2007上海市嘉定区高考模拟试卷数学(理科)

上海市嘉定区2007年高考模拟试卷数学（理科）2007年3月
案直接写在试卷上．本试卷中向量的坐标表示采用非试验教材的表示法，使用试验教材的考
生请注意，试卷中的},{y x a = 相当于试验教材中的),(y x a =
．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若集合},05{2R x x x x A ∈=+=，},3||{R x x x B ∈≤=，则=B A ________．
2．设复数i z 21+
=，则=-z z 22______________．
3．设)(1
x f -是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1[)](1[1
1
=+⋅+--b f
a f
，
则)(b a f +的值为______________．
4．在△ABC 中，0
90=∠C ，},1{k =，}2,3{=，则k 的值为_________． 5．抛物线2
4x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为___________． 6．已知等差数列{}n a 满足1010=a ，10019=a ，且{}n a 的前n 项和0=n S ，则=n ___． 7．在极坐标系中，点⎪⎭⎫
⎝
⎛3,
4πP 到直线24cos =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πθρ的距离是____________． 8．设n a 为()n
x +1展开式的系数之和，则=+++∞→n
n
n a 242lim
___________．
9．从正方体的12条棱所在的直线中任取2条，这2条直线是异面直线的概率是_____（结 果用分数表示）．
10．已知函数x x f sin )(=，⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x x g 2sin )(π，直线m x =与)(x f 、)(x g 的图像 分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值是_______________．
11．在)1,1(A 、)2,1(B 、⎪⎭
⎫ ⎝⎛21,2C 、)1,2(D 、)2,2(E 这5个点中，能成为一个指数函 数图像与一个对数函数图像的公共点的有__________________（写出所有满足条件的
点的字母）．
12．定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+，且2)1(=f ，则在下面四个
式子：①)1()1(2)1(nf f f +++ ；②()⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+21n n f ；③)1(+n n ；④)1()1(f n n +中， 与)()2()1(n f f f +++ 相等的式子的序号为________________（写出所有满足条
件的式子的序号）．
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．
13．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”， 则α是β的…………………………………………………………………………（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
14．对于函数)(x f ，在使M x f ≤)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函
数)(x f 的“上确界”，则函数1
)1()(22
++=x x x f 的“上确界”为……………………（ ）
（A ）41 （B ）2
1
（C ）2 （D ）4
15．如果一个n 面体中有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为n
m
，则四棱锥
的直度的最大值是…………………………………………………………………（ ）
（A ）
51 （B ）52 （C ）53 （D ）54 16．设方程022=++x x
的实根为α，方程02log 2=++x x 的实根为β，函数
1))(()(+++=βαx x x f ，则)0(f 、)1(f 、)2(f 的大小关系是……………（ ） （A ）)2()1()0(f f f << （B ）)2()0()1(f f f =< （C ）)2()1()0(f f f <= （D ）)0()2()1(f f f <=
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）
已知1x 、2x 是方程0122
=+-ax x （R a ∈）的两个虚数根，且|||1|21x x >-，求a 的取值范围．
18．（本题满分12分）养殖场要用围墙围成一块占地100平方米的矩形场地，矩形一边利用已有旧墙，但需进行整修，另外三边要购置材料新建．已知整修1米旧墙需要25元，新建1米新墙需要200元．问矩形场地的长和宽各为多少米时，建墙投资最省，最少投资为多少元？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）题满分6分，第（2）题 满分8分
如图，在四棱锥A B CD S -中，⊥SA 平面A B CD ，0
90=∠=∠ADC BAD ，
1===CD AD SA ，BC SC ⊥．
（1）求异面直线SB 与AC 所成角的大小； （2）求SD 与平面SBC 所成角的大小．
（结果用反三角函数值表示）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分．
已知抛物线px y C 2:2
=（0>p ），过点)0,(t T （)0≠t 的直线l 与抛物线C 交于
A 、
B 两点．
（1）当p t 2=时，求⋅；
（2）若点)0,(t T 是x 轴上一个动点，研究AOB ∠的取值范围与t 的取值范围的关系，
