高中数学第2章平面解析几何初步2.1.4两条直线的交点8高一数学
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(3)方程组24xx＋＋y2－y＋3＝4＝00 无解，这表明直线l1和l2没有公共点， 故l1∥l2.
12/12/2021
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第十一页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方 程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线的斜率及截距的关系．
解
(1)解方程组3x－x＋y＝3y－0 10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1与l2相交，交点是M53，35.
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第十三页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(2)方程组42xx－－162y＋y＋4＝ 8＝00 有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
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ห้องสมุดไป่ตู้
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
即M点的坐标为a2＋aa2bb＋b2，a2＋aabb2＋b2， 故kBM＝ab，又kAC＝0b－ －a0＝－ab，
所以kBM·kAC＝－1.因此BM⊥AC.
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故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件． 12/12/2021
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
(2)设政府给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为x元/件， 则供货者实际每件得到(x＋t)元． 依题意得方程组－2xx＋＋t7－0＝240＝4 44 ，解得x＝26，t＝6.
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
(3)解方程组63xx＋＋84yy－－15＝ 0＝0， 0，
① ② ①×2得6x＋8y－10＝0.
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
(2)解方程组36xx－ －y2＋y－4＝ 1＝0， 0
① ②
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，
所以两直线无公共点，l1∥l2.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
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填要点(yàodiǎn)、记疑 点
2．两直线的位置关系
方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 直线l1与l2的位置关系
一个 无数个 相交 重合
(xiāngjiāo)
零个
平行
(píngxíng)
将λ＝8代入l的方程并整理，得2x－y＝0.
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第十七页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 那么过两直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2) ＝0 (λ∈R)．
又直线l经过原点(0,0)，设经过原点的直线方程为y＝kx， 将(－1，－2)代入方程，得k＝2，所求直线l的方程为y＝2x， 即2x－y＝0.
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第十六页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
方法二 设经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为(2x＋3y ＋8)＋λ(x－y－1)＝0，又直线l经过原点， 把(0,0)代入l的方程，得λ＝8，
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方程组AA21xx＋＋BB21yy＋＋CC21＝＝00 的解 一组 无数组
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个
直线l1与l2的位置关系
相交 重合
无解
零个 平行
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第八页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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第二页，共三十六页。
明目标(mùbiāo)、知重 点
1.会用解方程组的方法求两条相交(xiāngjiāo)直线的交点坐标； 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
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填要点(yàodiǎn)、记疑 点
1．两直线的交点坐标 已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点 A(a，b)． (1)若点 A 在直线 l：Ax＋By＋C＝0 上，则有： Aa＋Bb＋C＝0 . (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点，则有：AA21aa＋＋BB21bb＋＋CC21＝＝00.，
解 (1)因为方程组23xx－ ＋y2－y－7＝ 7＝00 的解为xy＝ ＝－ 3 1 ， 因此直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)．
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 本题是用代数的方法证明的几何问题，这就是解析法．具体来 说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这 种方法叫坐标的方法，也称为解析法．
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
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1．直线l1：3x＋4y－5＝0；l2：3x＋5y－6＝0的交点坐标为__M__13_，__1_．
解析
解方程组 33xx＋＋45yy－－56＝＝00，.
得x＝13， y＝1.
∴l1与l2的交点是M13，1.
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当堂(dānɡ tánɡ)测、查疑 缺
证明 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系． 设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b,0)， B12/(102/2,0021)，E(－a，a)，F(b，－b)．
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
直线AF的方程是ay＋＋bb＝0x－－bb， 即(a＋b)x＋by－ab＝0. 直线EC的方程是ay－ －00＝－x－a－bb， 即ax＋(a＋b)y－ab＝0. 解方程组aax＋＋bax＋＋bbyy－ －aabb＝ ＝00， ， 得xy＝ ＝aa22＋ ＋aaaab2bbb2＋ ＋bb22， ，
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探要点(yàodiǎn)、究所
探然究点一 ：直线的交点与方程组的解的关系
思考 2 设两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 那么方程组的解的情况和两直线的相交、重合、平行有怎样的关系？
答 它们的关系如下表所示：
因此，①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
例2 直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的 交点，求直线l的方程． 解 方法一 解方程组2x－x＋y－3y＋ 1＝8＝0 0 ，得xy＝ ＝－ －12， 所以两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，
2×(－2)－5×2＋m＝0，解得m＝14. 故所求直线方程为2x－5y＋14＝0.
