混凝土本构模型

混凝土本构关系模型 一、线弹性本构模型
1、 线弹性均质的本构模型
当混凝土无裂缝时，可以将混凝土看成线弹性均质材料，用广义胡克定律来表达本构关 系：
kl ijkl ij C εσ=
式中，
ijkl
C 为材料常数，为一四阶张量，一般有81个常数，如果材料为正交异性时，常
数可减少至9个，如材料为各向均质时，可用两个常数λ、μ来表达，λ、μ称为Lame 常数。

ij
kk ij ij δλεμεσ+=2
当j i =，μ
λσε23+=
kk
kk ，代入上式
()kk ij
ij ij σ
μμλλσσε2232/+-=
E 、ν、λ、μ之间的关系如下：
()ν213-=
E K ，
()ν+=
12E
G G
K KG
E +=
39，()G K G K +-=3223ν 在工程计算中采用下列形式
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
E E
E 332211
11σσ
νσε 同样可写出22ε、33ε的表达式。

()1212
1112τντγE
G
+=
=
同样可写出22γ、33γ的表达式。

如上述各式用张量表示可写成：
ij kk ij ij E
E δσν
σνε-+=
1，()()ij kk ij ij E E δενννενσ2111-+-+=
用矩阵形式表达时，可写成
张量描述
用矩阵形式表达，可写成：
3、正交异性本构模型 矩阵描述
分块矩阵描述
1.3横观各向同性弹性体本构模型
其中[]D 表达式为
kl ijkl ij C εσ=
1、Cauchy 模型
Cauchy 模型建立的各向同性一一对应的应力应变关系为
()
kl ij ij F εσ=
可展开为：
+++=jk ik ij ij ij εεαεαδασ210
根据Caley-Hamilton 定理有：
jk
ik ij ij ij εεϕεϕδϕσ210++=
但Cauchy 模型在)2,1,0(=i i ϕ时，一般不能满足ij kk ij ij δλεμεσ+=2。

因而，Cauchy 模型在不同加载途径下得到的应变能和余能表达式不是唯一的或者不存在，不能满足弹性体能量守恒定律，但在单调比例加载途径下还是适用的。

2、 Green 模型
Green 模型是应用应变能和余能原理建立的各向同性材料非弹性本构关系。

其中
3、 全量式应力应变关系采用s K 、s G 的模型
这种模型与线弹性均质材料的应力应变关系相似，但采用割线模量s K 、s G 代替K 、G 。

对于平面应力状态有：
()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+-++=
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x s s s s s s s s s s s s
s s s s s s xy y x G 3K 4G 4G 3K 0 0
0 1 G 3K 22G 3K 0
G 3K 22G 3K 1 4G 3K G 3K 4G γεετσσ 4、Kotsovos-Newman 全量式应力应变本构模型
Kotsovos-Newman 全量式应力应变本构模型基本特点是八面体正应力只产生八面体正应变，不产生八面体剪应变；八面体剪应力除了产生八面体剪应变外，还产生八面体正应变。

5、Gerstle-Stankowski增量式本构模型
Gerstle-Stankowski增量式本构模型基本特点是八面体正应力除了产生八面体正应变，还产生八面体剪应变；八面体剪应力除了产生八面体剪应变外，还产生八面体正应变；采用增量模型表达。

6、Kuper-Gerstle模型
Kuper-Gerstle模型基本特点是仅适用于受压分析；仅适用于上升段；采用体积模量和剪切模量计算；采用割线模量、全量式模型。

6.1二轴受压
6.2三轴受压
7、Ottosen的三维、各向同性全量模型
Ottosen（1979）提出了能反映所有三个应力不变量的本构模型，所有的参数仅采用单轴试验数据便可确定。

该模型给出的与单轴受压应力应变全曲线特征相同的一般三轴受压应力应变曲线，以及峰值应力点和软化段，还可适用于包括出现拉应力情况的各种应力状态，并可考虑体积膨胀效应。

