＝0，直线 l2 的方程为 x＋2y＋4＝0，此时两直 线平行．故“a＝1”是“直线 ax＋2y－8＝0 与直线 x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的充要条 件．故选 A. 【答案】 A
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法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0， 由方程组2xx－＋33y＋y＋41＝＝00，可解得交点为－53，79， 代入 4x－3y＋m＝0 得 m＝9，故所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，① 又因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 所以 3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，所以 λ＝2，代入①式得所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 【答案】 4x－3y＋9＝0
的值是
()
A．1
B．－2
C．1 或－2
D．－32
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【解析】 (1)由两直线垂直可得 m(2m－1)＋3m＝0，解得 m＝0 或－1.故选 D. (2)①当 m＝－1 时，两直线方程分别为 x－2＝0 和 x－2y－4＝0，此时两直线相交，不
－1＋1 m＝－m2 ， 符合题意．②当 m≠－1 时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得1＋2 m≠－2， 解得 m＝1.综上可得 m＝1.故选 A. 【答案】 (1)D (2)A
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二、教材衍化 1．已知点(a，2)(a>0)到直线 l：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a＝________． 解析：由题意得|a－12＋＋13|＝1. 解得 a＝－1＋ 2或 a＝－1－ 2.因为 a>0，所以 a＝－1＋ 2.
答案： 2－1
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2．(一题多解)已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)当 l1⊥l2 时，求 a 的值．
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解：(1)法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2；
当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为 l1：y＝－a2x－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
l1∥l2⇔－a2＝1－1 a，
解得 a＝－1，
－3≠－（a＋1），
综上可知，当 a＝－1 时，l1∥l2.
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法二：由 A1B2－A2B1＝0， 得 a(a－1)－1×2＝0， 由 A1C2－A2C1≠0， 得 a(a2－1)－1×6≠0， 所以 l1∥l2⇔aa（（aa－2－11））－－11××26＝≠00，， ⇔aa2（－aa2－－21＝）0≠，6，可得 a＝－1， 故当 a＝－1 时，l1∥l2.
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常用结论 1．两个充要条件 (1)两直线平行或重合的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 平行或重合的充要条件是 A1B2 －A2B1＝0. (2)两直线垂直的充要条件 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 垂直的充要条件是 A1A2＋B1B2 ＝0.
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一、知识梳理 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率都存在且分别为 k1，k2，则有 l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2___； 特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2_平__行______．
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角度三 由两直线的位置关系求直线方程 (一题多解)经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直
线 3x＋4y－7＝0 的直线的方程为________．
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【解析】 法一：由方程组2xx－＋33y＋y＋41＝＝00， 解得xy＝＝79－，53，即交点为－53，79，因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直， 所以所求直线的斜率为 k＝43. 由点斜式得所求直线方程为 y－79＝43x＋53， 即 4x－3y＋9＝0.