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例3 如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
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2．当 a 取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0 恒过一个定点，这个定点
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第十八页，共三十六页。
探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练2 求经过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于 5x＋2y－1＝0的直线方程． 解 由方程组32xx＋ ＋4y＋y－22＝＝00，， 解得xy＝ ＝2－，2，
即两直线的交点为(－2,2)． 设所求直线为2x－5y＋m＝0，将点(－2,2)代入，得
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
[情境导学] 由于任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点 与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点一 ：直线的交点与方程组的解的关系
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练3 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)、市场价格 x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.当y1＝y2时的 市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． (1)求市场平衡价格和平衡需求量； (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？ 解 (1)解方程组yy＝＝2－x－x＋2070 得xy＝ ＝3400 ，
思考 1 为什么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解？
答 两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方 程组成的方程组的唯一解； 反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解 为坐标的点，必是直线 l1 和 l2 的交点． 因此求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.
因此，政府对每件商品应给予6元补贴．
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当堂(dānɡ tánɡ)测、查疑 缺
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1．直线l1：3x＋4y－5＝0；l2：3x＋5y－6＝0的交点坐标为________．
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当堂(dānɡ tánɡ)测、查 疑缺
§2.1 直线 与方程 (zhíxiàn)
2.1.4 两条直线 的交点 (zhíxiàn)
12/12/2021
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本节知识(zhī shi)目 录
明目标、知重点
两
条
直
填要点、记疑点
线
的
交
探要点、究所然
点
当堂测、查疑缺
探究点一 直线的交点与方程组的解的关系 探究点二 直线交点的应用
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法：(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组，若方程组有一解两直线相交，无解两直线平行，两方 程能化成同一个方程两直线重合；(2)利用两直线的斜率及截距的关系．
解
(1)解方程组3x－x＋y＝3y－0 10＝0 ，得xy＝＝5353
.
所以，l1与l2相交，交点是M53，35.
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(2)方程组42xx－－162y＋y＋4＝ 8＝00 有无数组解，这表明直线l1和l2重合．
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ห้องสมุดไป่ตู้
探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
即M点的坐标为a2＋aa2bb＋b2，a2＋aabb2＋b2， 故kBM＝ab，又kAC＝0b－ －a0＝－ab，
所以kBM·kAC＝－1.因此BM⊥AC.
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故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件． 12/12/2021
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
(2)设政府给予t元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为x元/件， 则供货者实际每件得到(x＋t)元． 依题意得方程组－2xx＋＋t7－0＝240＝4 44 ，解得x＝26，t＝6.
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
(3)解方程组63xx＋＋84yy－－15＝ 0＝0， 0，
① ② ①×2得6x＋8y－10＝0.
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
(2)解方程组36xx－ －y2＋y－4＝ 1＝0， 0
① ②
①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，
所以两直线无公共点，l1∥l2.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
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填要点(yàodiǎn)、记疑 点
2．两直线的位置关系
方程组AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点的个数 直线l1与l2的位置关系
一个 无数个 相交 重合
(xiāngjiāo)
零个
平行
(píngxíng)
将λ＝8代入l的方程并整理，得2x－y＝0.
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探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交， 那么过两直线的交点的直线方程可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2) ＝0 (λ∈R)．
又直线l经过原点(0,0)，设经过原点的直线方程为y＝kx， 将(－1，－2)代入方程，得k＝2，所求直线l的方程为y＝2x， 即2x－y＝0.
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探究点二 ：直线交点的应用
方法二 设经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0交点的直线方程为(2x＋3y ＋8)＋λ(x－y－1)＝0，又直线l经过原点， 把(0,0)代入l的方程，得λ＝8，
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方程组AA21xx＋＋BB21yy＋＋CC21＝＝00 的解 一组 无数组
直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个
直线l1与l2的位置关系
相交 重合
无解
零个 平行
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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明目标(mùbiāo)、知重 点
1.会用解方程组的方法求两条相交(xiāngjiāo)直线的交点坐标； 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．
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填要点(yàodiǎn)、记疑 点
1．两直线的交点坐标 已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点 A(a，b)． (1)若点 A 在直线 l：Ax＋By＋C＝0 上，则有： Aa＋Bb＋C＝0 . (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点，则有：AA21aa＋＋BB21bb＋＋CC21＝＝00.，
解 (1)因为方程组23xx－ ＋y2－y－7＝ 7＝00 的解为xy＝ ＝－ 3 1 ， 因此直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)．
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探究点二 ：直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3.