而且他采用弹性模量和泊松比分别计算，采用割线模量、全量形式。

建立的混凝土多轴受力本构关系为：
8、增量式正交本构模型
8.1二轴应力下混凝土增量正交模型
Darwin ，Pecknold 等将等效单轴应力应变关系用于二轴应力情况下，采用了saenz 单轴受压应力应变表达形式，不考虑泊松比的影响：
()()()
2
ic iu ic iu 0iu
i //2E /E 1E εεεεεσ+-+=
考虑泊松比，采用正交增量的应力应变关系表达式为：
根据各向异性弹性力学关系，2211E E νν=，ν可近似取21ννν=，
()()
2121E E 2E E 4
11ν
ν-+=-G ，于是正交增量应力应变可写成：
()
⎪⎭⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡
-+-=⎪⎭⎪
⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧1221212122
121121221d d d E E 2E E 41
0 0
E E E 0 E E E 11d d d γεενννντσσ
8.2三轴应力下混凝土增量正交模型
ELWI ，Murray 提出了三轴应力下增量正交本构模型，采用saenz 形式，给出了三轴应力的等效单轴应力应变关系如下：
()()()()()
2ic iu 2ic iu ic iu c 0iu
0i /R /12R /2E /E R 1E εεεεεεεσ+---+-=
其中()
()2ic iu c 2f ic 01
/E 1/E R --=
εεσσ
(
)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩⎪
⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣⎡--=⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩⎪⎨⎧1221212211211221d d d 100
0E E 0
E E 11d d d γεενννννντσσG
增量正交应力应变关系
()()()
()()()
()⎪
⎪
⎭
⎪
⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡-++-+--=⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧12321122
13332131232133212312
13212
3213212212
12321d d d d G 0 0 0 1E E E E E 1E E E 1E 11d d d d γεεεϕννννννννννννντσσσ Bathe 等提出了三轴应力状态下增量的应力应变关系，按应力阶段把混凝土看成各向同性、正交各向异性材料，并且结合混凝土开裂和压碎情况，刚度矩阵的具体计算如下：
（1）在拉伸而未开裂，压应力很小及卸载情况下，混凝土作为各向同性材料，其切线模量取初始弹性模量，即
()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡
-------+=
2212
210
2
211011211E D][0ννν
νννννν
ννννν （2）在三轴受压时，最大压应力c 4.0σσ≤时，其切线模量可近似地按各向同性非线性弹性材料来处理
()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-------+=
2212
210
2
211011211E D][t ννν
νννννν
ννννν （3）当压应力较大，即c 34.0σσ>时，混凝土作为正交异性非线弹性材料来处理
()()⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡-------+=
312312332313222131
211E 221E 2
210
E 2
21E )(1E E 0E E )(1E E E E )(12111D][ν
ν
ν
ννννννννννν （4）当达到破坏条件时，认为0E t =
i
i
'i i E εσσ∆-=
（5）当某主应力超过混凝土抗拉强度时，认为沿主拉应力方向的混凝土开裂，取刚度矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎣
⎡
----=212
10
2
211011E D][n n n 2t νη
νν
η
ννηνηην 三、塑性断裂理论
塑性断裂理论考虑了混凝土应变的软化段 1、 应变空间塑性方程
kl kl
ij ijkl ij d ]F
G h 1C [d εεεσ∂∂∂∂-
=
其中()]G F F G
W F G F
[
h ij
k l p pq p min
εεαεαεεεε∂∂∂∂-∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂-=ij rs
rs rs e kl mnpq
c D 2、理想断裂模型
k l mn
mn k l ij f ijk l
f ij
e ij ij d )F/()F/)(F/(dH dW 2C )d (d d εεεεεσσσ∂∂∂∂∂∂-=-+=
3、塑性断裂理论本构方程
kl kl
ij ijkl ij d ]F
G h 1C [d εεεσ∂∂∂∂-
=
其中 ]G )T 21T (W F G T C F [
h kl
f mnk l p
mnk l p mn pf kl p mnk l 1ijk l pf
ij εεεε∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=- 四、内时理论（Endochronic Theory ）
Bazant 和Bhat （1976）根据K.C.Valanis 在描述金属冷加工硬化性能时，把粘塑性材料本构关系理论用于描述混凝土本构关系称为内时理论。

内时理论基于在单轴应力情况下Maxwell 粘塑性模型
1EZ /dt E /d d σσε+=
本构方程用增量矩阵形式
εσδσ~D ~]s [~n ij
ij ∆=∆+''∆+∆
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦⎤+---+---+=2G 2G 2G 3G
/4K 3G /2K 3G /2K 3G /2K 3G /4K 3G /2K 3G /2K 3G /2K 3G /4K D ~
五、连续损伤理论
损伤理论最早是1958年Kachanov 提出来用于研究金属徐变的，1979年开始将损伤理 论和断裂理论相结合用于混凝土材料，建立了混凝土损伤断裂的本构关系。

损伤本构方程由偏张应力应变关系和体积拉、压应力应变关系分别给出。

一般损伤本构方程可采用偏张和体积方程的组合：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡v 22122111m e )a K (a a )a G (s
εσ 其中)1(G G 0λ-=；⎩⎨
⎧-=拉
压)1(K K K 00
λ；
22211211a a a a 为与材料损伤和损伤模式有关的数值
六、以经典塑性理论为基础的混凝土塑性本构模型 6.1弹全塑性混凝土断裂本构模型
]s J f J G I f 3K
[d Kd 2G de d ij 2
2ij 1ij kk ij ij ∂∂+∂∂-+=δλδεσ 其中2
2
21mn
mn 221k k )
J f (G )I f (9K de s )J f/)(J /G ()I /f (3Kd d ∂∂+∂∂∂∂+∂∂=
ελ
6.2弹塑性混凝土硬化断裂本构模型
Chen-Chen 模型
⎪⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡-+=⎪⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧zx y z xy z y x 66564636261655
4535251544
342414
332313221211zx y z
xy z y x d d d d d d )21)(1(E d d d d d d γγγεεεϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕνντττσσσ称对 6.3应用于Drucker-Prager 材料的本构模型
]s J G
3K [d Kd 2G d d ij 2
ij ij kk ij ij +
-+=αδλδεεσ
其中G
9K d s )J /G (d 3K d 2
mn
mn 2k k ++=
αεεαλ 参考资料：
沈聚敏，王传志，江见鲸.钢筋混凝土有限元与板壳极限分析.北京:清华大学出版社，1991.115-153。