写出你得到的结论，并加以证明．
D B S
A
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分 , 第（3）题满分6分．
已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2
2=++y x 内切．
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<<a 的条件下，设△POA 的面积为1S （O 是坐标原点，P 是曲线C 上横坐标为a 的点），以)(a d 为边长的正方形的面积为2S ．若正数m 满足21mS S ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分．
在直角坐标平面上有一点列),(111y x P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，…，对每个正整数n ，点n P 位于一次函数45+=x y 的图像上，且n P 的横坐标构成以2
3
-为首项，1-为公差的等差数列{}n x ．
（1）求点n P 的坐标；
（2）设二次函数)(x f n 的图像n C 以n P 为顶点，且过点)1,0(2
+n D n ，若过n D 且
斜率为n k 的直线n l 与n C 只有一个公共点，求⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+
++-∞→n n n k k k k k k 132211
11lim 的值． （3）设n x x x S 2{==，n 为正整数}，n y y y T 12{==，n 为正整数}，等差数列{}n a 中的任一项T S a n ∈，且1a 是T S 中的最大数，11522510-<<-a ，求{}n a 的通项公式．
2007年嘉定区高考数学模拟试卷（理科）参考答案
一．填空题（每小题4分，满分48分） 1．}0{；2．3-；3．2；4．5；5．
1615；6．17；7．6；8．21；9．11
4； 10．2；11．C 、E ；12．①，②，③．
二．选择题（每小题4分，满分16分） 13．B ；14．C ；15．D ；16．B ．
三．解答题 17．（本题满分12分）
解：由已知△=0442
<-a ，所以11<<-a
设i x βα+=1，则i x βα-=2（α、β为实数，且0>β）
由|||1|21x x >-，得()2
222
1βαβα+>+-，于是021>-α，21<
α， 而a x x 2221==+α，所以122<<-a ，所以a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-21,1．
18．（本题满分12分）
解：设矩形的长为x （米），则宽为
x
100
（米），设建墙投资为y （元）， 则x x x x x y 40000
225200)200(25+
=⋅++=， 所以600040000
2252=⋅≥x
x y ． 由x x 4000025=，得340=x 时等号成立，此时
2
15
100=x ， 所以，当矩形的长和宽分别为340米和2
15
米时，建墙投资最省，最少投资为6000元．
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分） 解：（1）解法（一）设a AB =，由已知2=AC ，3=SC ，12+=a SB ，
因为BC SC ⊥，所以BC AC ⊥且22-=
a BC ，045=∠BAC ，所以△ABC 是等腰直
角三角形，所以2==AC BC ，即222
=-a ，2=a ，即2=AB 取AB 中点E ,BC 中点F ，SC 中点G ，连结EF ，EG ，FG ，则EF ∥AC ，GF ∥SB ， 所以GFE ∠（或其补角）就是异面直线SB 与AC 所成的角．
在△EFG 中，22=
EF ，25=FG ，23=EG ，于是EG EF ⊥， 所以510arccos =∠GFE ，即异面直线SB 与AC 所成的角为5
10
arccos ．
（1）解法（二）以A 为原点，直线AD 、AB 、AS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
坐标系，则)0,1,1(C ,)1,0,0(S ，设)0,,0(a B ，则}1,1,1{--=CS ，}0,1,1{--=a CB ， 由BC SC ⊥，得0=⋅，即0)1(1=--a ，即2=a ， 于是}0,1,1{=AC ，}1,2,0{-=BS ，设与的夹角为θ， 则5
10
5
22cos -
=⋅-=
=
θ 所以异面直线SB 与AC 所成的角为5
10arccos ． （2）解法（一）设点D 到面SBC 的距离为h ，则由BCD S SBC D V V --=可得 1⋅=⋅BCD SBC S h S ，
而322121⋅⋅=⋅=
SC BC S SBC ，2121=⋅⋅=AD CD S BCD ，所以6
6
=
=SBC BCD S S h ， 所以SD 与平面SBC 所成的角为6
3
arcsin arcsin =SD h ． （2）解法（二）}1,0,1{-=SD ，设平面SBC 的法向量},,1{z y n =
，
则由n ⊥ ，n ⊥
，得01=+-y ，01=+--z y ，解得2,1==z y ，
于是}2,1,1{=n
，
设SD 与n
的夹角为θ，则63621cos -=⋅-== θ， 所以SD 与平面SBC 所成的角为6
3arcsin
． 20．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
解（1）若直线l 垂直于x 轴，则l 的方程为t x =，于是)2,(pt t A ，)2,(pt t B -，
pt t 22-=⋅；
若直线l 不垂直于x 轴，设l 的方程为)(t x k y -=（0≠k ），与抛物线方程联立得
0)(222222=++-t k x p t k x k ①，设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两个