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探究点二 ：直线交点的应用
反思与感悟 本题是用代数的方法证明的几何问题，这就是解析法．具体来 说就是根据图形特点，建立适当的直角坐标系，利用坐标解决有关问题，这 种方法叫坐标的方法，也称为解析法．
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1．直线l1：3x＋4y－5＝0；l2：3x＋5y－6＝0的交点坐标为__M__13_，__1_．
解析
解方程组 33xx＋＋45yy－－56＝＝00，.
得x＝13， y＝1.
∴l1与l2的交点是M13，1.
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证明 以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系． 设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A(0，a)，C(b,0)， B12/(102/2,0021)，E(－a，a)，F(b，－b)．
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探究点二 ：直线交点的应用
直线AF的方程是ay＋＋bb＝0x－－bb， 即(a＋b)x＋by－ab＝0. 直线EC的方程是ay－ －00＝－x－a－bb， 即ax＋(a＋b)y－ab＝0. 解方程组aax＋＋bax＋＋bbyy－ －aabb＝ ＝00， ， 得xy＝ ＝aa22＋ ＋aaaab2bbb2＋ ＋bb22， ，
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探然究点一 ：直线的交点与方程组的解的关系
思考 2 设两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. 那么方程组的解的情况和两直线的相交、重合、平行有怎样的关系？
答 它们的关系如下表所示：
因此，①和②可以化成同一个方程， 即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
例2 直线l经过原点，且经过另外两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的 交点，求直线l的方程． 解 方法一 解方程组2x－x＋y－3y＋ 1＝8＝0 0 ，得xy＝ ＝－ －12， 所以两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，
2×(－2)－5×2＋m＝0，解得m＝14. 故所求直线方程为2x－5y＋14＝0.
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探要点(yàodiǎn)、究所然
探究点二 ：直线交点的应用
例3 如图，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：BM⊥AC.
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2．当 a 取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0 恒过一个定点，这个定点
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练2 求经过两直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点且垂直于 5x＋2y－1＝0的直线方程． 解 由方程组32xx＋ ＋4y＋y－22＝＝00，， 解得xy＝ ＝2－，2，
即两直线的交点为(－2,2)． 设所求直线为2x－5y＋m＝0，将点(－2,2)代入，得
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：
(1)l1：x－y＝0，l2：3x＋3y－10＝0；
(2)l1：3x－y＋4＝0，l2：6x－2y－1＝0；
(3)l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＋8y－10＝0.
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
[情境导学] 由于任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点 与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？
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探要点(yàodiǎn)、究所 然
探究点一 ：直线的交点与方程组的解的关系
探究点二 ：直线交点的应用
跟踪训练3 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)、市场价格 x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.当y1＝y2时的 市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量． (1)求市场平衡价格和平衡需求量； (2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？ 解 (1)解方程组yy＝＝2－x－x＋2070 得xy＝ ＝3400 ，
思考 1 为什么说求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解？
答 两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方 程组成的方程组的唯一解； 反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解 为坐标的点，必是直线 l1 和 l2 的交点． 因此求这两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解.
因此，政府对每件商品应给予6元补贴．
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当堂(dānɡ tánɡ)测、查疑 缺
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1．直线l1：3x＋4y－5＝0；l2：3x＋5y－6＝0的交点坐标为________．
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当堂(dānɡ tánɡ)测、查 疑缺
§2.1 直线 与方程 (zhíxiàn)
2.1.4 两条直线 的交点 (zhíxiàn)
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本节知识(zhī shi)目 录
明目标、知重点
两
条
直
填要点、记疑点
线
的
交
探要点、究所然
点
当堂测、查疑缺
探究点一 直线的交点与方程组的解的关系 探究点二 直线交点的应用
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