解，于是2
21t x x =，
若将直线方程与抛物线方程联立并消去x ，得0222
=--pkt py ky ②，
则1y ，2y 是方程②的解，于是pt y y 221-=，所以pt t OB OA 22-=⋅．
（2）解：结论是：过x 轴上一动点)0,(t T （0≠t ）作直线l 与抛物线px y 22
=（0>p ）相交于A 、B 两点，那么，
当0<t 或p t 2>时，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∠2,
0πAOB ；当p t 2=时，2π=∠AOB ；
当p t 20<<时，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∠ππ,2AOB ．
证明：由（1）知pt t OB OA 22-=⋅，所以，当0>⋅，即0<t 或p t 2>时，
⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∠2,0πAOB ；当0=⋅，即p t 2=时，2π=∠AOB ；当0<⋅，即
p t 20<<时，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈∠ππ,2AOB ．
21．本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题6分． 解（1）设动圆圆心为),(y x M ，半径为r ，已知圆圆心为)1,0(-E ， 由题意知r MF =||，r ME -=22||，于是22||||=+MF ME ，
所以点M 的轨迹C 是以E 、F 为焦点，长轴长为22的椭圆，其方程为12
2
2
=+y x ． （2）设),(y x P ，则2222)()(||2
222222++--=-+-=+-=a ax x x a x y a x PA
22)(22+++-=a a x ，令22)()(22+++-=a a x x f ，]1,1[-∈x ，所以，
当1-<-a ，即1>a 时)(x f 在]1,1[-上是减函数，[]2
max )1()1()(+=-=a f x f ；
当11≤-≤-a ，即11≤≤-a 时，)(x f 在],1[a --上是增函数，在]1,[a -上是减函数，则
[]22)()(2max +==
a a f x f ；
当1>-a ，即1-<a 时，)(x f 在]1,1[-上是增函数，[]2
max )1()1()(-==a f x f ．
所以，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+≤≤-+-<-=1,111,221,
1)(2
a a a a a a a d ．
（3）当10<<a 时,)22,(2a a P -±,于是)1(22
1
21a a S -=
,2222+=a S ,（12分） 若正数m 满足条件，则)22()1(2212
2+≤-a m a a ，即)
1(4)1(222
+-≥a a a m ，
22222
)1(8)1(+-≥a a a m ，令2
222)
1(8)1()(+-=a a a a f ，设12+=a t ，则)2,1(∈t ，12
-=t a ， 于是641
431411328123818)2)(1()(2
2222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--=t t t
t t t t t t a f ，
所以，当
431=t ，即)2,1(34∈=t 时，641
)]([max =
a f ， 即6412
≥m ，8
1≥m ．所以，m 存在最小值81．
22．本题满分18分，第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分
解（1）由已知21)1(23--=---
=n n x n ，4
34521+-=+--=n n y n ， 所以⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+---43,21n n P n ．
（2）设二次函数4321)(2
+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x a x f n ，因为)(x f n 的图像过点)1,0(2
+n D n ，所
以1432122
+=+-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+n n n a ，解得1=a
n l 的方程为12++=n x k y n ，代入)(x f n 得11)12(222++=++++n x k n x n x n ，
即0)12(2
=-++x k n x n ①
由已知，方程①仅有一解0=x ，所以12+=n k n ，（N n ∈）
所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⋅+⋅=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
++∞→-∞→)12)(12(1
751531lim 1
11lim 13
221n n k k k k k k n n n n 611213121lim 1211217151513121lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--++-+-=∞→∞→n n n n n ． （3）由题意n n x x S ,12|{--==为正整数},n n y y T ,912|{+-==为正整数} 所以T S 中的元素组成以3-为首项，12-为公差的等差数列， 所以31-=a ，{}n a 的公差为k 12-（N k ∈）
若1=k ，则912+-=n a n ，)115,225(11110--∉-=a ； 若2=k ，则2124+-=n a n ，)115,225(21910--∈-=a ； 若3≥k ，则32710-≤a ，即)115,225(10--∉a ．
综上所述，{}n a 的通项公式为2124+-=n a n （n 为正整数）．。